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1、中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识第六章第六章 微分学基本定理及其应用微分学基本定理及其应用6.1 中值定理中值定理6.2 洛必达法则洛必达法则6.3 泰勒公式泰勒公式6.4 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识 6.1 中值定理中值定理中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识极大值极大值极大值极大值极小
2、值极小值极小值极小值极小值极小值xyO图图 1中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识罗尔罗尔 (Rolle)定理定理满足满足:(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b)使使证证:故在故在 a,b 上取得最大上取得最大
3、值值 M 和最小值和最小值 m.若若 M=m,则则因此因此在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识若若 M m,则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使注意注意:1)定理条件不全具备定理条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如,则由则由费马定理费马定理得得 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识使使2)定理
4、条件只是充分的定理条件只是充分的.本定理可推广为本定理可推广为在在(a,b)内可导内可导,且且在在(a,b)内至少存在一内至少存在一点点证明提示证明提示:设设证证 F(x)在在 a,b 上满足罗尔定理上满足罗尔定理.中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识 例例1 不不求求导导数数,判判断断函函数数 f(x)(x+1)(x 3)(x+3)的的导导数数有几个实根有几个实根 以及其所在范围以及其所在范围 解解 f(-3)f(-1)f(3)0 f(x)在在-3 -1-1 -1 3上满足罗尔定理的三个条件上满足罗尔定理的三
5、个条件 在在(-3 -1)内至少存在一点内至少存在一点 1 使使 f (1)0 1是是 f (x)的一个实根的一个实根 在在(-1 3)内内至至少少存存在在一一点点 2 使使f (2)0 2也也是是 f (x)的一个实根的一个实根 f (x)是二次多项式是二次多项式 只能有两个实根只能有两个实根 分别在区间分别在区间(-3 -1)及及(-1 3)内内 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识例例2.证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根.证证:1)存在性存在性.则则在在 0,1 连续连
6、续,且且由零点定理知存在由零点定理知存在使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根2)唯一性唯一性.假设另有假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点至少存在一点但但矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!设设中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识例例3 设设 ，在在(0,1)内至少有一个零点内至少有一个零点.证明多项式证明多项式亦即亦即 f(x)在在(0,1)内至少有一个零点内至少有一个零点.即即 ，证：证：则在则在0,1上满足上满足 Rolle 定理条件，定理条件，令令 至少有
7、一点至少有一点 ，使，使 .中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识且在且在内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点使使提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证即即验证验证在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设例例4.设设中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识例例5 5中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识设函数设函数 f(x)满足：满
8、足：拉格朗日定理拉格朗日定理(i)f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续;(ii)f(x)在开区间在开区间(a,b)内可内可导导.那么在开区间那么在开区间 内内 至少至少 存在一点存在一点 ,使得使得-拉格朗日公式拉格朗日公式.二、拉格朗日定理二、拉格朗日定理可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识几何意义几何意义 如右图，如右图，在满足条件的曲线在满足条件的曲线y=f(x)上上至少存在一点至少存在一点 连线的斜率为连线的斜率为
9、y=f(x)的两个端点的两个端点 A,B 该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB曲线曲线 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识分析分析:弦弦AB方程为方程为拉格朗日定理比罗尔定理少了条件拉格朗日定理比罗尔定理少了条件在在 处函数值相等。处函数值相等。中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识证明证明 1（几何意义角度）（几何意义角度）设设可以验证可以验证 F(x)满足罗尔定理的三个条件
10、满足罗尔定理的三个条件,所以所以使使即即中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识于是于是 在在 连续，在连续，在 上可导，上可导，中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式:注注 拉格朗日公式无论对于拉格朗日公式无论对于ab 都成立都成立.中国历史上
11、吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识推论推论1设设 在区间在区间 I上的导函数上的导函数 ,则则是一个常值函数是一个常值函数.证证 对于区间对于区间 I上的任何两点上的任何两点 与与 ,在在x1,x2上满足拉格朗日定理的条件上满足拉格朗日定理的条件,则有则有这就是说这就是说,在区间在区间I上的任何两个值都相等上的任何两个值都相等,所所以为常值函数以为常值函数.中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及
12、由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识例例6证证由由推论推论1 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识 证明证明:设设 f(x)xn 则则f(x)在在b a上连续上连续 在在(b a)内内可导可导 例例8 设设ab0 n1 证明证明 nbn1(ab)anbnnan1(ab)由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理 存在存在 (b a)使使 f(a)f(b)f (
13、)(a b)即即 an bn n n 1(a-b)因为因为 nbn 1(a-b)n n 1(a-b)nan 1(a-b)所以所以 nbn 1(a-b)0)上连续上连续,在在(a,b)证证 设设 ,显然显然 f(x),g(x)在在 a,b 上上满足满足柯西中值定理的条件柯西中值定理的条件,于是存在于是存在,使得使得变形后即得所需的等式变形后即得所需的等式.上可导上可导,则存在则存在,使得使得中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识例例11.设设至少存在一点至少存在一点使使证证:结论可变形为结论可变形为设设则则在在 0
14、,1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件,因此在因此在(0,1)内至少存在一点内至少存在一点 ,使使即即证明证明中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识例例1212中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识达布定理达布定理中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民
15、健康的危害，提高师生的控烟意识中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识导函数可能有第二类间断点导函数可能有第二类间断点.中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识备用题备用题求证存在求证存在使使1.设设 可导，且可导，且在在连续，连续，证证：因此至少存在因此至少存在显然显然在在 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,即即设辅助函数设辅助函数使得使得中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识设设 证明对任意证明对任意有有证证：2.不妨设不妨设中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识3.若若可导可导,试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有的零点的零点.提示提示:设设欲证欲证:使只要证只要证亦即亦即作辅助函数作辅助函数验证验证在在上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.