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1、第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。第三章第三章图像的几何变换图像的几何变换3.1几何变换基础几何变换基础3.2图像比例缩放图像比例缩放3.3图像平移图像平移3.4图像镜像图像镜像3.5图像旋转图像旋转3.6图像复合变换图像复合变换3.7应用实例应用实例第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.1几何变换基础几何变换基础3.1.1概述概述 图图像像的的几几何何变变换换，就就是是按按照照需需要要使使图
2、图像像产产生生大大小小、形形状状和和位位置置的变化。的变化。从从变变换换的的性性质质分分：图图像像的的几几何何变变换换有有平平移移、比比例例缩缩放放、旋旋转转、反反射射、镜镜像像等等基基本本变变换换；透透视视、转转置置等等复复合合变变换换，以以及及插插值值运运算算等。等。除除了了插插值值运运算算外外，常常见见的的图图像像几几何何变变换换可可以以通通过过与与之之对对应应的的矩阵线性变换来实现。矩阵线性变换来实现。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。为为了了能能够够用用统统一一的的矩矩阵阵线线性性变
3、变换换形形式式来来表表示示和和实实现现这这些些常常见的图像几何变换，见的图像几何变换，需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。3.1.2齐次坐标齐次坐标 现现设设点点P0(x0,y0)进进行行平平移移后后，移移到到P(x,y)，其其中中x方方向向的的平平移量为移量为x，y方向的平移量为方向的平移量为y。那么，点。那么，点P(x,y)的坐标为的坐标为如图如图3-1所示：所示：第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图图3-1点的平移点的平移第三章 图像的几何变换 严格执行突
4、发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。这个变换用矩阵的形式可以表示为这个变换用矩阵的形式可以表示为 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。要实现平移变换，平面上点的变换矩阵要实现平移变换，平面上点的变换矩阵需要使用需要使用23阶变换矩阵，取其形式为阶变换矩阵，取其形式为此矩阵的第一、二列构成此矩阵的第一、二列构成单位矩阵，单位矩阵，第三列元素为第三列元素为平移常量。平移常量。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报
5、批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。所所以以需需要要在在点点的的坐坐标标列列矩矩阵阵x yT中中引引入入第第三三个个元元素素，增增加加一一个个附附加加坐坐标标，扩扩展展为为31的的列列矩矩阵阵x y1T，这这样样用用三三维维空空间间点点（x,y,1）表表示示二二维维空空间间点点（x,y），即即采采用用一一种种特特殊殊的的坐坐标，可以实现平移变换，变换结果为标，可以实现平移变换，变换结果为由此可得平移变换矩阵为：由此可得平移变换矩阵为：第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行
6、为或突发事件。通常将通常将23阶矩阵扩充为阶矩阵扩充为33阶矩阵，以拓宽功能。阶矩阵，以拓宽功能。下面再验下面再验证一下点证一下点P(x,y)按照按照33的变换矩阵的变换矩阵T平移变换的结果。平移变换的结果。从从上上式式可可以以看看出出，引引入入附附加加坐坐标标后后，扩扩充充了了矩矩阵阵的的第第3行行，并并没没有有使使变变换换结结果果受受到到影影响响。这这种种用用n1维维向向量量表表示示n维维向向量量的方法称为的方法称为齐次坐标表示法齐次坐标表示法。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。因因此此，
7、2D图图像像中中的的点点坐坐标标(x,y)通通常常表表示示成成齐齐次次坐坐标标（Hx,Hy,H），其其中中H表表示示非非零零的的任任意意实实数数，当当H1时时，则则(x,y,1)就就称为点称为点(x,y)的规范化齐次坐标。的规范化齐次坐标。由由点点的的齐齐次次坐坐标标（Hx,Hy,H）求求点点的的规规范范化化齐齐次次坐坐标标(x,y,1)，可按如下公式进行：，可按如下公式进行：第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。齐齐次次坐坐标标的的几几何何意意义义相相当当于于点点(x,y)落落在在3D空空间间H
8、1的的平平面面上上，如如图图3-2所所示示。如如果果将将XOY平平面面内内的的三三角角形形abc的的各各顶顶点点表表示示成成齐齐次次坐坐标标(xi,yi,1)(i=1,2,3)的的形形式式，就就变变成成H1平平面面内内的三角形的三角形a1b1c1的各顶点。的各顶点。图图3-2齐次坐标的几何意义齐次坐标的几何意义第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.1.3二维图像几何变换的矩阵二维图像几何变换的矩阵利利用用齐齐次次坐坐标标改改成成33阶阶形形式式的的变变换换矩矩阵阵，实实现现2D图图像像几几何何
9、变换的基本变换的一般过程是：变换的基本变换的一般过程是：1、将将2n阶的二维点集矩阵阶的二维点集矩阵表示成齐次坐标表示成齐次坐标2、然后乘以相应的变换矩阵即可完成。即然后乘以相应的变换矩阵即可完成。即变换后的点集矩阵变换后的点集矩阵=变换矩阵变换矩阵T变换前的点集矩阵变换前的点集矩阵（图像上各点的新齐次坐标）（图像上各点的新齐次坐标）（图像上各点的原齐次坐标）（图像上各点的原齐次坐标）第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设变换矩阵设变换矩阵T为为则上述变换可以用公式表示为则上述变换可以用公式表示
10、为第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图像上各点的新齐次坐标规范化后的点集矩阵为图像上各点的新齐次坐标规范化后的点集矩阵为引引入入齐齐次次坐坐标标后后，表表示示2D图图像像几几何何变变换换的的33矩矩阵阵的的功功能能就就完完善善了了，可可以以用用它它完完成成2D图图像像的的各各种种几几何何变变换换。下下面面讨讨论论33阶阶变变换换矩矩阵阵中中各各元元素素在在变变换换中中的的功功能能。几几何何变变换换的的33矩矩阵阵的的一一般般形式为形式为第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动
11、报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。33的的阶阶矩矩阵阵T可可以以分分成成四四个个子子矩矩阵阵。其其中中，这这一一子子矩矩阵阵可可使使图图像像实实现现恒恒等等、比比例例、反反射射（或或镜镜像像）、错错切切和和旋旋转转变变换换。pqT这这一一列列矩矩阵阵可可以以使使图图像像实实现现平平移移变变换换。l m这这一一行行矩矩阵阵可可以以使使图图像像实实现现透透视视变变换换，但但当当l=0，m=0时时它它无无透透视视作作用用。s这这一一元元素素可可以以使使图图像像实实现现全全比比例例变变换换。例例如如，将将图图像进行全比例变换，像进行全比例变换，即即第三章 图
12、像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。将齐次坐标将齐次坐标规范化后，规范化后，。由由此此可可见见，当当s1时时，图图像像按按比比例例缩缩小小；当当0s1时时，整整个个图图像像按按比比例例放放大；当大；当s1时，图像大小不变。时，图像大小不变。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.2图像比例缩放图像比例缩放3.2.1图像比例缩放变换图像比例缩放变换图图像像比比例例缩缩放放是是指指将将给给定定的的图图像像在在x
13、轴轴方方向向按按比比例例缩缩放放fx倍倍，在在y轴方向按比例缩放轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像倍，从而获得一幅新的图像。如如果果fxfy，即即在在x轴轴方方向向和和y轴轴方方向向缩缩放放的的比比率率相相同同，称称这这样的比例缩放为样的比例缩放为图像的全比例缩放图像的全比例缩放。如如果果fxfy，图图像像的的比比例例缩缩放放会会改改变变原原始始图图像像的的像像素素间间的的相相对对位置，位置，产生几何畸变。产生几何畸变。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.2图像比例缩放图像比例缩放
14、设原图像中的点设原图像中的点P0(x0,y0)比例缩放后，在新图像比例缩放后，在新图像中的对应点为中的对应点为P(x,y)，则，则P0(x0,y0)和和P(x,y)之间的对应之间的对应关系如图关系如图3-3所示。所示。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。比例缩放前后两点比例缩放前后两点P0(x0,y0)、P(x,y)之间的关系用矩阵形式之间的关系用矩阵形式可以表示为可以表示为（3-1）公式（公式（3-1）的逆运算为）的逆运算为第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相
15、关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。即 比比例例缩缩放放所所产产生生的的图图像像中中的的像像素素可可能能在在原原图图像像中中找找不到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。不到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。首先讨论图像的比例缩小：首先讨论图像的比例缩小：最最简简单单的的比比例例缩缩小小是是当当fx=fy=12时时，图图像像被被缩缩到到一一半半大大小小，图图像像缩缩小小之之后后，因因为为承承载载的的信信息息量量小小了了，所所以
16、以画画布布可可相相应应缩缩小小。此此时时，只只需需在在原原图图像像基基础础上上，每每行行隔隔一一个个像像素素取取一一点点，每每隔隔一一行行进进行行操操作作，即即取取原原图图的的偶偶（奇奇）数数行行和和偶偶（奇奇）数数列列构构成成新新的的图像，如图图像，如图3-4所示。所示。图图3-4图像缩小一半图像缩小一半第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。如果图像按任意比例缩小，如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行和列。则需要计算选择的行和列。如如果果MN大大小小的的原原图图像像F(x，y)缩缩小小为为
17、 kMkN大大小小（k1）的的新图像新图像I(x，y)时，则时，则I(x,y)=F(int(cx),int(cy)其中，其中，c=1k。由此公式可以构造出新图像，如图。由此公式可以构造出新图像，如图3-5所示。所示。图3-5 图像按任意比例缩小第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。当当fxfy(fx,fy0)时时，图图像像不不按按比比例例缩缩小小，这这种种操操作作因因为为在在x方方向向和和y方方向向的的缩缩小小比比例例不不同同，一一定定会会带带来来图图像像的的几几何何畸畸变变。图图像像不不按按比比
18、例例缩缩小小的的方方法法是是：如如果果MN大大小小的的旧旧图图像像F(x，y)缩缩小小为为k1Mk2N（k11，k21）大小的新图像）大小的新图像I(x，y)时，则时，则I(x,y)=F(int(c1x),int(c2y)其中其中由此公式可以构造出新图像。由此公式可以构造出新图像。图像在缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。图像在缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。其次讨论图像的比例放大：其次讨论图像的比例放大：在在图图像像的
19、的放放大大操操作作中中，则则需需要要对对尺尺寸寸放放大大后后所所多多出出来来的的空空格格填填入入适适当当的的像像素素值值，这这是是信信息息的的估估计计问问题题，所所以以较较图像的缩小要难一些。图像的缩小要难一些。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。当当fxfy2时，图像被按全比例放大时，图像被按全比例放大2倍，倍，放大后图像中的放大后图像中的(0，0)像素对应于原图中的像素对应于原图中的(0，0)像素；像素；(0，1)像像素素对对应应于于原原图图中中的的(0，0.5)像像素素，该该像像素素不不存
20、存在在，可可以以近似为近似为(0，0)也可以近似也可以近似(0，1)；(0，2)像素对应于原图像中的像素对应于原图像中的(0，1)像素；像素；(1，0)像像素素对对应应于于原原图图中中的的(0.5，0)，它它的的像像素素值值近近似似于于(0，0)或或(1，0)像素；像素；(2，0)像素对应于原图中的像素对应于原图中的(1，0)像素，依此类推。像素，依此类推。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图3-6 放大前的图像 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度
21、。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图3-7 按最近邻域法放大两倍的图像 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一一般般地地，按按比比例例将将原原图图像像放放大大k倍倍时时，如如果果按按照照最最近近邻邻域域法法则则需需要要将将一一个个像像素素值值添添在在新新图图像像的的kk的的子子块块中中，如如图图3-9所所示示。显显然然，如如果果放放大大倍倍数数太太大大，按按照照这这种种方方法法处处理理会会出出现现马马赛赛克克效效应。应。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外
22、活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图图3-9按最近邻域法放大五倍的图像按最近邻域法放大五倍的图像第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。当当fxfy(fx,fy0)时时图像在图像在x方向和方向和y方向不按比例放大，方向不按比例放大，此时，此时，这种这种操作由于操作由于x方向和方向和y方向的放大倍数不同，一定带来图方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。像的几何畸变。放大的方法是将原图像的一个像素添到新图像的放大的方法是将原图像的一个像素添到新图像的
23、一个一个k1k2的子块中去。的子块中去。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。灰度级插值处理可采用如下两种方法灰度级插值处理可采用如下两种方法。第一种方法，可以把几何变换想像成将输入图像的灰度一个第一种方法，可以把几何变换想像成将输入图像的灰度一个一个像素地转移到输出图像中。如果一个输入像素被映射到四一个像素地转移到输出图像中。如果一个输入像素被映射到四个输出像素之间的位置，则其灰度值就按插值算法在四个输出个输出像素之间的位置，则其灰度值就按插值算法在四个输出像素之间进行分配。像素之间进行分配。把
24、这种灰度级插值处理称为像素移交把这种灰度级插值处理称为像素移交（pixelcarryover）或称为向前映射法，）或称为向前映射法，如图如图3-30所示。所示。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图图3-30灰度级插值处理（像素变换）灰度级插值处理（像素变换）第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。灰度级插值处理灰度级插值处理另一种更有效的灰度级插值处理方法是像素填另一种更有效的灰度级插值处理方法是像
25、素填充（充（pixelfilling）或称为向后映射算法。）或称为向后映射算法。输出像素一次一个地映射回到原始（输入）图输出像素一次一个地映射回到原始（输入）图像中，以便确定其灰度级。如果一个输出像素被映像中，以便确定其灰度级。如果一个输出像素被映射到四个输入像素之间，则其灰度值由灰度级插值射到四个输入像素之间，则其灰度值由灰度级插值决定，如图决定，如图3-30所示。向后空间变换是向前变换的所示。向后空间变换是向前变换的逆变换。逆变换。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。在在像像素素填填充充法法
26、中中，变变换换后后（输输出出）图图像像的的像像素素通通常常被被映映射射到到原原始始（输输入入）图图像像中中的的非非整整数数位位置置，即即位位于于四四个个输输入入像像素素之之间间。因因此此，为为了了决决定定与与该该位位置置相相对对应应的的灰灰度度值值，必必须须进进行行插插值值运运算算。最最简简单单的的插插值值方方法法是是零零阶阶插插值值或或称称为为最最近近邻邻插插值值，也也叫叫最近邻域法。最近邻域法。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图3-31 双线性插值 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事
27、件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.3图图像像平平移移3.3.1图像平移变换图像平移变换图3-12 图像平移第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设点设点P0(x0,y0)进行平移后，移到进行平移后，移到P(x,y)，其中，其中x方向的平移方向的平移量为量为x，y方向的平移量为方向的平移量为y。那么，点。那么，点P(x,y)的坐标为的坐标为利利用用齐齐次次坐坐标标，变变换换前前后后图图像像上上的的点点P0(x0,y0)和和P(x,y
28、)之之间间的关系可以用如下的矩阵变换表示为的关系可以用如下的矩阵变换表示为（3-2）第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。对变换矩阵求逆，可以得到式（对变换矩阵求逆，可以得到式（3-2）的逆变换）的逆变换即 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.4图图像像镜镜像像3.4.1图像镜像变换图像镜像变换 图图像像的的镜镜像像(Mirror)变变换换分分为为两两种种：一一种种是是水水平平镜镜像像，另另外外
29、一一种种是是垂垂直直镜镜像像。图图像像的的水水平平镜镜像像操操作作是是将将图图像像左左半半部部分分和和右右半半部部分分以以图图像像垂垂直直中中轴轴线线为为中中心心进进行行镜镜像像对对换换；图图像像的的垂垂直直镜镜像像操操作作是是将将图图像像上上半半部部分分和和下下半半部部分分以以图图像像水水平平中中轴轴线线为为中中心心进进行行镜镜像对换，如图像对换，如图3-16所示。所示。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图图3-16图像的镜像图像的镜像第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活
30、动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图图像像的的镜镜像像变变换换也也可可以以用用矩矩阵阵变变换换表表示示。设设点点P0(x0,y0)进进行行镜镜像像后后的的对对应应点点为为P(x,y)，图图像像高高度度为为fHeight，宽宽度度为为fWidth，原原图图像像中中P0(x0,y0)经经过过水水平平镜镜像像后后坐坐标标将将变变为为（fWidth-x0，y0），），其矩阵表达式为：其矩阵表达式为：(3-3)第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。逆运算矩阵表达
31、式为逆运算矩阵表达式为即即第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。同样，同样，P0(x0,y0)经过垂直镜像后坐标将变为经过垂直镜像后坐标将变为(x0，fHeight-y0)，其矩阵表表达式为其矩阵表表达式为(3-4)第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。逆运算矩阵表达式为逆运算矩阵表达式为即即第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处
32、理各类违纪行为或突发事件。图图3-18水平镜像水平镜像图图3-19垂直镜像垂直镜像图图3-17镜像镜像前的前的图像图像第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.5图像旋转图像旋转3.5.1图像旋转变换图像旋转变换一一般般图图像像的的旋旋转转是是以以图图像像的的中中心心为为原原点点，将将图图像像上上的的所所有有像像素素都都旋旋转转一一个个相相同同的的角角度度。图图像像的的旋旋转转变变换换是是图图像像的的位位置置变变换换，但但旋旋转转后后，图图像像的的大大小小一一般般会会改改变变。和和图图像像平平移移
33、一一样样，在在图图像像旋旋转转变变换换中中既既可可以以把把转转出出显显示示区区域域的的图图像像截截去去，也也可可以以扩扩大图像范围以显示所有的图像。如图大图像范围以显示所有的图像。如图3-20、图图3-21所示。所示。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图3-20 旋转前的图像 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图3-21 旋转后的图像（扩大图像、转出部分被截）第三章 图像的几何变换 严格执行突
34、发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。同同样样，图图像像的的旋旋转转变变换换也也可可以以用用矩矩阵阵变变换换表表示示。设设点点P0(x0,y0)旋旋转转角角后后的的对对应应点点为为P(x,y)，如如图图3-22所所示示。那那么么，旋旋转转前前后点后点P0(x0,y0)、P(x,y)的坐标分别是：的坐标分别是：图图3-22图像旋转图像旋转角角第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。写成矩阵表达式为写成矩阵表达式为(3-5)第三章 图像的几
35、何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。其逆运算为其逆运算为利用公式（利用公式（3-5）可以确定旋转后图像上的像素。例如，当）可以确定旋转后图像上的像素。例如，当=30时，公式（时，公式（3-5）为）为第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。而且，此时 xmin=0.866-0.53=-0.634;xmax=0.8663-0.5=2.098ymin=0.866+0.5=1.366;ymax=0.8663+0.53=4.0
36、98图3-23 图像旋转角 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图3-25 图3-23中的图像处理后的效果 第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.6图像复合变换图像复合变换3.6.1图像复合变换图像复合变换图图像像的的复复合合变变换换是是指指对对给给定定的的图图像像连连续续施施行行若若干干次次如如前前所所述述的的平平移移、镜镜像像、比比例例、旋旋转转等等基基本本变变换换后后所所完完成成的的变变换
37、换，图图像的复合变换又叫像的复合变换又叫级联变换级联变换。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.6图像复合变换图像复合变换3.6.1图像复合变换图像复合变换从数学上可以证明，从数学上可以证明，复合变换的矩阵等于基本变换的矩阵复合变换的矩阵等于基本变换的矩阵按顺序依次相乘得到的组合矩阵。按顺序依次相乘得到的组合矩阵。设对给定的图像依次进行了基本变换设对给定的图像依次进行了基本变换F1，F2，FN，它们，它们的变换矩阵分别为的变换矩阵分别为T1，T2，TN，按照公式（，按照公式（3-1）（）（3-
38、6）的表示形式，图像复合变换的矩阵的表示形式，图像复合变换的矩阵T可以表示为：可以表示为：T=TNTN-1T1第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.复合平移复合平移设设某某个个图图像像先先平平移移到到新新的的位位置置P1(x1,y1)后后，再再将将图图像像平平移移到到P2(x2,y2)的位置，则复合平移矩阵为的位置，则复合平移矩阵为由由此此可可见见，尽尽管管一一些些顺顺序序的的平平移移，用用到到矩矩阵阵的的乘乘法法，但但最最后后合成的平移矩阵，只需对平移常量作加法运算。合成的平移矩阵，只需对平
39、移常量作加法运算。(3-7)第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2.复合比例复合比例同同样样，对对某某个个图图像像连连续续进进行行比比例例变变换换，最最后后合合成成的的复复合合比比例矩阵，只要对比例常量作乘法运算即可。复合比例矩阵如下：例矩阵，只要对比例常量作乘法运算即可。复合比例矩阵如下：(3-8)第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.复合旋转复合旋转类类似似地地，对对某某个个图图像像连连续续
40、进进行行旋旋转转变变换换，最最后后合合成成的的旋旋转转变变换矩阵等于两次旋转角度的和，复合旋转变换矩阵如下式所示：换矩阵等于两次旋转角度的和，复合旋转变换矩阵如下式所示：(3-9)第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。上上述述均均为为相相对对原原点点(图图像像中中央央)作作比比例例、旋旋转转等等变变换换，如如果果要要相相对对某某一一个个参参考考点点作作变变换换，则则要要使使用用含含有有不不同同种种基基本本变变换换的的图图像像复复合合变变换换。不不同同的的复复合合变变换换，其其变变换换过过程程不不同
41、同，但但是是无无论论它它的变换过程多么复杂，都可以分解成一系列基本变换。的变换过程多么复杂，都可以分解成一系列基本变换。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.7应用实例应用实例下下面面给给出出图图像像几几何何变变换换应应用用的的一一个个例例子子图图像像的的转转置置。图像的转置是图像的转置是将给定图像像素的将给定图像像素的x坐标和坐标和y坐标互换坐标互换的几何变换。的几何变换。图图像像的的转转置置和和图图像像的的旋旋转转不不同同，而而且且仅仅仅仅通通过过旋旋转转是是不不可可能能实实现现图图像像转
42、转置置的的。旋旋转转操操作作与与镜镜像像操操作作结结合合才才能能实实现现图图像像的的转置。图像转置的方法如下：转置。图像转置的方法如下：第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。首首先先将将图图像像水水平平镜镜像像，并并且且图图像像的的水水平平镜镜像像在在x方方向向不不作作平平移移，然然后后逆逆时时针针旋旋转转90才才可可以以实实现现。设设点点P0(x0,y0)进进行行转转置置后后的的对对应应点点为为P(x,y)，图图像像高高度度为为fHeight，宽宽度度为为fWidth，原原图图像像中中P0(x0
43、,y0)经经过过转转置置后后坐坐标标将将变变为为(y0,x0)。如如果果把把图图像像转转置置看看作作是是图图像像镜镜像像与与旋旋转转的的复复合合。此此时时，3.4.1中中的的公公式式（3-4）变为变为第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。根据此式及根据此式及3.5.1中的公式（中的公式（3-6）可得）可得（3-20）公式（公式（3-20）就是图像转置的变换公式。）就是图像转置的变换公式。第三章 图像的几何变换 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。图图3-37转置后的图像转置后的图像