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1、烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人8.2 8.2 直角坐标系下直角坐标系下 的二重积分的二重积分第八章第八章 多元函数积分多元函数积分烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人一、矩形区域上的二重积分一、矩形区域上的二重积分矩形区域上的二重积分可以转化为矩形区域上的二重积分可以转化为累次积分累次积分 （即计算两次定积分）（即计算两次定积分）来计算来计算设函数设函数 在闭矩形区域在闭矩形区域 上连续，上连续，则：则：称为累
2、次积分称为累次积分烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人几何解释：几何解释：几何意义：立体体积几何意义：立体体积用横截面计算立体体积用横截面计算立体体积a ab bx xA(x)A(x)ox应用应用“平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积”的计算方法，来计算曲顶柱体的体积的计算方法，来计算曲顶柱体的体积烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人注注：累次积分：累次积分矩形区域的特点：矩形区域的特点：烧伤
3、病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人累次积分的计算方法累次积分的计算方法：若先对若先对 积分，则把积分，则把 看成常数，求出的积分是关看成常数，求出的积分是关 于于 的函数，再的函数，再 对积分；对积分；若先对若先对 积分，则把积分，则把 看成常数，求出的积分是关看成常数，求出的积分是关 于于 的函数，再的函数，再 对积分；对积分；烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例1：求下列二重积分：求下列二重积分烧伤病人的治疗通
4、常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人定理定理：若函数：若函数 在在 可积，可积，在在 可积，可积，则乘积则乘积 在在 也可积，且也可积，且例例2：计算二重积分：计算二重积分烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人二、二、型区域上的二重积分型区域上的二重积分1、型区域的定义型区域的定义称下述区域为称下述区域为 型区域：型区域：型区域的特点：型区域的特点：烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮
5、肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人2、型区域上二重积分的计算型区域上二重积分的计算 在在 型区域上的积分计算可以转化为先对型区域上的积分计算可以转化为先对 ，后对，后对 的累次积分，即：的累次积分，即：例例3：计算下列二重积分：计算下列二重积分是由是由 所围成所围成.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人的图形的图形烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人三、三、型区域上的二重积分型区域上的二重积分1、型区域的定义型
6、区域的定义称下述区域为称下述区域为 型区域：型区域：型区域的特点：型区域的特点：烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人2、型区域上二重积分的计算型区域上二重积分的计算 在在 型区域上的积分计算可以转化为先对型区域上的积分计算可以转化为先对 ，后对，后对 的累次积分，即：的累次积分，即：例例4：计算二重积分：计算二重积分是由是由 所围成所围成.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人的图形的图形烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人
7、的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于 轴的直线与区轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于 轴的直线与区轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.若区域是下图形式，则必须分割，在分割后的三个区若区域是下图形式，则必须分割，在分割后的三个区域上分别使用积分公式：域上分别使用积分公式：型区域、型区域、型区域、矩形区域统称为型区域、矩形区域统称为标准型区域标准型区域.烧伤病人
8、的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人四、二重积分计算中的问题再讨论四、二重积分计算中的问题再讨论 二重积分的计算，关键在于化为两次定积分来计二重积分的计算，关键在于化为两次定积分来计算，而在化为两次定积分的计算过程中，最重要的是算，而在化为两次定积分的计算过程中，最重要的是两个问题：两个问题：如何选择积分次序；如何选择积分次序；如何确定积分上下限如何确定积分上下限.1、如何选择积分次序、如何选择积分次序正确画出区域正确画出区域 的图形是选择积分次序的关键，既的图形是选择积分次序的关键，既 使是最简单的区域使是最简
9、单的区域 也要求首先画出图形；也要求首先画出图形；对复杂区域分块；对复杂区域分块；选择两次积分的次序，关系到二重积分计算的繁简，选择两次积分的次序，关系到二重积分计算的繁简，甚至关系到该积分是否能计算出结果甚至关系到该积分是否能计算出结果.如如：烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人与与积分区域是：积分区域是：是求不出来的，而是求不出来的，而却可以求出来却可以求出来.烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人2、如何确定积分
10、上下限、如何确定积分上下限二重积分化为二次积分，其上限一定不能小于下限；二重积分化为二次积分，其上限一定不能小于下限；第一次积分的积分限是由第二次积分的积分变量所第一次积分的积分限是由第二次积分的积分变量所 表示的函数，第二次积分的积分限为常数；表示的函数，第二次积分的积分限为常数；先对先对 积分（积分变量是积分（积分变量是 ）：）：下限为下限为 （的下方曲线）的下方曲线）上限为上限为 （的上方曲线）的上方曲线）后对后对 积分（积分变量是积分（积分变量是 ）：）：下限是下限是 在在 轴上投影的左端点的横坐标轴上投影的左端点的横坐标上限是上限是 在在 轴上投影的右端点的横坐标轴上投影的右端点的横
11、坐标烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人先对先对 积分（积分变量是积分（积分变量是 ）：）：下限为下限为 （的左方曲线）的左方曲线）上限为上限为 （的右方曲线）的右方曲线）后对后对 积分（积分变量是积分（积分变量是 ）：）：下限是下限是 在在 轴上投影的左端点的横坐标轴上投影的左端点的横坐标上限是上限是 在在 轴上投影的右端点的横坐标轴上投影的右端点的横坐标烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例5：计算下列二重积分
12、：计算下列二重积分由由 与与 所围成所围成由由 所围成所围成由由 所围成所围成烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例6：改变下列累次积分的积分次序：改变下列累次积分的积分次序烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人五、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶五、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶
13、性计算二重积分性计算二重积分设设 ，有：，有：若若 关于关于 轴轴 轴对称，且轴对称，且 是关于是关于 与与 的偶函数，则：的偶函数，则：其中其中 表示表示 位于第一象限的部分；位于第一象限的部分；若若 关于关于 轴轴 轴对称，且轴对称，且 是关于是关于 与与 的奇函数，则：的奇函数，则：若若 关于关于 轴（或轴（或 轴）对称，且轴）对称，且 是关于是关于 （或（或 ）的偶函数，则：）的偶函数，则：其中其中 表示表示 位于位于 轴上方（轴上方（轴右方）部分；轴右方）部分；烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人若若 关于关于 轴（或轴（或 轴）对称，且轴）对称，且 是关于是关于 （或（或 ）的奇函数，则：）的奇函数，则：例例7：计算下列二重积分：计算下列二重积分是由是由 所围成所围成烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人