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1、第三节函数的单调性2021/8/11 星期三1函数单调性的判断 试判断函数f(x)，x(1,1)的单调性 2021/8/11 星期三2分析运用定义法进行判断2021/8/11 星期三3解设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x21，x110，x110，x210，x210，1x1x21，0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数为减函数2021/8/11 星期三4规律总结运用定义判断或证明函数单调性时，步骤要规范：设；列；证；判；定论证变形要彻底，一般通过因式分解，配方等手段直到符号的判定非常明显2021/8/11 星期三5变式训练1 下列命题：若f(x)为增函数，则 为减
2、函数；若f(x)为减函数，则f(x)2为增函数；若f(x)为增函数，则f(x)2为增函数；若f(x)为增函数，g(x)是减函数，且gf(x)有意义，则gf(x)为减函数其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D42021/8/11 星期三6【解析】正确，不正确，故应选B.【答案】B2021/8/11 星期三7求函数的单调区间 求下列函数的单调区间(1)y (ab0);(2)x22|x|3；(3)ylog (x22x3)2021/8/11 星期三8分析(1)转化成y (k0)的单调性问题(2)该函数为偶函数，可以运用图象(3)根据复合函数的单调性求解 2021/8/11 星期三9解(1)y=1
3、+=.ab，ab0，函数在(，b)(b，)上是减函数，(，b)，(b，)是函数的减区间(2)函数图象：函数的增区间为(，1，0,1，函数的减区间为1,0，1，)2021/8/11 星期三10(3)由x22x30，解得函数的定义域为 .设tx22x3，在区间(3，1上，t是x的增函数，又ylog t是t的减函数在区间(3，1上，y是x的减函数，即(3，1是函数的减区间在区间1,1)上，t是x的减函数，y是t的减函数，1,1)是函数的增区间2021/8/11 星期三11规律总结(1)求函数单调区间的常用方法：定义法、导数法、复合函数单调性法、数形结合法，其中定义法和导数法是通法(2)求简单复合函数
4、fg(x)的单调区间，先确定函数的定义域，再在定义域内找到内函数g(x)的单调区间，最后根据外函数f(t)的单调性，确定原函数的单调区间复合函数的单调性的判断参看下表：可归纳简记为“同增异减”g(x)增 增 减 减f(x)增 减 增 减fg(x)增 减 减 增2021/8/11 星期三12变式训练 函数ylog (x25x6)的单调增区间为()A.B(3，)C.D(，2)2021/8/11 星期三13【解析】x25x60 x3或x2，令tx25x6 ，又ylog t是t的减函数，在区间(，2)上，y是x的增函数，故选D.【答案】D2021/8/11 星期三14抽象函数的单调性及运用 定义在R上
5、的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR，有f(ab)f(a)f(b)求证：(1)f(0)1；(2)f(x)是R上的增函数 2021/8/11 星期三15分析多设问问题注意前一设问的应用，本题没有函数解析式，理解f(ab)f(a)f(b)含义，充分利用该条件2021/8/11 星期三16证明(1)由任意的a、bR R，f(ab)f(a)f(b)，令ab0得，f(0)f(0)2，又f(0)0，f(0)1.(2)x0时，f(x)1，当x0时，由f(xx)f(x)f(x)1.即f(x)0，综上所述，当xR R时，f(x)0.设任意的x1，x2R R，且x1x2，则f(x
6、2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)，f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)1又x2x10，f(x2x1)1，f(x1)f(x2x1)10，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)是R R上的增函数2021/8/11 星期三17规律总结(1)抽象函数单调性的证明用定义法(2)解含“f”不等式，首先要根据函数单调性脱去“f”符号，转化成关于自变量x的不等式，转化中注意定义域的限制条件2021/8/11 星期三18变式训练函数f(x)对任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f
7、(4)5，解不等式f(3m2m2)3.2021/8/11 星期三19【解析】(1)证明：设x1，x2R，且x1x2，则x2x10，f(x2x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，f(x1)f(x2)，即f(x)是R上的增函数(2)f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，不等式即为f(3m2m2)f(2)f(x)是增函数，3m2m22，解得1m .2021/8/11 星期三20求函数的最大(小)值(12分)已知函数f(x)，x1，)，a为正常数，求f(x)的最小值 2021/8/11 星期三21分析形如f(x)
8、x (x0)函数为重要函数，首先判断函数的单调性，运用单调性求最值 2021/8/11 星期三22解f(x)x 2，x1，)，f(x)1 ，x1，)，2分由f(x)0 x ，f(x)在(，)上为增函数；.4分由f(x)00 x ，f(x)在(0，)上为减函数.6分当 1，即a1时，f(x)在区间1，)上先减后增，f(x)minf()2 2.当 1，即0a1时，f(x)minf(1)a312分2021/8/11 星期三23规律总结求函数的最大(小)值常用方法有函数的单调性、配方法、数形结合法等2021/8/11 星期三24变式训练 用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min
9、2x，x2,10 x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5 C6 D72021/8/11 星期三25【解析】作出函数y2x，yx2，y10 x(x0)的图象，由图可知f(x)的图象为实线部分，所以f(x)的最大值为点A的纵坐标由 解得y6，故选C.【答案】C2021/8/11 星期三261一个函数的两个单调区间不可以取并集比如：y 在(，0)上是单调递减的，并且在(0，)上也是单调递减的，只能说(，0)和(0，)是函数y 的两个单调递减区间，不能说(，0)(0，)是原函数的单调递减区间2通过观察图象，对函数是否具有某种性质做出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解
10、决问题的一种常用数学方法2021/8/11 星期三273求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，其次充分利用一次、二次函数等基本初等函数的单调性，常用的方法有：定义法、图象法、导数法4复合函数的单调性：同增同减，复合为增；一增一减，复合为减5求函数的最值通常先判断函数的单调性，再根据所给区间求函数的最值2021/8/11 星期三28求函数y 的单调区间 2021/8/11 星期三29错解当x1时，y x，函数在1，)上是减函数当x1时，y x2，函数在(，1)上是增函数函数的单调区间是(，1)(1，)2021/8/11 星期三30错解分析两处错误：(1)忽视了函数的定义域x|x0且x2；(2)用(，1)(1，)表示单调区间，它不表示区间，当然也就不是单调区间2021/8/11 星期三31正解函数的定义域为|x1|10，得x0，且x2.函数的单调增区间是(，0)，(0,1)，单调减区间是(1,2)，(2，)2021/8/11 星期三32