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1、专题五立体几何12021/8/11 星期三-2-2021/8/11 星期三-3-2021/8/11 星期三5.1空间几何体42021/8/11 星期三-5-突破点一突破点二突破点三空间几何体的结构特征【例1】(2019全国,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.26 202
2、1/8/11 星期三-6-突破点一突破点二突破点三分析推理首先要明确几何体是由正方体切割而得,根据切割方式及其结构特征,即可确定该几何体的面数以及棱长与正方体棱长之间的关系,即可得到所求.2021/8/11 星期三-7-突破点一突破点二突破点三解析:由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,BGE为等腰直角三角形,2021/8/11 星期三-8-突破点一突破点二突破点三规律方法1.关于空
3、间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,明确几何体之间的联系以及差异性.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,那么在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.2021/8/11 星期三-9-突破点一突破点二突破点三即时巩固1(1)已知正四棱锥V-ABCD中,底面面积为16,一条侧棱的长为2 ,则该棱锥的高为.(2)如图所示,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器中灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜程度的不同
4、,以下命题:水的形状成棱柱状;水面EFGH的面积不变;A1D1始终与水面EFGH平行.其中正确命题的序号是.6 2021/8/11 星期三-10-突破点一突破点二突破点三解析:(1)如图,取正方形ABCD的中心O,连接VO,AO,则VO就是正四棱锥V-ABCD的高.所以正四棱锥V-ABCD的高为6.2021/8/11 星期三-11-突破点一突破点二突破点三(2)题图所示为水面的三种不同形状,中形状显然为棱柱,为以四边形ABFE和四边形DCGH为两个底面,其他为侧面的棱柱,为以BEF和CHG为底面,其他面为侧面的棱柱,故正确;水面的形状会随倾斜程度的不同而不同.如中水面形状均为矩形,但边长不同,
5、其面积也不同,故不正确;因为水面在运动过程中保持与边BC平行,而BC与A1D1平行,故A1D1始终与水面EFGH平行,则正确,故正确命题的序号是.2021/8/11 星期三-12-突破点一突破点二突破点三几何体的表面积与体积【例2】(1)(2018天津,理11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.(2)(2019天津,理11)已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.20
6、21/8/11 星期三-13-突破点一突破点二突破点三分析推理(1)根据四棱锥的由来和正方体的结构特征,首先确定四棱锥底面EFGH的性质,求出其面积,四棱锥的高等于正方体棱长的一半,然后代入锥体体积公式求解即可;(2)首先根据圆柱和四棱锥的结构特征以及相互关系,利用相似关系确定圆柱的底面半径和高,然后代入体积公式求解即可.2021/8/11 星期三-14-突破点一突破点二突破点三2021/8/11 星期三-15-突破点一突破点二突破点三规律方法1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体
7、的某一面上.2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.2021/8/11 星期三-16-突破点一突破点二突破点三即时巩固2(1)(2019湖南长沙一中一模)一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()B 2021/8/11 星期三-17-突破点一突破点二突破点三(2)在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()C 2021/8/11
8、星期三-18-突破点一突破点二突破点三解析:(1)正方体的面对角线长为2 ,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为 ,故选B.(2)由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.2021/8/11 星期三-19-突破点一突破点二突破点三球与多面体的切接问题【例3】(1)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()(2)(2019全国,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2
9、的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()分析推理(1)当球的体积最大时,它与直三棱柱的若干个面相切,根据底面直角三角形及三棱柱的高,进而确定球的体积的最大值;(2)根据已知条件,确定三棱锥中各棱之间的关系,在三角形中利用余弦定理求出边长,从而求得球的直径,代入体积公式求解.B D 2021/8/11 星期三-20-突破点一突破点二突破点三解析:(1)由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.2021/8/11 星期三-21-突破点一突破点二突破点三(2)设PA=PB=PC=2x.E,F分别为PA,AB的中点,2021/8/11 星期三-22-突破
10、点一突破点二突破点三故选D.2021/8/11 星期三-23-突破点一突破点二突破点三规律方法多面体与球接、切问题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,则一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.2021/8/
11、11 星期三-24-突破点一突破点二突破点三即时巩固3(1)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()(2)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()B B 2021/8/11 星期三-25-突破点一突破点二突破点三解析:(1)由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,2021/8/11 星期三-26-突破点一突破点二突破点三2021/8/11 星期三-27-核心归纳预测演练2021/8/11 星期三-28-核心归纳预测演练1.已知圆锥的高为3,底面半径长为
12、4,若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等,则该球的半径长为()A.5B.C.9D.3B 解析:圆锥的底面半径r=4,高h=3,圆锥的母线l=5,圆锥侧面积S=rl=20.2021/8/11 星期三-29-核心归纳预测演练2.已知一个圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为()A.B.C.2D.3C 解析:依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的半径为r,易 2021/8/11 星期三-30-核心归纳预测演练3.(2019辽宁沈阳质监三)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是4,则其侧棱长为()B 解析:三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,所以它的外接球就是
13、它扩展为正方体的外接球.因为外接球的表面积是4,所以球的半径为1,所以正方体的对角线的长为2,2021/8/11 星期三-31-核心归纳预测演练4.(2019湖南邵阳联考)已知三棱锥P-ABC底面的3个顶点A,B,C在球O的同一个大圆上,且ABC为正三角形,P为该球面上的点,若三棱锥P-ABC体积的最大值为2 ,则球O的表面积为()A.12B.16 C.32D.64B 2021/8/11 星期三-32-核心归纳预测演练解析:正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上.因为题目中涉及体积最大值,所以ABC的中心就是球心O,当三棱锥P-ABC的体积最大时,PO
14、是球的半径,也是正三棱锥的高,设为R,2021/8/11 星期三-33-核心归纳预测演练5.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.2021/8/11 星期三-34-核心归纳预测演练6.如图,在直角梯形ABCD中,ADDC,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边旋转一周,则所得的几何体的表面积为.2021/8/11 星期三-35-核心归纳预测演练解析:根据题意可知,该几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示,则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积2021/8/11 星期三-36-2021/8/11 星期三