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1、概率论与数理统计教案主讲 刘晓俊保定金融高等专科学校数学教研室目 录n第一章随机事件及概率n第二章随机变量及其分布n第三章多维随机变量及其分布n第四章随机变量的数字特征n第五章大数定律和中心极限定理n第六章数理统计的基本知识n第七章参数估计n第八章参数的假设检验第一章随机事件及其概率n教学目的和要求：使学生掌握随机事件及概率的概念，会用概率的古典定义及条件概率、全概率公式解决概率问题。并深刻理解事件的独立性。n重点与难点：概率的概念，条件概率与独立性，全概率公式与贝叶斯公式n教学手段：讲练结合n课时分配：12课时1随机事件一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件n通常称满足以下三个条件的试
2、验为随机试验，简称试验，一般用字母E表示。n（1）在相同条件下可以重复；n（2）每次试验的所有可能结果是明确知道的，并且不只一个；n（3）在每次试验前不能准确地预言该次试验出现哪种结果。n我们把在一次试验中可能出现的也可能不出现的结果称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A、B、C等表示。在试验中必然发生的事件叫必然事件，一般用字母表示；在试验中一定不发生的事件叫不可能事件，一般用字母表示。为了讨论问题方便，以后我们把不可能事件和必然事件也当作随机事件来看待。举例：nE1：掷一均匀骰子，观察出现的点数情况为一随机试验。n设A表示“出现1点”，B表示“出现2点”，C表示“点数小于3”，D表示“出
3、现奇数点”，则它们均为E1的随机事件。nE2：在一批灯炮中，任取一只，测试它的使用寿命为一随机试验。n设A表示“寿命大于800小时”，B表示“寿命小于500小时”等，则它们均为E2的随机事件。n在E1中，“出现1点”，“出现2点”是最简结果，称为基本事件；“点数小于3”是由“出现1点”，“出现2点”两个基本事件组合而成；“出现奇数点”是由“出现1点”，“3点”，“5点”三个基本事件组合而成，等等，称为复合事件。n基本事件也称样本点，记作，所有样本点的集合称为样本空间，记作。以上各例样本空间分别为：nE1:1=1,2,3,4,5,6nE2:2=t|t0，其中t表示灯泡的寿命。二、事件的关系与运算
4、二、事件的关系与运算n1事件的包含及相等设有事件A及B，如果事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A或称A是B的子事件，记作BA，或AB。如图11所示。n2事件的和（并）与差事件A与B至少发生其一所构成的事件称为事件A与B的和（并），记作AB中（AB），如图12所示。n关于两个事件的和，若对任意事件，有AA，A；且可以推广到有限个事件的情形。即“A1，A2，An至少有一个发生”可记作（）n更一般地，“事件A1，A2，An，至少有一个事件发生”，记作（）n事件的差：把事件A发生而事件B不发生所构成的事件，称为事件A与B的差，记作AB，如图13表示。n3事件的积（交）由事件A与B同时发生而
5、构成的事件称为 事 件 A与 B的 积（交），记 作AB（AB），如图14所示。n事件积的概念可以推广到有限个或可列个事件上去，把事件A1，A2，An同时发生的事件记作（）n更一般地把A1，A2，An，同时发生的事记作（）n4互不相容事件（互斥事件）若事件A与B不能同时发生，则称A与B为互不相容事件，记作AB（AB），如图15所示。n5对立事件（互逆事件）如果事件A与B满足（1）AB（2）AB则称事件A与B为对立事件，习惯上把A的对立事件记作。n显然A，即A与互为对立事件。n需要指出，对立事件一定是互不相容事件，而互不相容事件不一定是对立事件。n从我们学过的集合概念中不难发现，事件间的关系及其
6、运算与集合论中集合间的关系与运算是完全类似的。把概率论中的基本事件看作集合论中的元素，由若干个基本事件组成的复合事件便可以看作包含若干个元素的集合。而把基本事件的全体构成的样本空间看作集合论中的全集。为了便于对照，将它们的术语列表如下：记号集合论概率论全集样本空间，必然事件空集不可能事件的元素基本事件A是B的子集事件B包含事件AABA是B的并集事件A与事件B的和ABA是B的交集事件A与事件B的积ABA是B的差集事件A与事件B的差ABA与B互不相交事件A与事件B互不相容A的补集事件A的对立事件n对于事件来说，也有类似集合的运算规则：（1）交换律：ABBA，ABBA（2）结合律：（AB）CA（BC
7、）（AB）CA（BC）（3）分配律：（AB）CACBCABC（AC）（BC）（4）对偶律：n由上面规则可看出，对事件的分析可以转化为对集合的分析，从而利用集合间的运算关系来分析事件间的关系。例8事件Ak表示第K次取到合格品（K=1，2，3），试用事件的运算符号Ak表示下列事件：（1）三次中至少取到一次合格品；（2）前两次取到合格品；（3）三次中至少有一次取到合格品。解：（1）三次中至少取到一次合格品：A1+A2+A3(2)前两次取到合格品：A1A23+A1A2A3（3）三次中至少有一次取到合格品：A1A23+A12A3+1A2A32概率的概念n由于随机试验有许多种可能结果，而各种结果出现的可能
8、性不一样，为了进行确切的推断，我们用一个数值来表示事件发生的可能性大小，这种表示随机事件出现可能性大小的数值称为事件的概率，并将事件A的概率记为P（A）。下面具体讨论事件的概率。一、事件的频率n在相同条件下，做n次试验，设事件A发生了nA次，则称为事件A发生的频率记作 显然 0fn(A)1。（1.1）二、概率的定义1概率的统计定义定义1在相同条件下，重复进行n次试验，其中事件A发生了nA次，当试验次数n充分大时，事件A的频率将稳定在某一个常数p附近，则称此常数p为事件A出现的概率。记作P（A）p（1.2）当n充分大时，根据频率的稳定性，我们可以用频率代替概率，即P（A）p（1.3）显然，0P(
9、A)1，P（）1，P（）02概率的古典定义定义2设随机试验E的样本空间为，中所含基本事件总数为n，A为随机试验E的任意一个事件，若满足条件：（1）中基本事件总数n有限，称为“有限性”；（2）中每个基本事件发生的可能性相同，称为“等可能性”。n设事件A包含的基本事件数为nA，事件A发生的概率为：P（A）n古典概率模型也称等可能试验概型，因为它是概率论发展初期主要研究的对象，故称古典概型。下面举例说明定义的用法例1掷一枚均匀硬币，求出现正面的概率。解：因为掷一枚均匀硬币只可能出现“正面向上”或“反面向上”两个结果，所以样本空间为：正面向上，反面向上，即n2。由于硬币是均匀的，所以出现正面与反面是等
10、可能的。设A表示“正面向上”，则A正面向上，所以nA1 于是P（A）n例2掷一均匀骰子，求：（1）出现6点的概率；（2）出现偶数点的概率。n解：（1）随机掷一次骰子可能出现“1”点，出现“2”点出现“6”点，共有6种可能，因此样本空间为：1，2，3，4，5，6，n6因骰子是均匀的，所以出现每个点的机会相同，设A表示“出现6点”，则A6,nA1 于是P（A）（2）因n6，设B表示“出现偶数点”，则B2，4，6,nB3于是P（B）n实际解题时，不必写出样本空间，只求出n及nA即可。例3一付扑克牌共54张，任取一张，求它是黑桃的概率。解：因54张牌均不相同，任取一张，每张出现的可能性相同，所以n54
11、。设A表示“任取一张是黑桃”，nA13故P（A）如果以花色为基本事件，共5种花色，即黑桃，红桃，梅花，方块，王n5设A表示“黑桃”，则A黑桃，nA1，于是P（A）n此种解法等可能性被破坏了，所以得出的结果是错误的。n若题目的条件改为：一付扑克牌无大小王共52张，从中任取一张，求是黑桃的概率。则以张数或花色为基本事件求解均对。即（1）以张数为基本事件，则nP（A）（2）以花色为基本事件，则nP（A）（因四种花色取哪一种是等可能的，故采用花色作为基本事件）n通过以上几个简单的例子说明用古典定义求概率时，一定要严格把握条件，不能盲目套公式，否则会出现错误的结果。三、概率的性质n性质1 0P（A）1，
12、P（）0，P（）1n性质2设事件A与B互不相容，则有：P（AB）P（A）P（B）（1.4）即两个互斥事件和的概率等于两个事件概率之和。n证明：设总的试验次数为n，事件A与B发生的次数分别nA，nB，当试验次数n充分大时，频率 ，将分别在常数P（A），P（B），P（AB）附近摆动，并随着n的增加越来越接近它们，因为 ，以频率代替概率，所以有P（AB）P（A）P（B），（对古典概型更为明显）。n推论（1）若事件A1，A2，An两两互斥，则有（1.5）n同样可推得（1.6）n推论（2）对立事件的概率和等于1。即P（A）P（）1或P（A）1P（），后者表示法在概率计算中常常用到n推论（3）若，则有P（
13、BA）P（B）P（A）（1.7）n证明：如图18因B（BA）A且A（BA）故P（B）PA（BA）P（A）P（BA）即P（BA）P（B）P（A）也可得出P（B）P（A）（1.8）性质3设A、B为任意两个随机事件，则P（AB）P（A）P（B）P（AB）（1.9）证明：如图19 因AB（AAB）B且（AAB）B且AAB故P（AB）P（AAB）BP（AAB）P（B）P（A）P（AB）P（B）即P（AB）P（A）P（B）P（AB）n性质3可以推广到n个事件的情况。当n3时，有 P（A1 A2 A3）P（A1）P（A2）P（A3）P（A1A2）P（A1A3）P（A2A3）P（A1A2A3）以上均称为概率的
14、加法公式。四、例题分析n1抽球模型：抽球问题可分为不放回抽取与放回抽取两种情况，下面就不放回抽取详细分析，对不放回抽取搞清了，则放回抽取问题就迎刃而解了。（1）不放回抽球模型例4设袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任取2球，不放回。求：取得两个白球的概率；恰有一个白球的概率；至少有一个白球的概率。解：设A1表示“取得两个白球”，A2表示“恰有一个白球”，A3表示“至少有一个白球”。n本题中，白球与红球的数目不等，因此不能以颜色作为基本事件，为满足等可能性要求，先对6个球进行编号，可以辩别，其编号为白1白2白3白4红5红6，这样任取一球，则每号球抽到的可能性就相同了。基本事件总数n的值
15、是从6个元素中任取一个，共有 种可能，再从剩下的5个元素中任取一个，共有 种可能，由乘法原理，所以nn同理事件A1的基本事件个数12P（A1）n同样的值除用排列组合知识外，还用到乘法原理和加法原理，因此 16“恰有”一词无顺序的。恰有一个白球包含第一个白第二个红和第一红第二个白两种情况。P（A2）n同类P（A3）P（至少一白）至少一白包含“恰有一白”和“恰有两白”两种情况，因此，P（至少一白）P（恰有一白恰有两白）根据互斥性有P（至少一白）P（恰有一白）P（恰有两白）即P（A3）或P（A3）1P（）1P（恰有两红）1n（2）放回抽球模型若例4中做放回抽球，则 ，即第一次从6个元素中任取一个，共
16、有 种取法，第二次仍从6个元素中任取一个，有 种取法。然后用乘法原理，共有 种取法。其它做法完全类似。P（A1）P（A2）P（A3）或P（A3）1P（）1n超几何概率：设有N个元素可分为两部分：N1，N2，且N1N2N，试验E为：从N中任取n个元素，不放回；求的是：这n个元素中恰有m个元素属于N1（或N2）的概率。设A表示“n个元素中恰有m个元素属于N1”，则：P（A）（1.10）n超几何概率在现实中，尤其是在抽样检验中经常用到，特别是破坏性检验，样品不能再放回。如：从含有M件次品的N件产品中，不放回地抽取n件，则出现的次品数恰有m件的概率为：n例4中满足超几何概率的条件，由（1.10）有P（
17、A1）P（A2）P（A3）P（至少一白）P（恰有一白）P（恰有两白）该公式可推广到总元素个数N可分解为多组的情形。n例5袋中有10个球，分别编有1到10号编码，从中任取3球，不放回。求（1）最小号码是5的概率 （2）最大号码是7的概率。n解：（1）由题意，5号是取定了，因此本题可做如下分割，即把N分成N1、N2、N3三部分，求最小号码是5，即从N2中取出5号，再从N3中取出另外两个号即可，如图110。n设A表示“最小号码是5”，则P（A）n（2）与（1）分析相同，分割为N1、N2、N3三部分。设B表示“最大号码是7”如图111。则P（B）n2生日问题模型（分房问题）生日问题特点：每个人的生日只
18、能是365天中的一天（一年以365天计）。因此每个人的生日有种可能。任意一天可以容纳很多人的生日。n例6 房间内有500个人，问至少有一人的生日是10月1日的概率是多少？n解：因每个人的生日都有365种可能，因此500个人共有365500种可能，即n365500设A表示“至少一人生日在10月1日”，则P（A）P（至少一人生日在10月1日）P（恰有一人生日在10月1日）P（恰有2人生日在10月1日）+P（恰有500人生日在10月1日）1P（恰有0个人生日在10月1日）1P（大家生日都不在10月1日）n因为每个人生日都不在10月1日，则有364中可能，因此500个人生日都不在10月1日共有3645
19、00种可能。n通过对生日问题的分析可以看出，这类题型主要是确定底数与指数。一般来说，将“死”的作为底数，“活”的作为指数，下面举例说明。n例7设n个球（可辩），随机地放入N个盒中去，试求：（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率（2）当nN时，任意的n个盒中恰有一球的概率。这里盒子为“死”的，球为“活”的。n解：（1）当n=N时，因为每个球都有N种放法，n个球共有Nn种放法，即的基本事件数nn。而每盒恰有一球，则第一球有n种放法，第二个球有n-1种放法，以此类推，n个球共有n!种放法。设A表示“每盒恰有一球”，则P（A）n（2）当nN时，即盒多球少，先从N个盒中任取出n个，共有种可能，然后再在取出
20、的n个盒中每盒放一个，共有n！种做法。设B表示“任意n个盒中各有一球”，则P（B）3条件概率与独立性一、条件概率一、条件概率n在实际问题中，我们有时会碰到这样的情况，事件A发生的概率受另一事件B发生与否的影响。事件A的概率为P（A），在事件B发生的条件下事件A发生的概率记为P（AB），称P（AB）为条件概率。（P（B）0）n例110件产品中，有7件正品，3件次品，而7件正品有3件一等品，4件二等品，现任取一件，求（1）取得一等品的概率；（2）已知取得的是正品，它是一等品的概率。解：设B表示“取得正品”，A表示“取得一等品”（1）由于10件产品中有3件一等品，按古典概率计算得P（A）（2）由于7
21、件正品中，一等品只有3件，故P（AB）由此看到P（A）P（AB）条件概率如何计算呢？我们从例1着手：由于10件产品中有7件正品，故P（B），P（AB）表示“取得是合格品且是一等品”这一事件的概率，正由于正品且是一等品的件数在10件中有3件，故P（AB），通常简单地运算得：P（AB）一般地有nP（BA）（1.11）二、乘法公式二、乘法公式如果把条件概率公式（1.11）写成如下形式：P（AB）P（A）P（BA），则称该公式为概率乘法公式。容易看出P（AB）P（A）P（BA）P（A）0P（B）P（AB）（P（B）0）（1.12）n此式也可以推广到多个事件的情形。如果P（A1）0，P（A1A2）0，P
22、（A1，A2An-1）0，则有P（A1A2An）P（A1）P（A2A1）P（A3A1A2）P（AnA1A2An-1）(1.13)例2设某工厂所生产的产品是合格品的概率为0.98，而在合格品中是一等品的概率为0.98，求该厂生产的产品是一等品的概率。解：设A表示“产品合格”，B表示“产品是一等品”因为产品是一等品，必然是合格品，所以BABP（A）0.98 P（BA）0.90P（B）P（AB）P（A）P（BA）0.980.90=0.882n例3 假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区被淹没。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥
23、的概率为0.3,求该时期内这个地区被淹没的概率？当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？解：设A表示“甲河流泛滥”，B表示“乙河流泛滥”，则这个地区被淹没的概率为：P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（A）P（B）P（A）P（BA）0.10.20.10.3 0.27P（AB）P（A）P（BA）P（B）P（AB）P（AB）=0.15n例4 设一批零件共100个，其中10个次品，从中任取两次（不放回抽样）,求（1）第一次取得次品的情况下，第二次也取得次品的概率，（2）两次都取得次品的概率，（3）第二次取得次品的概率。n解：设A表示“第一次取得次品”B表示“第二次取得次品”（1）P（BA）（2）P（
24、AB）P（A）P（BA）（3）BAB 而（AB）（）P（B）P（AB ）P（AB）P（）P（A）P（BA）P（）P（B ）n此类题可用如下的概率树枝图法解，方便直观。n即事件B的概率为从AB与 B两条线上的各概率之积再求和。三、事件的独立性在前面我们已经看到，条件概率P（BA）与P（B）一般是不相等的，但在某种情况下，也可以相等。例如，在一批有一定次品率的产品中，接连抽取两件产品，每次任取一件，如果第一次抽取后观察其结果，然后放回产品中，设事件A表示“第一次取得正品”，事件B表示“第二次取得正品”，那么P（BA）P（B），说明事件A出现与否并不影响事件B出现的概率，从直观上看，这是极其自然的，
25、因为这里所采用的是放回抽取，第二次抽取产品的条件与第一次抽到的条件完全相同，也就是说，第一次抽取的结果并不影响第二次抽到的结果。n事件A出现与否并不影响事件B发生的可能性，我们说两事件之间具有某种“独立性”。n由于当P（BA）P（B）时，根据乘法公式有nP（AB）P（A）P（B）n为此引进两个事件相互独立的概念。n定义3 设有事件A与B，如果P（AB）P（A）P（B）（1.14）则称事件A与事件B是相互独立的。由事件独立性定义推知1不可能事件及必然事件与任何事件都相互独立。2若事件A与B相互独立，则 与B相互独立，A与 相互独立，与 也相互独立。n以下证明A与B相互独立，则与B相互独立。即证明
26、P（B）P（）P（B）n因为P（B）P（BA）P（BAB）（BAB）P（B）P（AB）P（B）P（A）P（B）P（B）1P（A）P（B）P（）n所以有P（B）P（）P（B）同样可以证明A、B独立，则A、及 、也相互独立。独立性概念可以推广到多个事件当中去。例如：三个事件设A，B，C是三个事件，如果满足等式P（AB）P（A）P（B）P（AC）P（A）P（C）P（BC）P（B）P（C）则称三个事件A，B，C两两独立。一般当事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）P（A）P（B）P（C）（1.16）不一定成立，所以对于三个事件相互独立有如下的定义n定义4设A，B，C是三个事件，如果满足等式P（AB
27、）P（A）P（B）P（AC）P（A）P（C）P（BC）P（B）P（C）P（ABC）P（A）P（B）P（C）则称A，B，C为相互独立的事件。n注意：相互独立必然是两两独立；两两独立不一定相互独立。在实际应用中，常常根据经验来判定n个事件是否相互独立，而不是用定义来判断。n例5设甲、乙两人向同一目标各射一发子弹，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，若有一人射中，则认为目标被击中，问击中目标的概率是多少？n解：设A表示“甲射手击中目标”B表示“乙射手击中目标”C表示“目标被击中”n由于A、B、AB互不相容，而A、B、相互独立，所以有P（C）P（A BAB）P（A ）P（B）P（AB）P（A）
28、P（）P（）P（B）P（A）P（B）0.90.20.10.80.90.80.98若利用逆事件来求，则P（C）1P（）1P（）1P（）P（）10.10。20.98n若利用事件的和来求，则P（C）P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）0.90.80.90.80.98n例6电路由电池A与两个并联的电池B及C串联而成，设电池A、B、C损坏的概率分别是0.3，0.2，0.2，求电路发生断路的概率（如图113）。n解：电路发生断路，即电池A损坏或电池B、C同时损坏。设A表示“电池A坏”，事件B表示“电池B坏”，事件C表示“电池C坏”，D表示“电路断路”的事件，则DABCn由概
29、率的加法法则及事件的独立性有P（D）P（ABC）P（A）P（BC）P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）0.30.20.20.30.20.20.328n独立性这个概念在可靠性理论中有较广泛的应用。4全概率公式和贝叶斯公式n当计算一些比较复杂的事件的概率时，往往需要同时利用概率的加法公式和乘法公式才能得到最终结果。一、全概率公式n例如：一种外形相同的某种元件，是由一厂，二厂，n厂生产的，从这批元件中任取一只元件，它必然是这n个厂某个厂生产的元件。若以Bi表示“任取一只元件是第i厂生产的”事件（i1，2，n），那么B1，B2，Bn是一组胡不相容事件。而且B1+B2+Bn是必然
30、事件。用A表示“取到的元件为次品”这个事件。n由于取到的元件必然是一厂，二厂，n厂中某一厂的产品，所以事件A总是事件AB1，AB2，ABn的一个，故AAB1AB2ABn又因为B1，B2，Bn互不相容，所以AB1，AB2，ABn也是互不相容的。n所以P（A）P（AB1+AB2+ABn）P（AB1）P（AB2）P（ABn）P（B1）P（AB1）P（B2）P（AB2）P（Bn）P（ABn）即P（A）（1.17）n这就是全概率公式（图116所示），也可以表示成概率树枝图（图117所示）。n例1已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人的产品分别占总产量20、40、40，若已知三人的次品率分别为各自
31、产品的5，4，3，现任取一个零件，求它是次品的概率。解：根据题意画概率树枝图，如图118所示。n则P（A）P（AB1AB2AB3）（由公式（1.17）P（B1）P（AB1）P（B1）P（AB2）P（B3）P（AB3）0.20.050.40.040.40.030.038n即事件A的概率为：从B1A，B2A，B3A三条线上各节概率之积再求和即可。n画树枝图时，一定注意其各分杈上的概率之和必为1，因为它是对样本空间的一个分割，且事件组B1，B2，Bn互不相容。n注意：利用全概率公式的必须强调两点。B1，B2，Bn是一组互不相容事件。B1B2Bnn例2 甲、乙、丙三人向一敌机射击，甲射中的概率为0.4
32、，乙射中的概率为0.5，丙射中的概率为0.7，若一人射中敌机，被击落的概率为0.2；如果两人射中，则敌机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则敌机一定被击落。求敌机被击落的概率。n解：B0表示“三人都没击中敌机”，B1表示“恰有一人击中敌机”，B2表示“恰有两人击中敌机”，B3表示“三人都击中敌机”，A表示“敌机被击落”。n根据题意B0，B1，B2，B3两两互不相容，且B0B1B2B3则P（B0）（10.4）（10.5）（10.7）0.09P（B1）0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P（B2）0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41P（B3）
33、0.40.50.70.14n由已知P（AB0）0，P（AB1）0.2，P（AB2）0.6，P（AB3）1n由全概率公式得：P（A）0.0900.360.20.410.60.1410.458二、贝叶斯公式n把全概率公式中的问法改为：求在A发生的条件下，Bk发生 的 概 率 是 多 少（k 1，2，n）？即 求 的 是P（Bk/A），称求条件概率P（Bk/A）的公式为贝叶斯公式（也称逆概公式），它与全概率公式的条件完全相同，是一个问题的两个方面。由于P（BkA）n由全概率公式P（A）于是P（BkA）（1.18）该公式就称为贝叶斯（或逆概率）公式。n例3在秋菜运输中，某汽车可到甲、乙、丙三地去拉菜，
34、设到此三处拉菜的概率分别为0.2，0.5，0.3，而到各地拉到一级菜（只分一级、二级菜）的概率分别为0.1，0.3，0.7。已知汽车拉到了一级菜，求该车菜是由乙地拉来的概率。n解：设B1，B2，B3分别表示“汽车由甲、乙、丙地拉菜”的事件，A表示“拉到一级菜”的事件。由题意知B1，B2，B3互不相容，且B1B2B3则P（B1）0.2，P（B2）0.5P（B3）0.3，P（AB1）0.1，P（AB1）0.3P（AB3）0.7，所求事件的概率为P（B2A）n由贝叶斯公式P（B2A）n这里P（Bk）是由以往数据分析得到的，故称先验概率，P（BkA）是在获得事件A已发生的信息后利用先验概率P（Bk）及
35、条件概率P（ABk）（k1，2，n）计算得来的，故称P（BAk）为后验概率。n三、例题分析例4设甲乙两袋，甲袋中装有n个白球，m个红球，乙袋中装有N个白球，M个红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率是多少？n解：从乙袋中任取一球是白是红的可能性大小，是受从甲袋取一球放入乙袋的影响。当从甲袋中取一白球放入乙袋，则乙袋有球MN1个，其中白球N1个，因此从乙袋中取一白球的概率为 ，若从甲袋取一红球放入乙袋，从乙袋取一白球的概率为 ，n如下图119所示nP（A）P（B1）P（AB1）P（B2）P（AB2）n例5某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求它拨号
36、不超过三次而接通电话的概率？n解：所谓不超过三次接通电话是指，第一次就拨通了，则拨通的概率为 ，这是一种可能。也可能第一次未通，而在第二次拨通了，其概率为 。再有就是前两次都未通，而第三次拨通了，则概率为 ，下面看树枝图解（图120）。n所以P（通）P（B1）P（）P（B2）P（）P（）P（B3）即所求概率为，由开始B1及由开始 B2和由开始 B3，三条线上的概率之和。n例6无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号“”收到信号为“”、“不清”和“”的概率分别为0.7，0.2和0.1；当发出信号为“”时，收到信号为“”、“不清”和“”的概率分别为0.9，0.1和0，如果发报过程中，“”和“”出现的
37、概率分别是0.6和0.4，问当收到信号不清时，发报信号为“”和“”的概率各是多少？n解：根据题意做树枝图如下n求（1）P（发“”收“不清”）P（A1B3）（2）P（发“”收“不清”）P（A2B3）根据贝叶斯公式：P（A1B3）P（A2B3）从计算看出，当发“”信号时，收到“不清”的可能性大。第二章随机变量及其分布n教学目的与要求：使学生能够用随机变量表示随机事件，掌握几种常见的随机变量的分布。会求离散型随机变量及连续型随机变量的分布函数。n重点与难点：随机变量的分布函数n教学手段：讲练结合n课时分配：16课时1随机变量n从第一章我们可以看出，随机试验的结果有的具有数量性质。如：电话总机在时间区
38、间0，T内收到呼叫次数是0次、1次、2次；等等。有的不具有数量性质，如加工一件产品是合格品或不合格品。n对于具有数量性质的随机试验的结果，可建立数值与结果的直接对应关系。如电话总机接到的呼叫次数，我们用“0”表示接到0次呼叫；用“1”表示接到1次呼叫，。这样，就得到了数值与结果的直接对应关系，有了这种对应关系以后，我们便可以用数值来表示试验结果。n对于非数量性质的随机试验结果，我们可以根据情况指定数值来表示。例如，加工一件产品，设只有合格品与不合格品两种结果，我们可用数“1”表示合格品，用“0”表示不合格品。这样非数量性质的试验结果就数量化了。因此同样可用数值来表示这种试验结果。n总之，无论是
39、数量性质的还是非数量性质的试验，都可用数值来表示其试验结果。我们将表示试验结果的数值看成是变量X的取值，则称此变量X为随机变量，它是样本点的函数。下面举例说明。n例1某电话总机在0，T内收到呼叫次数的样本空间0次，1次，2次，。则表示在0，T内接到呼叫次数的随机变量X为：0 0次次 1 1次次 2 2次次 X 0 1 2 n例2某银行办理有奖储蓄，100000张为一组，设一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金100元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金1元；其余无奖。设某人买一张奖券，其中奖情况为一随机变量，可表示成下面三种。n1得奖金额的样本空间为：0元，
40、1元，10元，100元，1000元则表示得奖金额的随机变量X为：0 0元元 1 1元元 1010元元 100100元元 10001000元元 X011010010001等奖等奖2等奖等奖3等奖等奖4等奖等奖5等奖等奖X123452得奖等级的样本空间为：1等奖，2等奖，3等奖，4等奖，无奖我们用数“5”表示无奖，则表示得奖等级的随机变量X为：n3是否得奖的样本空间为得奖，不得奖我们用数“1”表示得奖，用数“0”表示不得奖，则表示得奖的随机变量X为：得奖得奖不得奖不得奖X10n例3某电子元件使用寿命的样本空间为：t|t0则表示该元件使用寿命的随机变量X为：X（t）=t根据上面的讨论，我们引出随机变
41、量的定义。n定义1设E是随机试验，其样本空间，若对每一个有一个实数X（）与之对应，就得到了一个定义在上的实值函数X（），称X（）为随机变量。n随机变量的取值具有随机性，它不是定义在实数轴上，而是定义在样本空间上（样本空间的元素不一定是实数），是样本点的函数，这是它和普通函数不同之处。n由于引入了随机变量，我们就可以充分利用数学手段来研究随机事件及其概率。2 离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量一、离散型随机变量n如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列（可数）无穷多个，则称这类随机变量为离散型随机变量。如上节例1，例2都是离散型随机变量，而例3则不是离散型随机变量，因为X（t）的取值不
42、能一一列举。n二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布要研究一个随机变量，不仅要判断它能取哪些数值，而且必须知道取每个值的概率。若 随 机 变 量 X所 有 可 能 取 值 为 xk（k=1,2,），X取各个可能值的概率，即事件Xxk的概率为：PXxkpkk=1,2,（2.1）n此式称为离散型随机变量X的概率分布或分布列。为明显起见，分布列也常以表格形式给出。如（2.2）称为离散型随机变量X的分布列。Xx1x2PP1P2由概率的性质可知，pk应满足如下条件：pk0(2.3)=1 （2.4）n例1某银行发行十元一张的定期一年有奖储蓄，共一亿张。规定：头等奖5000张，二等奖250
43、00张，三等奖100000张，四等奖500000张，五等奖1200000张。那么考察一张储蓄券的中奖情况，用X表示中奖类别，则X是一个离散型随机变量。求X的分布列。n解：因X是一个离散型随机变量，所以X的可能取值是：1，2，3，4，6。其中“1”表示中头等奖，“2”表示中二等奖，“6”表示不中奖。其对应的概率为：PX10.00005PX1 0.00005PX20.00025PX30.001PX4 0.005PX50.012PX6 0.9817写成分布列的形式为X123456P0.000050.000250.0010.0050.0120.9817n例2某商店某货物中有一、二、三等品及废品四种，其
44、中一、二、三等品率和废品率分别为60，10，20，10。现在售货员任取一件检查其质量，用随机变量X描述检验结果并写出它的分布列。n解：令“XK”与货物为“K等品”（K1，2，3）相对应，“X4”与货物为废品相对应，X是一个离散型随机变量，它可以取1，2，3，4四个可能的值。PX=40.1PX=10.6PX=20.1PX=30.2n写成分布列为X1234P0.60.10.20.1n例3自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时，立即重新调整，求在两次调整之间生产的合格品数的分布列。n解：设两次调整之间生产的合格品数是X，则X是一个离散型随机变量。“X0”表示调整后生产的第一个产
45、品是废品，则有PX=0p；“X1”表示调整后生产的第一个产品是合格品，而第二个产品是废品，则有PX=1pq（q=1-p）；“X2”表示调整后生产的第一个及第二个产品是合格品，而第三个产品是废品，则有PX=2pq2n以此类推，可知合格品数X的概率分布为PX=kpqk=p(1-p)k,k=0,1,2,n,n写成分布列的形式为X012kPPpqpq2pqk三、几种常见的离散型随机变量的分布三、几种常见的离散型随机变量的分布n1单点分布（或退化分布）若随机变量X的全部可能取值为常数C，即“XC”是必然事件，其概率分布为PX=C1 则称X服从单点分布（或退化分布）。例如，从一批全是合格品的产品中，任取c
46、件进行合格性检查。若以X表示所取到的合格品数，则“Xc”是必然事件，其概率为PX=c1。n2两点分布（或01分布，贝努力里分布）若随机变量X的全部可能取值为0，1两个值，其概率分布为PX=1pPX=0q或（2.6）这种分布称两点分布（其中p+q=1）。X10PX=Kpqn例4从一批产品中，抽取一件进行质量检查，若规定正品为“1”，次品为“0”，那么抽取一件的结果，就可以用一个随机变量X来描述。现有产品m+n件，其中正品m件，次品n件，问X的分布列是什么？n解：“X1”表示抽到一件正品；“X0”表示抽到一件次品。由古典概率可知：PX1 ，PX0n或写成分布列形式：n两点分布用途很大，任何一个只有
47、两种可能结果的随机现象，都可用服从两点分布的随机变量来描述。X01Pn3独立重复试验，二项分布n（1）独立重复试验设试验E只有两个可能的结果：A及，记P（A）p，P（）1pq(0p1)将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努里（Bernoulli）试验，简称贝努里试验。贝努力里试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用，是被研究的最多模型之一。n例5某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求恰好中三次的概率；至少击中三次的概率。n解：设击中目标的事件为A，则有P（A）0.8，P（）0.2在这4次射击中，事件A发生三次，共有 种，即AAA、
48、AAA、AAA、AAA。在每个事件中，由于独立射击四次，每次击中与否彼此无关，且每次击中的概率不变，所以每一事件的概率为P（AAA）0.80.80.80.20.830.2P（AAA）0.80.80.20.80.830.2P（AAA）0.80.20.80.80.830.2P（AAA）0.20.80.80.80.830.2n其结果都表示成P（A）3P（）n由于 个事件又是两两互不相容事件，根据概率性质2，连续射击4次，恰中3次的概率为P（恰为3次）P（A）3P（）0.830.02 0.41nP（至少中3次）P（恰好中3次）P（4次全中）而P（AAAA）0.80.80.80.80.84 0.41 P
49、（至少中3次）0.830.02 0.84 0.410.41 0.82n在n次独立重复试验（n重贝努里试验）中，若以X表示事件A出现的次数，则X是一个随机变量，它所有可能取值为0，1，2，n，其分布列为PX=k=Pn(k)=(2.7)则称X服从二项分布。简记为XB（n,p）此式也正是上面讨论的恰好出现k次的概率，至少出现k次的概率为：PXk=（2.8）n在（2.7）式中，显然有PXk0，（k=0,1,2,n）（p+q）n=1，而刚好是二项式（p+q）n展开式中第k+1项，所以我们称X服从参数为n，p的二项分布。因此，上面（2.7）式又简记为XB（n,P）。特别地，当n=1时，二项分布就变为PX=
50、k=Pkq1-kk=0，1n例6某厂试制新产品，此新产品试验成功的概率为0.7，独立试验10次，问10次试验恰有8次成功的概率是多少？n解：将每次试验看作一次随机试验，其结果只有两种可能，即成功或失败，而成功的概率为0.7，即p0.7，连续10次试验即10重贝努力里实验。设成功的次数为X，则X服从参数为n=10，p0.7的二项分布，即XB（10，0.7）故PX8P10（8）0.233n例7某银行办事处，办理有奖储蓄，每100，000张储蓄券为一组，其中设特等奖1张，一等奖10张，二等奖100张，三等奖1000张，其余无奖，某人持有三张储蓄券，试写出中奖张数的概率分布。n解：由题设，买到一张储蓄