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1、水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理5.1概述概述w工程中绝大多数水利工程可用一元恒定总流方程解决；工程中绝大多数水利工程可用一元恒定总流方程解决；w实际工程中遇到的二元或三元的流动问题可建立三元流实际工程中遇到的二元或三元的流动问题可建立三元流动的基本方程解决；动的基本方程解决；w重点解决恒定平面势流问题（主要用于解决地下水渗流重点解决恒定平面势流问题（主要用于解决地下水渗流问题）问题）第第5 5章章 液体三元流动基本原理液体三元流动基本原理水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理本章内容本章内容5.2 5.2 流线与迹线微分方程流线与迹线微分方程5.3 5.
2、3 液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程5.4 5.4 液体微团运动的基本形式液体微团运动的基本形式5.5 5.5 有旋运动简介有旋运动简介5.6 5.6 液体恒定平面势流液体恒定平面势流5.7 5.7 边界层简介边界层简介第第5 5章章 液体三元流动基本原理液体三元流动基本原理水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理1.流线流线（1）定义）定义：流线是某流线是某瞬时在流场中绘出的曲瞬时在流场中绘出的曲线，曲线上各点的速度线，曲线上各点的速度矢量均与该曲线相切。矢量均与该曲线相切。5.2 5.2 流线与迹线微分方程流线与迹线微分方程水力学水力学水力学水力学 第五章 液
3、体三元流动基本原理（2）流线方程）流线方程：由由得出流线微分方程：得出流线微分方程：t 为流线方程的参数，积分时可视作常数。为流线方程的参数，积分时可视作常数。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2.迹线迹线（1）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。（2）迹线方程）迹线方程由由得出迹线微分方程：得出迹线微分方程：t 为变量。为变量。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理例例1 1 已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场为为(式中，式中，k 为大于零的常数为大于零的常数)，求流线与迹线。，求流线与迹
4、线。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理5.3 5.3 液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程dt时段时段,x,y,z三个方向流三个方向流出与流入控制体积的液出与流入控制体积的液体的质量差为：体的质量差为：1 1、方程的推导、方程的推导水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理哈密顿算子哈密顿算子液体三元流动的连续性方程液体三元流动的连续性方程质量净流出质量净流出质量减少质量减少水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理水力学水力学水力
5、学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2连续性方程的简化连续性方程的简化（1）恒定流动，不论液体是否压缩）恒定流动，不论液体是否压缩（2）不可压缩流体流动，不论是否恒定）不可压缩流体流动，不论是否恒定（4）对于二维恒定不可压缩流动）对于二维恒定不可压缩流动水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理3 3连续性方程的意义连续性方程的意义（1 1）质量守恒）质量守恒（2 2）用连续性方程判别流动能否发生）用连续性方程判别流动能否发生（3 3）用连续性方程推求某一速度分量）用连续性方程推求某一速度分量（4 4）与运动微分方程联立求解）与运动微分方程联立求解 水力学水力学水力学水力学 第五
6、章 液体三元流动基本原理例例1 1 已知二维恒定不可压缩流动速度场为已知二维恒定不可压缩流动速度场为 判别流动是否能发生。判别流动是否能发生。解：解：所以该流动能发生。所以该流动能发生。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理例例2 2 已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为 式中式中A为常数，求切向速度分量为常数，求切向速度分量解：解：水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理1 1、液体微团运动形式：、液体微团运动形式：5.4 5.4 液体微团运动的基本形式液体微团运动的基本形式平移、旋转和变形平移、旋转和变形水力学水力学水力
7、学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2 2、液体质点的基本运动形式分析、液体质点的基本运动形式分析、液体质点的基本运动形式分析、液体质点的基本运动形式分析设微团平行于设微团平行于设微团平行于设微团平行于xoyxoy平面的投影面为平面的投影面为平面的投影面为平面的投影面为ABCDABCD，在在在在t t瞬时，各角瞬时，各角瞬时，各角瞬时，各角点沿点沿点沿点沿x x,y y方向的速度分量方向的速度分量方向的速度分量方向的速度分量水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理液体质点的基本运动形式液体质点的基本运动形式w平移平移是指液体微团在运动是指液体微团在运动过程中任一线段的长度和过程
8、中任一线段的长度和方位均不变。方位均不变。w平移速度为平移速度为ux,uy水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理线变形线变形是指液体微团在运动过程中仅存在各线段是指液体微团在运动过程中仅存在各线段的伸长或缩短。的伸长或缩短。线变形率线变形率水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理角变形角变形角角BAC的减少量为的减少量为平均角变形为平均角变形为x角变形率角变形率水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理w角变形角变形和旋转和旋转水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理角变形率角变形率旋转角速度旋转角速度水力学水力学水力学水力学 第五章 液
9、体三元流动基本原理角变形率角变形率旋转角速度旋转角速度水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理线变形率分量：线变形率分量：角变形率分量：角变形率分量：旋转角速度分量：旋转角速度分量：水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理变形率（应变率）张量为：变形率（应变率）张量为：流体的速度分解定理：流场中任一点处的流体的速度分解定理：流场中任一点处的速度速度 为平移速度为平移速度 、旋转速度、旋转速度 与变形速度与变形速度 之和。之和。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理5.5 5.5 有旋运动简介有旋运动简介w有旋流动（有涡流动）有旋流动（有涡流动）类似于
10、流速场引用流线、流管、流束、流量类似于流速场引用流线、流管、流束、流量有旋运动的涡有旋运动的涡场引入涡线、涡管、涡束、涡通量场引入涡线、涡管、涡束、涡通量的概念来表征。的概念来表征。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理涡线、涡管、涡束涡线、涡管、涡束在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此曲在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此曲线上，各质点的旋转角速度矢量线上，各质点的旋转角速度矢量都与该点的曲线相切，都与该点的曲线相切，则定义这条曲线为涡线。则定义这条曲线为涡线。涡线微分方程涡线微分方程水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理涡量、涡通量、速度
11、环量和斯托克斯定理涡量、涡通量、速度环量和斯托克斯定理涡量涡量:速度的旋度速度的旋度。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理涡通量（涡旋强度）涡通量（涡旋强度）速度环量速度环量:在流场中任取一封闭的曲线在流场中任取一封闭的曲线，把速度沿该封，把速度沿该封闭曲线的线积分定义为绕曲线闭曲线的线积分定义为绕曲线L的速度环量的速度环量，记作，记作:水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理斯托克斯定律：通过某一曲面的涡通斯托克斯定律：通过某一曲面的涡通量量等于沿该曲面周界的速度等于沿该曲面周界的速度环量环量。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理1 1、流函
12、数定义流函数定义5.6 5.6 液体恒定平面势流液体恒定平面势流5.6.1 5.6.1 流函数流函数 由流体平面不可压缩的连续性方程由流体平面不可压缩的连续性方程,即即则有则有即连续性方程自动满足即连续性方程自动满足 称称 为流函数为流函数若设若设水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2 2、流函数的性质、流函数的性质(1).(1).=C为流线为流线,即流函数等值线就是流线即流函数等值线就是流线(2).(2).平面无旋不可压平面无旋不可压,流函数满足拉氏方程流函数满足拉氏方程 为调和函数为调和函数水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理(3).(3).两条流线的流
13、函数值之差等于两条流线的流函数值之差等于这两条流线间所通这两条流线间所通过的过的单宽流量单宽流量水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理1 1、速度势函数定义、速度势函数定义流动无旋流动无旋5.6.2 5.6.2 速度势函数速度势函数若令若令流动无旋自动满足流动无旋自动满足称称j j为速度势函数为速度势函数则有则有水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2、速度势函数的性质、速度势函数的性质(1)(1)等势线与流线正交等势线与流线正交水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2、速度势函数的性质、速度势函数的性质(2)(2)无旋不可压无旋不可压,速度势函
14、数满足拉氏方程速度势函数满足拉氏方程j j为调和函数为调和函数代入不可压连续性方程得代入不可压连续性方程得水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理例例3 3 平面速度场平面速度场 试求试求:(1).:(1).是否为可能存在的流动是否为可能存在的流动 (2).(2).求流函数求流函数 (3).(3).是否无旋是否无旋 解解:(1).(2).水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理例例3 3 平面速度场平面速度场 试求试求:(2).:(2).求流函数求流函数 解解:水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理例例3 3 平面速度场平面速度场 试求试求:(1).
15、:(1).是否为可能存在的流动是否为可能存在的流动 (2).(2).求流函求流函数数(3).(3).是否无旋是否无旋 解解:(3).所以流动无旋所以流动无旋水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理1.1.流函数与速度势函数为共轭函数流函数与速度势函数为共轭函数流函数与速度势函数这一关系，在数学上称为流函数与速度势函数这一关系，在数学上称为柯西柯西(Cauchy)-)-黎曼（黎曼（Riemann）条件，满足这）条件，满足这一条件的函数称为一条件的函数称为共轭函数共轭函数。5.6.3 5.6.3 流网及其性质流网及其性质水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2、流网的
16、性质、流网的性质2 2 每一网格的边长之比，等于流函数和流速势函数的每一网格的边长之比，等于流函数和流速势函数的增量之比增量之比;1 1 流网是正交网格流网是正交网格;水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2、流网的性质、流网的性质3对于曲边正方形网格，任意两条流线间的单宽流对于曲边正方形网格，任意两条流线间的单宽流量为常量。量为常量。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理3、求流网的方法、求流网的方法解析法解析法实验法（水电比拟法）实验法（水电比拟法）手描法手描法水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理水电比拟法水电比拟法电场中的物理量与渗流场中
17、的物理量存在着相似关系。电场中的物理量与渗流场中的物理量存在着相似关系。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理手描法绘制流网的步骤：手描法绘制流网的步骤：1.按比例绘制流动的边界，按比例绘制流动的边界，确定边界流线和边界等势线；确定边界流线和边界等势线；2.按液流的流动趋势试绘流线；按液流的流动趋势试绘流线；3.根据流网正交特性绘制等势线。一般绘制成曲边正方形根据流网正交特性绘制等势线。一般绘制成曲边正方形网格网格;4.检验。加绘网格的对角线加以检验检验。加绘网格的对角线加以检验;初绘流网，不一定符合要求，重复步骤初绘流网，不一定符合要求，重复步骤2、3进行修正，直进行修正，直
18、至符合要求为止。至符合要求为止。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理5.6.4基本平面势流及势流叠加原理基本平面势流及势流叠加原理不可压液体基本平面势流不可压液体基本平面势流1.平行流平行流速度场：速度场：流函数：流函数：势函数：势函数：流流线：平行与线：平行与x轴的直线。轴的直线。等势线：平行与等势线：平行与y轴的直线。轴的直线。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2.源与汇源与汇速度场：速度场：流函数：流函数：势函数：势函数：流流线：为一族从原点引出的径向直线线：为一族从原点引出的径向直线等势线：为以原点为圆心的一族同心圆等势线：为以原点为圆心的一族同心
19、圆极坐标的柯西黎曼条件极坐标的柯西黎曼条件水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理 3.势涡势涡（自由涡）（自由涡）速度场：速度场：流函数：流函数：势函数：势函数：流流线：为以原点为圆心的一族同心圆线：为以原点为圆心的一族同心圆等势线：为一族从原点引出的径向直线等势线：为一族从原点引出的径向直线水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理w势流叠加原理势流叠加原理设有两个简单势流，其势函数分别为设有两个简单势流，其势函数分别为，流函，流函数分别为数分别为，流速分别为，流速分别为。这两个简单势。这两个简单势流叠加后仍然为势流。流叠加后仍然为势流。势函数：势函数：流函数：流
20、函数：流流速速:水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理5.75.7粘性液体应力特征及应力粘性液体应力特征及应力变形率关系变形率关系用理想液体的势流理论来研究低粘性大雷诺数情况下的粘性液体运动，所用理想液体的势流理论来研究低粘性大雷诺数情况下的粘性液体运动，所得的流速分布在除壁面附近以外的广大区域内是符合实际的，而压强分布几得的流速分布在除壁面附近以外的广大区域内是符合实际的，而压强分布几乎在全流场范围内都与实际一致。但在计算阻力等其他问题时，则会得到错乎在全流场范围内都与实际一致。但在计算阻力等其他问题时，则会得到错误的结果。误的结果。对于高粘性或小雷诺数情况下的粘性液体运动，
21、则势流解与实际相差甚对于高粘性或小雷诺数情况下的粘性液体运动，则势流解与实际相差甚远；为此需研究粘性流体的三元流动问题。远；为此需研究粘性流体的三元流动问题。本节研究粘性液体流动的应力特征和应力与变形率的一般关系，以便为建立本节研究粘性液体流动的应力特征和应力与变形率的一般关系，以便为建立不可压缩粘性液体运动微分方程和以后研究边界层理论打下基础。不可压缩粘性液体运动微分方程和以后研究边界层理论打下基础。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理w液流中一点处的应力状态液流中一点处的应力状态在粘性液流中，不但有压应力，而且有切应力存在，故其表面力可以分在粘性液流中，不但有压应力，而且
22、有切应力存在，故其表面力可以分解成互相正交的一个法向应力解成互相正交的一个法向应力(正应力正应力)和两个切向应力。和两个切向应力。微小正六面体液体微团各边均趋于零时，正六面体趋于一点。微小正六面体液体微团各边均趋于零时，正六面体趋于一点。A点的三个互相垂点的三个互相垂直的作用面上，有三个法向应力分量和六个切向应力分量，这九个应力分量就反直的作用面上，有三个法向应力分量和六个切向应力分量，这九个应力分量就反映了该点的应力状态。映了该点的应力状态。第一个下标表示作用面的法线方向，第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方向。第二个下标表示应力的作用方向。当作用面的外法线方向与坐标当
23、作用面的外法线方向与坐标轴指向一致时，应力以顺坐标轴轴指向一致时，应力以顺坐标轴指向为正，当作用面的外法线方指向为正，当作用面的外法线方向与坐标轴指向相反时，应力以向与坐标轴指向相反时，应力以逆坐标轴指向为正。逆坐标轴指向为正。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理w应力与变形率的关系应力与变形率的关系牛顿内摩擦定律的应力与变形率成线性关系。假定在粘性液体三元流动一般情牛顿内摩擦定律的应力与变形率成线性关系。假定在粘性液体三元流动一般情况下，应力与变形率之间仍然保持线性关系，略去推导过程直接写出它们之间况下，应力与变形率之间仍然保持线性关系，略去推导过程直接写出它们之间的关系。
24、的关系。对于法向应力对于法向应力以上各分式中的第二项为粘件附加压强项。对于不可压缩流体以上各分式中的第二项为粘件附加压强项。对于不可压缩流体表明附加压强项与动力粘性系数及线变形率有关。表明附加压强项与动力粘性系数及线变形率有关。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理切应力切应力上式称为广义牛顿内摩擦定律。上式称为广义牛顿内摩擦定律。同一点的切应力，当下标互换时，彼此相等。因此，粘性流体中，一点处的同一点的切应力，当下标互换时，彼此相等。因此，粘性流体中，一点处的9个个分量中，只有分量中，只有6个是彼此独立的个是彼此独立的。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理法
25、向应力和切应力表达式反应了不可压缩牛顿流体三元流动应力与法向应力和切应力表达式反应了不可压缩牛顿流体三元流动应力与变形率的一般关系式。它包括各种特殊情况，讨论如下：变形率的一般关系式。它包括各种特殊情况，讨论如下：.当液体静止时，；法向应力为当液体静止时，；法向应力为；这里，这里，p为静水压强，仅此一个标量就能描为静水压强，仅此一个标量就能描述静止液体中一点的应力状态。述静止液体中一点的应力状态。2当液体流动，但粘性效应可以忽略不计计，即为理想液体时，式中粘性项均可略当液体流动，但粘性效应可以忽略不计计，即为理想液体时，式中粘性项均可略去。同样有去。同样有；。即在理想液体中，也。即在理想液体中
26、，也不存在切应力，而各方向的法向应力的大小就等于理想液流中动水压强不存在切应力，而各方向的法向应力的大小就等于理想液流中动水压强p。3当粘性液体作平面流动（当粘性液体作平面流动（xoy平面），平面），时，则可简化为牛顿内摩擦时，则可简化为牛顿内摩擦定律定律。而切应力表达式可看作是牛顿内摩擦定律的三元推广，因。而切应力表达式可看作是牛顿内摩擦定律的三元推广，因此被称为广义牛顿内摩擦定律。此被称为广义牛顿内摩擦定律。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理w粘性液体三元流动的法向应力特征粘性液体三元流动的法向应力特征当粘性液体流动时由于粘性影响，不仅出现切应力，而且一点处各方向上的当
27、粘性液体流动时由于粘性影响，不仅出现切应力，而且一点处各方向上的法向应力的大小也不等。由法向应力表达式可知，除法向应力的大小也不等。由法向应力表达式可知，除-p外，还有一项粘性附加压外，还有一项粘性附加压强项。如果把三个法向应力的表达式相加，则得强项。如果把三个法向应力的表达式相加，则得对于不可压缩流体对于不可压缩流体式中式中p为粘性液体的动水压强。它的大小是三个坐标方向上法向应力的平均值。为粘性液体的动水压强。它的大小是三个坐标方向上法向应力的平均值。一般情况下，它是位置坐标的函数，非恒定流时还是时间的函数。一般情况下，它是位置坐标的函数，非恒定流时还是时间的函数。水力学水力学水力学水力学
28、第五章 液体三元流动基本原理5.8 5.8 液体运动微分方程液体运动微分方程在研究液流内部应力特性的基础上，可根据牛在研究液流内部应力特性的基础上，可根据牛顿运动定律，先建立应力形式的运动微分方程顿运动定律，先建立应力形式的运动微分方程(应力微分方程应力微分方程)，再建立不可压缩粘性液体运动，再建立不可压缩粘性液体运动微分方程微分方程(纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程)、理想液体运动、理想液体运动微分方程微分方程(欧拉方程欧拉方程)和以时均值表示的粘性液体和以时均值表示的粘性液体紊流时均运动微分力程紊流时均运动微分力程(雷诺方程雷诺方程)。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理
29、w应力形式的运动微分方程应力形式的运动微分方程在粘件液体中取一微小正六面体为控制体分析作用于控制体内液体的在粘件液体中取一微小正六面体为控制体分析作用于控制体内液体的力。力。1质量力质量力单位质量力单位质量力f，在，在x，y，z坐标铀的投影为坐标铀的投影为，总质量力，总质量力F在在x，y，z坐标铀的投影为坐标铀的投影为则则水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理2表面力表面力单位表面力为：单位表面力为：根据牛顿第二运动定律。其根据牛顿第二运动定律。其x方向的分量式为方向的分量式为上式为以应力形式表示的运动微分方程，上式为以应力形式表示的运动微分方程，简称应力微分方程。简称应力微分
30、方程。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理w不可压粘性液体运动微分方程不可压粘性液体运动微分方程_N-S方程方程对于符合牛顿内摩核定律的粘性不可压缩液体，可将反映应力特征的关系式对于符合牛顿内摩核定律的粘性不可压缩液体，可将反映应力特征的关系式及不可压缩液体的连续性代入应力微分方程，整理可得及不可压缩液体的连续性代入应力微分方程，整理可得：右边为外力项：质量力、压力、粘性力；左边为加速度项右边为外力项：质量力、压力、粘性力；左边为加速度项:当地加速度和迁移当地加速度和迁移加速度。各项均对单位质量流体而言。称为不可压缩粘性液体运动微分方程。加速度。各项均对单位质量流体而言。称为
31、不可压缩粘性液体运动微分方程。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理w欧拉运动方程：对于理想液体。欧拉运动方程：对于理想液体。水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理5.10 5.10 边界层概念、边界层分离、边界层概念、边界层分离、绕流阻力绕流阻力一一边界层概念边界层概念水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理二二边界层分离边界层分离水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理三三绕流阻力绕流阻力水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理水力学水力学水力学水力学 第五章 液
32、体三元流动基本原理由图可知：由图可知：式中，式中，为全微分，则有为全微分，则有5.4.2 5.4.2 液体微团速度分解定理液体微团速度分解定理水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理配项得出：配项得出：水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理则有：则有：改写成：改写成：水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理得出矢量表达式（速度分解定理）：得出矢量表达式（速度分解定理）：式中式中:为速度矢量为速度矢量为平移速度矢量为平移速度矢量为旋转角速度矢量为旋转角速度矢量为矢径为矢径水力学水力学水力学水力学 第五章 液体三元流动基本原理