《线性方程组的误差分析幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组的误差分析幻灯片.ppt（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、线性方程组的误差分析第1页，共12页，编辑于2022年，星期一2ErrorAnalysisfor.设设精确，精确，A有误差有误差，得到的解为，得到的解为，即，即 Wait a minute Who said that(I+A 1 A)is invertible?(只要只要 A充分小，使得充分小，使得是关键是关键的误差放大因子，称为的误差放大因子，称为A的的条件数条件数，记为，记为cond(A),越越则则A 越病态，越病态，难得准确解。难得准确解。大大第2页，共12页，编辑于2022年，星期一2ErrorAnalysisfor.注注:cond(A)的具体大小与的具体大小与|的取法有关，但相的取法
2、有关，但相对大小一致。对大小一致。cond(A)取决于取决于A，与解题方法无关。，与解题方法无关。常用条件数有：常用条件数有：cond(A)1cond(A)cond(A)2特别地，若特别地，若A 对称，则对称，则条件数的性质：条件数的性质：A可逆，则可逆，则cond(A)p 1；A可逆，可逆，R则则cond(A)=cond(A)；A正交，则正交，则cond(A)2=1；A可逆，可逆，R正交，则正交，则cond(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2。第3页，共12页，编辑于2022年，星期一2ErrorAnalysisfor.精确解精确解为为例：例：计算计算cond(A)2。A 1=解
3、：解：考察考察A的特征根的特征根392061测试病态程度：测试病态程度：给一个扰动给一个扰动，其相对误差为，其相对误差为此时此时精确解精确解为为2.0102200%第4页，共12页，编辑于2022年，星期一2ErrorAnalysisfor.例：例：Hilbert阵阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9 106cond(Hn)asn 注：注：一般判断矩阵是否病态，并不计算一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验得，而由经验得出。出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大
4、数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。第5页，共12页，编辑于2022年，星期一2ErrorAnalysisfor.近似解的误差估计及改善：近似解的误差估计及改善：设设的近似解为的近似解为，则一般有，则一般有cond(A)误差上限误差上限改善方法：改善方法：Step 1:近似解近似解Step 2:Step 3:Step 4:若若可被精确解出，则有可被精确解出，则有就是精确解了。就是精确解了。经验表明经验表明：若：若A 不是非常病态（例如：不是非常病态（例如：），则如），则如此迭代可达到机器精度；但若此迭代可达到机器精度；但
5、若A 病态，则此算法也不能改病态，则此算法也不能改进。进。HW:p.66#2,#4,#5第6页，共12页，编辑于2022年，星期一3Jacobi法和法和Gauss-Seidel法法/*Jacobi&Gauss-Seidel Iterative Methods*/JacobiIterativeMethod写成写成矩阵形式矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵迭代阵第7页，共12页，编辑于2022年，星期一3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods Algorithm:Jacobi Iterative MethodSolvegivenaninitialapproxi
6、mation.Input:thenumberofequationsandunknownsn;thematrixentriesa;theentriesb;theinitialapproximationX0;toleranceTOL;maximumnumberofiterationsNmax.Output:approximatesolutionXoramessageoffailure.Step 1Setk=1;Step 2While(k Nmax)dosteps3-6Step 3Fori=1,nSet;/*computexk*/Step 4IfthenOutput(X);STOP;/*succes
7、sful*/Step 5Fori=1,nSetX0=X;/*updateX0*/Step 6Setk+;Step 7Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*unsuccessful*/Whatifaii=0?迭代过程中，迭代过程中，A的元素的元素不改变，故可以不改变，故可以事先调整事先调整好好A使得使得aii 0，否则否则A不可逆不可逆。必须等必须等X(k)完全计算完全计算好了才能计算好了才能计算X(k+1)，因此，因此需要需要两组向量两组向量存储。存储。A bit wasteful,isnt it?第8页，共12页，编辑于2022年，
8、星期一3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods Gauss-SeidelIterativeMethod只存一组向量即可。只存一组向量即可。写成写成矩阵形式矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵迭代阵第9页，共12页，编辑于2022年，星期一A mathematician about his colleague:Hemadealotofmistakes,buthemadetheminagooddirection.Itriedtocopythis,butIfoundoutthatitisverydifficulttomakegoodmistakes.3Jacob
9、i&Gauss-SeidelIterativeMethods注：注：注：注：二种方法都存在二种方法都存在收敛性问题收敛性问题。有例子表明：有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，法收敛时，Jacobi法可能法可能不收敛；而不收敛；而Jacobi法收敛时，法收敛时，Gauss-Seidel法也可能法也可能不收敛。不收敛。p.76#2给出了例子。给出了例子。收敛性分析将在下节课讨论。收敛性分析将在下节课讨论。第10页，共12页，编辑于2022年，星期一3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsLab07.Gauss-SeidelMethodUsetheGauss
10、-SeidelmethodtosolveagivennnlinearsystemwithaninitialapproximationandagiventoleranceTOL.InputThereareseveralsetsofinputs.Foreachset:The1stlinecontainsaninteger100 n 0whichisthesizeofamatrix.n=1signalstheendoffile.Thefollowingnlinescontaintheaugmentedmatrixinthefollowingformat:Thenumbersareseparatedb
11、yspacesandnewlines.ThelastlineofeachtestcasecontainsarealnumberTOL,whichis the tolerance for|norm,and an integer N 0 which is themaximumnumberofiteration.第11页，共12页，编辑于2022年，星期一3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsOutput /*represents a space*/EachentryofthesolutionistobeprintedasintheCfprintf:fprintf(
12、outfile,%12.8fn,x);Ifthematrixhasazerocolumn,printthemessage“Matrixhasazerocolumn.Nouniquesolutionexists.n”.If the method fails to give a solution afterN iterations,print the message“Maximumnumberofiterationsexceeded.n”.Ifthereisanentryofthatisoutoftherange,printthemessage“Noconvergence.n”.Theoutput
13、softwotestcasesmustbeseperatedbyablankline.Sample InputSample Input (represents a space)represents a space)31010911027041060.000000001100033101360033040.00000000110001Sample OutputSample Output (represents a space)represents a space)1.000000001.000000001.00000000Matrixhasazerocolumn.Nouniquesolutionexists.第12页，共12页，编辑于2022年，星期一