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1、多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用完整教学课件完整教学课件一、一、区域区域1.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为平面上的方邻域为。因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含.2.区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若存在点若存在点
2、P 的某邻域的某邻域 U(P)E,若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E=,若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P)既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 .的外点的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.PE(2)(2)聚点聚点若对任意给定的若对任意给定的 ,点点P P 的去心的去心邻域邻域内总有内总有E E 中的点中的点 ,则则称称P
3、P 是是E E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于E E,也可以不属于也可以不属于E E(因为聚点可以为因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为E E 的的导集导集 .E E 的边界点的边界点 )内点一定是聚点；内点一定是聚点；边界点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不边界点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不是聚点）是聚点）若点若点 的某一个邻域内除点的某一个邻域内除点 外其余各点都不属外其余各点都不属于于E E，则称，则称 为点集为点集E E的的孤立点孤立点。例如例如边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合例如例如(0,0)(0,0)既是既是边界点也
4、是聚点但不属于集边界点也是聚点但不属于集合合D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是连通的是连通的;连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 整个平面整个平
5、面 点集点集 是开集，是开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域也是最大的闭域;但非区域但非区域.对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界域有界域,界域界域.否则称为否则称为无无（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、
6、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为二二、二元函数的定义、二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为（6）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一
7、元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：利用点函数的形式有利用点函数的形式有四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而
8、变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等
9、函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例解解多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结五、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考
10、题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取练习练习是否存在？解解:利用所以极限不存在.练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 例例1.1.求求解法解法1 1解法解法2 2在点在点(1,2)(1,2)处的偏导数处的偏导数.先求后代先求后代先代后求先代后求证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解、偏导数存在与
11、连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义:纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上
12、例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：解解注意注意:从例从例5 5和例和例6 6中看到中看到但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立.例如例如,二二者者不不等等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？解解偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,练习题练习题 设设方程方程确定确定 u 是是
13、 x,y 的函数的函数,连续连续,且且求求解解:练练 习习 题题练习题答案练习题答案由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义全增量的概念全增量的概念全微分的定义全微分的定义事实上事实上则则二、可微的条件二、可微的条件证证总成立总成立,同理可得同理可得一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，则则当当 时，时，说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证（依偏导数的连续性
14、）（依偏导数的连续性）同理同理习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加叠加叠加叠加原理原理原理原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况解解所求全微分所求全微分解解解解所求全微分所求全微分证证 同理同理不存在不存在.说明说明:此题表明此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件.多元函数连续、可导、可微的关系多元函数
15、连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成解解由公式得由公式得、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结思考题思考题练练 习习 题题练习题答案练习题答案证证一、链式法则一、链式法则上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.则则以上公式中的导数以上公式
16、中的导数 称为称为全导数全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：链式法则如图示链式法则如图示特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似解解解解解解令令记记同理有同理有于是于是解 令则于是yxyx从而从而2221)(1,yxxyryyrxyx+=+=qyxyxyx同理可得同理可得从而从而解 分析：是由 复合而成 所以yx同理可得同理可得所以所以全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微
17、分形式是一样的.二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性解解1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案第五节第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程C 0 时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连
18、续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数两边对 x 求导在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数:则还可求隐函数的 例例1.验证方程验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续;由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求两边对 x 求导两边再对 x
19、 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确两边对 x 求偏导同样可得则例例2.设设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导解法解法2 利用公式利用公式设则两边对 x 求偏导例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故对方程两边求微分:解法解法2 微分法.二、方程组的情形由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比 行列式
20、行列式.雅可比 定理定理4.4.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；定理证明略.仅推导偏导数公式如下：有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组设方程组在点P 的某邻域内解的公式 故得系数行列式同样可得例例4.设设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习:求答案答案:由题设故有例例5.5.设函数设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数式两边
21、对 x 求导,得则有由定理 4 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得例例5的应用的应用:计算极坐标变换计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习思考与练习1.设求提示提示:解法解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节 由d y,d z 的系数即可得分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,2.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(20
22、01考研)解得因此zy3.设设是由方程和所确定的函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(1999考研)解法解法2 微分法微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为曲线在曲线在M处的处的切线方程切线方程切向量切向量：切线的方向向量称为：切线的方向向量称为曲线的切向量曲线的切向量.法平面法平面：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂
23、直的平面.解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线令令则则切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量曲面的法向量.特殊地：空间曲面方
24、程形为特殊地：空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为其中其中解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)空间曲线
25、的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知法向量为依题意知法向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程证明证明 曲面曲面上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点则通过此则通过此1.设设 f(u)可微可微,证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为
26、点的切平面为练习练习2.证明曲面证明曲面与定直线平行与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立.的所有切平面恒的所有切平面恒练练 习习 题题练习题答案练习题答案 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:记作记作 定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,
27、得故对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角例例1.求函数求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为例例2.求函数求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为例例3.设设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P
28、 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.(为方向l 上的单位向量)2.梯度的几何意义梯度的几何意义称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线.则L*上点P 处的法向量为 举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为称为时为零时,例例4.设函数设函数解解:(1)点P处切平面的法向量为在点 P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数 f 在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导
29、数.(1)求等值面 (2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考思考:f 在点P处沿什么方向变化率为0?注意注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多1.沿梯度方向的方向导数最大，其最大值为梯度的模。注：注：2.沿梯度反方向的方向导数最小，其最小值为梯度的模的负值。3.沿与梯度垂直方向的方向导数为零。3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式例例5.证证:试证处矢径 r 的模,内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系
30、方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.方向:f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值 梯度的特点指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A1.函数函数提示提示:其单位向量为练习练习2.求函数解思考题思考题思考题解答思考题解答实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地
31、牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大利润？取得最大利润？每天的利润为每天的利润为求最大利润即为求二元函数的最大值求最大利润即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值(1)(2)(3)例例1 1例例例例2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一
32、个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：解解解 由唯一驻点(0,0)可是在点(0,0处由于易知在(0,0)的任何邻域内f 的值都有正有负，所以(0,0)不是f 的极值点。与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值函数函数f f 在有界闭域上连续在有界闭域上连续函数函数f f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点 特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值
33、点极值点P P 时，时，为极小值为极小值为最小值为最小值(大大)(大大)依据：依据：求有界闭区域上连续函数最值的一般方法求有界闭区域上连续函数最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值即为最大值，最小者即为最小值.解解如图如图,解解 由由无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品
34、：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条件极值条件极值 :条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变
35、量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制还有其他条件限制例如例如 ,转转化化方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.分析：分析：如方法如方法1 1所述所述,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极的极故极值点必满足故极值点必满足记记例如例如,值问题值问题,故有故有引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F F 称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)函数函数.利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足则则极值点满足极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法
36、.解解则则解解可得可得即即解：分析：这种在有界闭区域上求最值（极值）解：分析：这种在有界闭区域上求最值（极值）的问题是混合问题，它可以分解为两个问题：的问题是混合问题，它可以分解为两个问题：由驻点为(0,0),(2,0)令驻点为(4,0),(-4,0)算出(1),(2)最值嫌疑点的值，比较大小得多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答已知平面上两定点已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在试在椭圆椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C,
37、使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:设设 C 点坐标为点坐标为(x,y),则则 练习练习设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知,点点C与与E 重合时重合时,三角形三角形面积最大面积最大.点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停补充补充：其中练练 习习 题题练习题答案练习题答案平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏
38、导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念1 1、区域、区域（1）邻域）邻域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域）区域（3）聚点）聚点（4）n维空间维空间2 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数3 3、多元函数的极限、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限
39、）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6
40、 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质7 7、偏导数概念、偏导数概念、高阶偏导数、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.、全微分概念、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1010、全微分的应用、全微分的应用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.1212、全微分形式不变性、全微分形式不变
41、性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则1414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为1515、方向导数、方向导数记为记为三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度的概念梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系1616、多元函数的极值、多元函数的极值定义定义多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值二、典型例题二、典型例题例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解于是可得于是可得,例例4 4解解解解例例5 5例例6 6解解分析分析:得得测测 验验 题题 测验题答案测验题答案