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1、1 14.3 4.3 因因式分解式分解14.3.2 14.3.2 公公式式法法第一课时第二课时人教人教版版 数学数学 八八年级年级 上册上册第一课时第一课时平方差公式平方差公式a米米b米米b米米a米米(ab)如图，在如图，在边长为边长为a米的正方形上剪掉一个边长为米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方米的小正方形，将形，将剩余部分拼成一个长方剩余部分拼成一个长方形，根形，根据此据此图形变图形变换，你换，你能得到什么公式？能得到什么公式？a2 b2=(a+b)(ab)导入新知导入新知1.探探索并运用索并运用平方差公式平方差公式进行因式分进行因式分解，解，体体会转化思想会转化思想2.能能综合综合运
2、用提公因式法和平方差公式对运用提公因式法和平方差公式对多项式多项式进行进行因式分解因式分解素养目标素养目标用平方差公式进行因式分解用平方差公式进行因式分解多多项式项式a2b2有什么特点？你能将它分解因式吗？有什么特点？你能将它分解因式吗？是a，b两数的平方差的形式)(baba+=22ba)(22bababa+=整式乘法因式分解因式分解 两两个数的个数的平方平方差差，等，等于这两个数的于这两个数的和和与这两个与这两个数的数的差差的的乘积乘积.平方差公式：平方差公式：探究新知探究新知知识点 1想一想想一想辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为式，为什么？
3、什么？符符合合平平方方差差的的形形式式的的多多项项式式才才能能用用平平方方差差公公式式进进行行因因式式分分解解，即即能能写写成成:()2()2的形式的形式.两数是平两数是平方，方，减号在中央减号在中央(1)x2+y2(2)x2y2(3)x2y2(x2+y2)y2x2(4)x2+y2(5)x225y2(x+5y)(x5y)(6)m21(m+1)(m1)探究新知探究新知例例1 分解因式：分解因式：aabb(+)()a2 b2 =解解:(1)原原式式=2x32x2x33(2)原原式式ab素素养养考考点点 1利利用平方差公式分解因式的应用平方差公式分解因式的应用用探究新知探究新知 方法点拨 公公式中的
4、式中的a、b无论表示无论表示数、单项式、数、单项式、还是还是多项多项式式，只，只要被分解的多项式能要被分解的多项式能转转化化成成平方差平方差的形的形式，就式，就能用平方差公式能用平方差公式因式分解因式分解.探究新知探究新知1.分解因式：分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.(2m4n)(4m2n)解解：(1)原原式式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原原式式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若若用平方差公式分解后的用平方差公式分解后的结果中有公因结果中有公因式，一式，一定要再用定要再用提公因式法继续分解提公因式法继续分解.巩固练习巩
5、固练习例例2 分分解因式：解因式：解解：(1)原原式式(x2)2(y2)2(x2+y2)(x2y2)分解分解因式因式后，一后，一定要检查是否还定要检查是否还有能继续分解的因有能继续分解的因式，若有，则式，若有，则需继需继续分续分解，直解，直到不能分解为止到不能分解为止.(x2+y2)(x+y)(xy);(2)原原式式ab(a21)分解分解因式因式时，一时，一般先用提公因般先用提公因式法进行分式法进行分解，然解，然后再用公式法后再用公式法.最最后进行检查后进行检查.ab(a+1)(a1).素素养养考考点点 2多次因式分解多次因式分解探究新知探究新知 方法点拨 分解分解因式前应先分析多项式的特因式
6、前应先分析多项式的特点，一点，一般般先提公因先提公因式式，再再套用公式套用公式必须进行到每必须进行到每一个多项式都一个多项式都不能再分解因式不能再分解因式为止为止探究新知探究新知2.分分解因式：解因式：(1)5m2a45m2b4；(2)a24b2a2b.(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解解：(1)原原式式5m2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2)(2)原原式式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)巩固练习巩固练习例例3 已知已知x2y22，xy1，求，求xy，x，y的值的值xy2.解：解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，联立联立组成二元一次
7、方程组成二元一次方程组组，解解得：得：素素养养考考点点 3利用因式分解求整式的值利用因式分解求整式的值探究新知探究新知方法总结：在与在与x2y2，xy有关的求代数式有关的求代数式或未知数的值的问题或未知数的值的问题中，中，通通常需先因式分常需先因式分解，然解，然后后整体代入整体代入或或联立方程联立方程组组求值求值.3.已知已知xy=2，x2y2=8，求，求x+y的的值值.巩固练习巩固练习例例4 计算下列各题：计算下列各题：(1)1012992；(2)53.52446.524.解解：(1)原原式式(10199)(10199)400；(2)原原式式4(53.5246.52)4(53.546.5)(
8、53.546.5)41007=2800.方法总结：方法总结：较为复杂的有理数运较为复杂的有理数运算，可算，可以运用因式分解对其进以运用因式分解对其进行变行变形，使形，使运算得以简化运算得以简化.素素养养考考点点 4利用因式分解进行简便运算利用因式分解进行简便运算探究新知探究新知4.用平方差公式进行简便计算:(1)3837 (2)21387(3)229171 (4)9189解解：(1)3837=(38+37)(3837)=75解：解：(2)21387=(213+87)(21387)=300126=37800解解：(3)229171=(229+171)(229171)=40058=23200解解：
9、(4)9189=(90+1)(901)=901=81001=8099巩固练习巩固练习例例5 求证：当求证：当n为整数为整数时，多时，多项项式式(2n+1)2(2n1)2一定能被一定能被8整除整除即多项即多项式式(2n+1)2(2n1)2一定能被一定能被8整除整除证明：证明：原式原式=(2n+1+2n1)(2n+12n+1)=4n2=8n，n为整为整数数，8n被被8整整除除，方法总结：方法总结：解决整除的基本思路就是将解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积代数式化为整式乘积的形的形式，然式，然后分析能被哪些数或式子整除后分析能被哪些数或式子整除素素养养考考点点 5利用因式分解进行证明利用因式
10、分解进行证明探究新知探究新知5.若若a，b，c是三角形的三是三角形的三边，且边，且满足满足关系式关系式a22bc=c22ab，试，试判断这个三角形的形状判断这个三角形的形状.解析：解析：已知等式变形已知等式变形后，利后，利用完全平方公式及平方差公用完全平方公式及平方差公式分式分解，得解，得到到a=c，即即可确定出三角形形状可确定出三角形形状.解：a22bc=c22ab，(a2c2)+2ab2bc=0，(a+c)(ac)+2ab2bc=0，(ac)(a+c+2b)=0.a+c+2b0，ac=0，即，即a=c，这个三角形是等腰三角形这个三角形是等腰三角形.巩固练习巩固练习1.(2018济济宁宁)多
11、多项式项式4aa3分解因式的结果分解因式的结果是是()Aa(4a2)Ba(2a)(2+a)Ca(a2)(a+2)Da(2a)2连连 接接 中中 考考2.(2018苏州苏州)若若a+b=4，ab=1，则则(a+1)2(b1)2的值的值为为 解析：解析：a+b=4，ab=1，(a+1)2(b1)2=(a+1+b1)(a+1b+1)=(a+b)(ab+2)=4(1+2)=12B12巩固练习巩固练习1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的下列多项式中能用平方差公式分解因式的是是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29D2.(2018邵邵阳阳)将将多项式多项式xx3因式分解正确的因式分解
12、正确的是是()Ax(x21)Bx(1x2)Cx(x+1)(x1)Dx(1+x)(1x)D3.若若a+b=3，ab=7，则，则b2a2的值的值为为()A21 B21 C10 D10A课堂堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题4.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)16(1)16a a2 299b b2 2=_;(2)(2)(a a+b b)2 2(a a b b)2 2=_;(3)(3)(2018徐州徐州)因式分解因式分解：2x28=_;(4)a4+16=_.(4a+3b)(4a3b)4ab(4+a2)(2+a)(2a)5.若将若将(2x)n81分解成分解成(4x2+9)()(2x+3)(
13、)(2x3)，则，则n的值的值是是_.42(x+2)(x2)课堂堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题1.已已知知4m+n=40，2m3n=5求求(m+2n)2(3mn)2的值的值原式原式=405=200解：解：原式原式=(m+2n+3m n)()(m+2n 3m+n)=(4m+n)()(3n 2m)=(4m+n)(2m 3n)，当当4m+n=40，2m3n=5时时，能能 力力 提提 升升 题题课堂堂检测2.如图，在如图，在边长为边长为6.8 cm正方形钢板正方形钢板上，挖上，挖去去4个个边长为边长为1.6 cm的小正方的小正方形，求形，求剩余部分的面积剩余部分的面积解：解：根据题根据题意，得意，
14、得6.8241.626.82(21.6)26.823.22(6.83.2)(6.8 3.2)103.636(cm2)答：答：剩余部分的面积为剩余部分的面积为36 cm2.课堂堂检测能能 力力 提提 升升 题题(1)9921能否被能否被100整除吗？整除吗？解解：(1)因因为为 9921=(99+1)(991)=10098，所所以以，(2n+1)225能被能被4整除整除.(2)n为整为整数，数，(2n+1)225能否被能否被4整除？整除？所以所以9921能被能被100100整除整除.(2)原原式式=(2n+1+5)(2n+15)=(2n+6)(2n4)=2(n+3)2(n2)=4(n+3)(n2
15、).拓拓 广广 探探 索索 题题课堂堂检测平方差公式分解因式公式a2b2=(a+b)(ab)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.课堂小结课堂小结第第二二课课时时完全平方公式完全平方公式 我们知我们知道，因道，因式分解与整式乘法是式分解与整式乘法是反方向的变反方向的变形，我形，我们学习了因式分解的们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法公式法.现现在，大在，大家自然会家自然会想，还想，还有哪些有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？乘法公式可以用来分解因式呢？导入新知导入新知2.能能较熟练地运用完全平方公式
16、分解因式较熟练地运用完全平方公式分解因式1.理理解完全平方公式的特点解完全平方公式的特点素养目标素养目标3.能能综合运用提公因式、完全平方公式分解综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明因式这两种方法进行求值和证明1.因式分解：因式分解：把一个多项式转化为把一个多项式转化为几个整式的积几个整式的积的形式的形式.2.我们已经学过哪些我们已经学过哪些因因式分解的方法式分解的方法？提提公因式法公因式法平平方差公式方差公式a2b2=(a+b)(ab)用完全平方公式分解因式用完全平方公式分解因式知识点 13.完全平方公式完全平方公式(ab)2=a22ab+b2探究新知探究新知回回顾
17、顾旧旧知知 你你能把下面能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：同学们拼出图形为：aabbababababab探究新知探究新知探究探究这个大正方形的面积可以怎么求这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=a aba ab baababb(a+b)2 a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来将上面的等式倒过来看，能看，能得到：得到：探究新知探究新知 a2+2ab+b2 a22ab+b2 我我们把们把a+2ab+b和和a2ab+b这样的式子这样的式子叫叫做做完完全平方式全平方式.观察这两个多项式：
18、观察这两个多项式：(1)每每个多项式有几项？个多项式有几项？(3)中中间项和第一间项和第一项，第项，第三项有什么关系三项有什么关系？(2)每每个多项式的第一项和第三项有什么特征？个多项式的第一项和第三项有什么特征？三三项项.这两项都是数或式的平这两项都是数或式的平方，并方，并且符号相且符号相同同.是第一项和第三项底数的积的是第一项和第三项底数的积的2 2倍倍.探究新知探究新知完全平方式的特点：完全平方式的特点：1.必须是必须是三项三项式式(或或可以看成三项可以看成三项的的)；2.有两个有两个同号同号的数或式的平方；的数或式的平方；3.中间有两底数之积的中间有两底数之积的2倍倍.完全平方式完全平
19、方式:探究新知探究新知简记口诀简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡凡具备这些特点的三项具备这些特点的三项式，就式，就是完全平方是完全平方式，将式，将它写成完全平方形它写成完全平方形式，便式，便实现了因式分解实现了因式分解.2ab+b2=(a b)a2首2+尾22首尾(首尾)2 两两个数的平方和加个数的平方和加上上(或或减减去去)这这两个数的两个数的积的积的2 2倍，等倍，等于这两个于这两个数的数的和和(或差或差)的的平方平方.探究新知探究新知 3.a+4ab+4b=()+2()()+()=()2.m6m+9=()2()()+()=()1.x+4x+4=()+2()()+()=()x2x
20、 +2 aa 2ba+2b2b对照对照 a2ab+b=(ab)，填，填空：空：mm 33x2 m3 探究新知探究新知试一试下列各式是不是完全平方式？下列各式是不是完全平方式？(1)a24a+4;(2)1+4a;(3)4b2+4b1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是只有两项；不是4b与1的符号不统一；不是不是是ab不是a与b的积的2倍.探究新知探究新知说一说例例1 分解因式：分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)x2+4xy4y2.分析：(1)中，中，16x2=(4x)2，9=3，24x=24x3，所以所以16x2+24x+9是一个完全平方是一个完全平方式式，即即16x
21、2+24x+9=(4x)2+24x3+(3)2.(2)中中首项有负首项有负号，一号，一般先利般先利用添括号法用添括号法则，将则，将其变形其变形为为(x24xy+4y2)，然然后再利用后再利用公式分解因式公式分解因式.素素养养考考点点 1利用完全平方公式分解因式利用完全平方公式分解因式探究新知探究新知解：解：(1)16x2+24x+9 =(4x+3)2；=(4x)2+24x3+(3)2 (2)x2+4xy4y2 =(x24xy+4y2)=(x2y)2.探究新知探究新知1.把把下列多项式因式分解下列多项式因式分解.(1)x212xy+36y2.(2)16a4+24a2b2+9b4.解解：(1)x2
22、12xy+36y2 =x22x6y+(6y)2 =(x6y)2.(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+24a23b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2.巩固练习巩固练习(3)2xyx2y2.(4)412(xy)+9(xy)2.解解：(3)2xyx2y2 =(x2+2xy+y2)=(x+y)2.(4)412(xy)+9(xy)2=22223(xy)+3(xy)2=23(xy)2=(23x+3y)2.巩固练习巩固练习例例2 如果如果x26x+N是一个完全平方是一个完全平方式，那式，那么么N是是()A.11 B.9 C.11 D.9B解析：解析：根据完全平方式的特根据完全平方式的特征
23、，中征，中间间项项6x=2x(3)，故故可知可知N=(3)2=9.素素养养考考点点 2利用完全平方公式求字母的值利用完全平方公式求字母的值探究新知探究新知 方法点拨 本题要本题要熟练掌握熟练掌握完全平方公式的结构特完全平方公式的结构特征征，根据参数所在位根据参数所在位置，结置，结合公合公式，找式，找出参数与已知出参数与已知项之间的数量关项之间的数量关系，从系，从而求出参数的值而求出参数的值.计算过程计算过程中，要中，要注意注意积的积的2倍的符倍的符号号，避，避免漏解免漏解探究新知探究新知2.如果如果x2mx+16是一个完全平方是一个完全平方式，那式，那么么m的值为的值为_.解析：解析：16=(
24、4)2，故故m=2(4)，m=8.8巩巩固练习固练习例例3 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)212(a+b)+36.解解:(1)(1)原原式式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；分析分析：(1)中中有公因式有公因式3a，应应先提出公因先提出公因式式，再再进一步分解因式进一步分解因式；(2)中将中将a+b看成一个整体看成一个整体，设，设a+b=m，则原式化为则原式化为m212m+36.(2)原原式式=(a+b)22(a+b)6+62 =(a+b6)2.素素养养考考点点 3利用完全平方公式进行较复杂的因式分解利用完全平方公式进
25、行较复杂的因式分解探究新知探究新知 利用利用公式把某些具有特殊形公式把某些具有特殊形式式(如如平方差平方差式，完式，完全平方式全平方式等等)的的多项式分多项式分解因解因式，这式，这种分解因式的方法叫做种分解因式的方法叫做公公式法式法.探究新知探究新知3.因式分解：因式分解：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.(a244a)(a244a)解解：(1)原原式式3a2(x28x16)3a2(x4)2；(2)原式原式(a24)2(4a)2(a2)2(a2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解巩固练习巩固练习例例4 把下列完全平方公式分解因式：把
26、下列完全平方公式分解因式：(1)1002210099+99；(2)3423432162.解解：(1)原原式式=(=(10099)(2)原原式式(3416)2 本题本题利用完全平利用完全平方公式分解因方公式分解因式，可式，可以简化计以简化计算算.=1.2500.素素养养考考点点 4利用完全平方公式进行简便运算利用完全平方公式进行简便运算探究新知探究新知4.计算计算:7652172352 17.解：解：7652172352 17 =17(7652 2352)=17(765+235)(765 235)=17 1 000 530=9010000.巩固练习巩固练习例例5 已知已知:a2+b2+2a4b+
27、5=0，求，求2a2+4b3的值。的值。提示：提示：从已知条件可以看出从已知条件可以看出，a2+b2+2a4b+5与完全平与完全平方式有很大的相似性方式有很大的相似性(颜色相同的项颜色相同的项)，因此可通过，因此可通过“凑凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和非负数之和等于等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解的形式，从而利用非负数的性质来求解。素素养养考考点点 5利用完全平方公式和非负性求字母的值利用完全平方公式和非负性求字母的值探究新知探究新知解：解：由已知可由已知可得得(a2+2a+1)+(b24b+4)=0 即即(a+1)2+(b2)2
28、=0 2a2+4b3=2(1)2+423=7探究新知探究新知方法总结：遇到多项式的遇到多项式的值等于值等于0 0、求另一个多项式、求另一个多项式的的值，常值，常常通过变形为完常通过变形为完全平方公式全平方公式和和(非非负数的负数的和和)的的形形式，然式，然后利用非负数后利用非负数性质来解答性质来解答5.已知已知x24xy210y290，求，求x2y22xy1的值的值112121.解：解：x24xy210y290，(x2)2(y5)20.(x2)20，(y5)20，x20，y50，x2，y5，x2y22xy1(xy1)2 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.巩固练习巩固练习1.(2018湘
29、湘潭潭)因因式分解：式分解：a22ab+b2=连连 接接 中中 考考巩固练习巩固练习2.(2018菏泽菏泽)若若a+b=2，ab=3，则代数式则代数式a3b+2a2b2+ab3的的值为值为 解析：解析：a+b=2，ab=3，a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)，=ab(a+b)2，=34，=12(ab)2121.下列四个多项式下列四个多项式中，能中，能因式分解的因式分解的是是()Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y2.把多项式把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果分解因式的结果是是()A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2Cx(4xy4y2x2)Dx(4xy4y
30、2x2)3.若若m2n1，则，则m24mn4n2的值是的值是_BB14.若关于若关于x的多项式的多项式x28xm2是完全平方是完全平方式，则式，则m的值为的值为_ 4课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题5.把把下列多项式因式分解下列多项式因式分解.(1)x212x+36;(2)4(2a+b)24(2a+b)+1;(3)y2+2y+1x2;(2)原式原式=2(2a+b)22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;解解：(1)原式原式=x22x6+(6)2=(x6)2;(3)原式原式=(y+1)x=(y+1+x)(y+1x).课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题(2)原式原式
31、1.计算计算：(1)38.92238.948.948.92.解解：(1)原原式式(38.948.9)2100.能能 力力 提提 升升 题题课堂检测课堂检测2.分分解因式解因式:(1)4x24x1；(2)小聪和小明的解答过程如下：小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错他们做对了吗？若错误，请误，请你帮忙纠正过来你帮忙纠正过来.x2 222x3.3.(2)原原式式 (x26x9)(x3)2解解:(1)原原式式(2x)222x11(2x+1)2 小聪小聪:小明小明:课堂检测课堂检测能能 力力 提提 升升 题题(1)已已知知ab3，求，求a(a2b)b2的值的值；(2)已已知知ab2，ab5，求，求a3b2a2b2ab3的值的值原式原式25250.解解：(1)原原式式a22abb2(ab)2.当当ab3时，时，原原式式329.(2)原原式式ab(a22abb2)ab(ab)2.当当ab2，ab5时时，拓拓 广广 探探 索索 题题课堂检测课堂检测完全平方公式分解因式公公式式a22ab+b2=(ab)2特特点点(1)(1)要求多项式有三项三项.(2)(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.课堂小堂小结1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的完成练习册本课时的习题习题.课后作业课后作业