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1、1.11.1任意角、任意角、弧度弧度2021/8/11 星期三1同角三角函同角三角函数基本关系式数基本关系式和角和角公式公式三角函数的三角函数的图像和性质图像和性质诱导诱导公式公式任意角的任意角的三角函数三角函数弧度制弧度制与角度制与角度制任意角任意角的概念的概念应用应用应用应用知识结构2021/8/11 星期三21.任意角任意角角分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.利用这些角,已能表示圆周上某些点P.但要表示圆周上周而复始地运动着的点,仅有这些角是不够的.n“转体转体7200”n“翻腾三周半翻腾三周半”表示表示旋转程度旋转程度的一个角的一个角n时针旋转第二周、第三周时针旋转第二周、第三周,则
2、形成了更大范围内的角则形成了更大范围内的角.小学小学(静止地)角:从一点出发的两条射线所围成的图形初中初中(运动地)(运动地)角:一条射线绕其角:一条射线绕其端点从一个位置旋端点从一个位置旋转到另一个位置所转到另一个位置所形成的图形形成的图形2021/8/11 星期三31.正角、负角、零角概念OAB一条射线由原来位置一条射线由原来位置OA,OA,绕着它的端点绕着它的端点O O,(1)(1)按按逆时针逆时针方向旋转转到方向旋转转到OBOB形成的角,形成的角,规定为规定为正角正角.(2)(2)按按顺时针顺时针方向旋转所形成的角规定为方向旋转所形成的角规定为负角负角.OAB (3)射线射线没作任何旋
3、转没作任何旋转时,我们认为它这时也时,我们认为它这时也 形成了一个角,并把这个角规定为形成了一个角,并把这个角规定为零零角角.2021/8/11 星期三4为了便于研究,今后我们常以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴,建立平面直角坐标系.第几象限角:第几象限角:角的角的终边终边(除端点外除端点外)落落在第几象限在第几象限,就,就称这个角是称这个角是第几象限角第几象限角.轴线角:轴线角:如果角的如果角的终边终边落落在坐标轴上在坐标轴上,就说该,就说该角不属于任何象限,习惯上角不属于任何象限,习惯上称称其为其为轴线角轴线角.象限角的表示2021/8/11 星期三5练习:练习:分别作出下列各角,
4、并指出它们分分别作出下列各角,并指出它们分别是第几象限角?其中哪些角的终边相同别是第几象限角?其中哪些角的终边相同?300300o o、150150o o、6060o o、60 60o o、210 210o o、300300o o、420 420o o其中其中300300o o、60 60o o、420 420o o 的终边相同的终边相同。2021/8/11 星期三6n练习:练习:n1.一角为一角为300,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为数为_.n2.集合集合M=k90=k900 0+,kZ,kZ中中.各角的终各角的终边都在有什么样的关系边都在有什么样
5、的关系?2021/8/11 星期三7xyoxyoxyoxyoxyo2021/8/11 星期三8二、例题讲解二、例题讲解例例1 1:在在0 0o o到到360360o o的范围内,找出与下列各的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断他们是第几象角终边相同的角,并分别判断他们是第几象限角:限角:(1 1)650 650o o (2 2)150150o o (3 3)990990o o15 15 练习:练习:P7P7,1 1、2 2、3 32021/8/11 星期三9 小结4.求与求与终边相同的周内角(终边相同的周内角(0o360360o o),),用用草除法,商为草除法,商为k k值,余数
6、即为所求,值,余数即为所求,注意负角商的绝对值要比实际商大注意负角商的绝对值要比实际商大1 1 。2021/8/11 星期三102021/8/11 星期三112021/8/11 星期三122021/8/11 星期三13 3 3、在角度制下,当把两个带着度、分、秒、在角度制下,当把两个带着度、分、秒为单位的角相加、相减时,由于为单位的角相加、相减时,由于运算进率不是运算进率不是十进制十进制,总给我们带来不少困难那么我们能,总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢?减运算与常规的十进制加减
7、法一样去做呢?一、角度制 1 1、用、用“度度”作单位来度量角的单位作单位来度量角的单位制称作制称作“角度制角度制”,规定:圆周,规定:圆周1/3601/360的圆心角称作的圆心角称作11角。角。2 2、角度制的单位有:度、分、秒。、角度制的单位有:度、分、秒。2021/8/11 星期三14 1、定义:我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。演示 问题:若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度问题:若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?若弧是一个整圆呢?数是多少?若弧是一个整圆呢?二、弧度制定义 2.2.单位:单位:弧度(或弧度(或radrad)OABr1radOACL=2r2rad20
8、21/8/11 星期三154 4、为什么可以用弧长与其半径的比值来度、为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢?半径大小无关呢?二、弧度制定义该比值只与该比值只与 的大小有关,与半径无关。的大小有关,与半径无关。2021/8/11 星期三16角度制与弧度制的互换:角度制与弧度制的互换:(1)把角度换成弧度)把角度换成弧度(2)把弧度换成角度)把弧度换成角度2021/8/11 星期三17把 化成弧度。例1:解:四、例题讲解 2021/8/11 星期三18角度制与弧度制互化时 是关键。把 化成度。例2:解:四、
9、例题讲解 2021/8/11 星期三19n正角的弧度数是一个正数正角的弧度数是一个正数;n负角的弧度数是一个负数负角的弧度数是一个负数;n零角的弧度数是零角的弧度数是0.0.2021/8/11 星期三20角度弧度一些特殊角的弧度数 2021/8/11 星期三21、弧度制弧度制是以是以“弧度弧度”为单位度量角的制度,为单位度量角的制度,角角度制度制是以是以“度度”为单位度量角的制度;为单位度量角的制度;该弧)的大小,而该弧)的大小,而 是圆的是圆的 所对的圆心角(或所对的圆心角(或、1 1弧度弧度是是等于半径长的圆弧等于半径长的圆弧所对的圆心角(或所对的圆心角(或该弧)的大小;该弧)的大小;、不
10、论是以、不论是以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为为单位单位的的角的角的大小大小都是一个都是一个与半径与半径大小大小无关无关的定值的定值角度制与弧度制的比较2021/8/11 星期三22例3:计算(1);(2)解:(1)(2)四、例题讲解2021/8/11 星期三23四、例题讲解 弧长公式和扇形面积公式弧长公式和扇形面积公式1 1、弧长公式:、弧长公式:由由得:得:2 2、扇形面积公式:、扇形面积公式:2021/8/11 星期三24n练习:练习:1.1.在半径不等的两个圆内,在半径不等的两个圆内,1 1弧度的圆心角弧度的圆心角()nA.A.所对弧长相等所对弧长相等 B.B.所对的弦长相等所对的
11、弦长相等nC.C.所对弧长等于各自半径所对弧长等于各自半径 D.D.所对的弧长为所对的弧长为n例例4 4:已知扇形的周长为:已知扇形的周长为8cm8cm,圆心角,圆心角为为2 2弧度,求该扇形的面积弧度,求该扇形的面积.C解:设扇形的半径为解:设扇形的半径为r,弧长为,弧长为l,则有,则有2021/8/11 星期三25小结n我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做叫做1 1弧度的角弧度的角.OABr1rad求角的大小:求角的大小:(2)(2)方向方向:n正角的弧度数是一个正数正角的弧度数是一个正数;n负角的弧度数是一个负数负角的弧度数是一个负数;n零角的弧度数是
12、零角的弧度数是0.0.2021/8/11 星期三26练习:求图中公路弯道处弧练习:求图中公路弯道处弧 的长的长 。(精确(精确 到到 ,图中长度单位:),图中长度单位:)解:m答:弯道处答:弯道处 的长约的长约47m47m。2021/8/11 星期三271 1把下列各角化成的形式:把下列各角化成的形式:(1);(2);(3)练习练习(1):(2):(3):2021/8/11 星期三282 2、若三角形的三个内角之比是、若三角形的三个内角之比是2 2:3 3:4 4,求其三,求其三个内角的弧度数个内角的弧度数3 3、已知扇形的周长为,面积为,求扇、已知扇形的周长为,面积为,求扇形的中心角的弧度数形的中心角的弧度数 2021/8/11 星期三291.1.若三角形的三个内角之比是若三角形的三个内角之比是2:3:42:3:4,求,求其三个内角的弧度数其三个内角的弧度数.2021/8/11 星期三30