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1、高一数学必修函数的最值本讲稿第一页，共十四页问题提出问题提出1.1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.2.函数函数图图象上升与下降反映了函数的象上升与下降反映了函数的单调单调性，性，如果函数如果函数的图象存在最高点或最低点，它又的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？反映了函数的什么性质？本讲稿第二页，共十四页知识探究（一）知识探究（一）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：图图1ox0 xMy思考思考1:1:这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？y yx xox0图图2MAB 第一个函数图象有最高点第一个函数图象有
2、最高点A,第二个函数图象有最高点第二个函数图象有最高点B,也就是说也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最高点这两个函数的图象的共同特征是都有最高点思考思考2:函数图象上任意点函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关的坐标与函数有什么关系系?本讲稿第三页，共十四页 函数图象上任意点函数图象上任意点P(x,y)的意义的意义:横坐标横坐标x是自变量的取值是自变量的取值,纵坐标纵坐标y是自变量为是自变量为x时对应的函数值的大小时对应的函数值的大小.思考思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值函数图象上最
3、高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即即函数的最大值函数的最大值思考思考4:设函数设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,则对则对函数定义域内任意自变量函数定义域内任意自变量x,f(x)与与M的大小关系如何的大小关系如何?f(x)M思考思考5:设函数设函数f(x)=1-x2,则则f(x)2成立吗成立吗?f(x)的最的最大值是大值是2吗吗?为什么为什么?本讲稿第四页，共十四页思考思考6:在数学中在数学中,形如问题形如问题1中的函数中的函数y=f(x)的图象上最高点的图象上最高点A、B的纵坐标就是函数的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能给出函数最大值的最大值，谁能给
4、出函数最大值的定义，用什么符号表示？的定义，用什么符号表示？一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 ,都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 .那么称那么称M是函数是函数 的最大值，记作的最大值，记作思考思考7:函数的最大值的定义中函数的最大值的定义中f(x)M即即f(x)f(x0),这个不等式反映了函数这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？点？其图象又具有什么特征？本讲稿第五页，共十四页 f(X)M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于
5、实数M，这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M。思考思考8：函数最大值的几何意义是什么？函数最大值的几何意义是什么？函数图象最高点的纵坐标。函数图象最高点的纵坐标。思考思考9:9:函数函数 有最大有最大值吗？为什么？点（值吗？为什么？点（-1-1，3 3）是不是最高点）是不是最高点？思考思考10：由问题由问题9你发现了什么值得注意的地方？你发现了什么值得注意的地方？讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点。本讲稿第六页，共十四页图图1yox0 xm知识探究（二）知识探究（二）观察下列两个函数的图象：观察下列两个
6、函数的图象：xyox0图图2m思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考思考2:2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？的最小值？本讲稿第七页，共十四页一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在实数如果存在实数m满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 ,都有都有 ;（2 2）存在）存在 ，使得，使得 .那么称那么称m是函数是函数 的最小值，记作的最小值，记作函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。函数最小值
7、的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。本讲稿第八页，共十四页知识探究（三）知识探究（三）思考思考1:1:如果在函数如果在函数 定义域内存在定义域内存在x x1 1和和 x x2 2，使对定义域内任意使对定义域内任意x x都有都有成立，由此你能得到什么结论？成立，由此你能得到什么结论？思考思考2:2:如果函数如果函数 存在最大值，那么有几个？存在最大值，那么有几个？思考思考3:
8、3:如果函数如果函数 的最大值是的最大值是b b，最小值是，最小值是a a，那么函数那么函数 的值域是的值域是aa，bb吗？吗？本讲稿第九页，共十四页理论迁移理论迁移例例1 1已知函数已知函数 ，求函数，求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值.单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：如果函数y=f(X)在区间（a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).如果函数y=f(X)在区间（a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).如果函数y=f(X)在区间a,b上单调
9、递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).1、利用、利用函数单调性函数单调性的求函数的最大（小）值的求函数的最大（小）值 本讲稿第十页，共十四页例例 2 “菊花菊花”烟花是最壮观烟花是最壮观 的烟的烟花之一。制造时一般是期望在它花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂达到最高点时爆裂,如果如果烟花烟花 距地面的距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么，那么烟花冲出后什么时候是烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少?（精
10、（精确到确到1m）2、利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最大）求函数的最大（小）值（小）值本讲稿第十一页，共十四页解：作出函数解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，函数图象的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。纵坐标就是这时距地面的高度。1234102015530250ht由二次函数的知识，对于函数由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当我们有：当
11、时，函数有最大值时，函数有最大值 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为高度约为29m本讲稿第十二页，共十四页例例3将进货单价将进货单价40元的商品按元的商品按50元一个售出时，能元一个售出时，能卖出卖出500个，若此商品每个涨价个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次函数本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是解决实际问题的能力，解应用题步骤是审清题意读懂题；审清题意读懂题；实际问题转化为数学问题来解决；实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论。归纳结论。注意：注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合。助于图象即数形结合。本讲稿第十三页，共十四页3、利用利用图象图象求函数的最大（小）值求函数的最大（小）值 -2x+1 x-1例例4、求函数、求函数f(x)=3 -1x2 的最值的最值 2x-1 x2本讲稿第十四页，共十四页