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1、 第三章空间向量与立体几何 小结与复习2021/8/9 星期一1本章知识结构空间向量空间向量的定义及的定义及其运算其运算空间向量空间向量的运算的的运算的几何意义几何意义空间向量空间向量的运算坐的运算坐标表示标表示用空间向量用空间向量的表示点、的表示点、直线、平面直线、平面等元素等元素建立空间建立空间图形与空图形与空间向量的间向量的联系联系利用空利用空间向量间向量的运算的运算解决立解决立体几何体几何中的问中的问题题2021/8/9 星期一2归纳整理2021/8/9 星期一3归纳整理8.8.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做
2、行或重合，则这些向量叫做共线向量共线向量或或平行向量平行向量。9.9.平行于同一平面的向量，叫做共面向量平行于同一平面的向量，叫做共面向量10.平面的法向量平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线的有向线段所在直线垂直于平面垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.2021/8/9 星期一4(二二)空间向量的运算空间向量的运算1.加法加法:三角形法则或平行四边形法则2.减法减法:三角形法则三角形法则加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律注注:两个空间向量的加、减法两
3、个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、与两个平面向量的加、减法实质是一样的减法实质是一样的.三个向量或三个以上向量的和三个向量或三个以上向量的和遵循空间多边形法则遵循空间多边形法则2021/8/9 星期一5空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律2021/8/9 星期一64、两个向量的数量积、两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.空间两个向量的数量积的性质空间两个向量的数量积的性质注：空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质
4、注：空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.2021/8/9 星期一71.1.共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个向量对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数 使使 2、平面向量基本定理、平面向量基本定理 如果如果e1和和e2是一平面内的是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存存在惟一的一对实数在惟一的一对实数a a1 1，a a2 2，使使 a a1 e1 a2 e2(三三)空间向量的理论空间向量的理论2021/8/9 星期一8OABPa若若P P为为A,BA,B中点中点,则则向量参数表示式向
5、量参数表示式共线向量定理的推论共线向量定理的推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直线的直线,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足满足等式等式 其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 的方向向量的方向向量.若若 则则A、B、P三点共线。三点共线。2021/8/9 星期一9共面向量定理的推论共面向量定理的推论:2021/8/9 星期一10 4.4.空间向量基本定理空间向量基本定理 若三个向量若三个向量a a，b b，c c不共面，则对空间任一向量不共面，则对空间任一向量p p，
6、存在有序实数，存在有序实数组组 x，y，z，使得，使得p pxa ayb bzc.c.其中其中a，b，c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a，b，c都叫做都叫做基向量基向量 若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为基底为正交基底正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为个基底为单位正交基底单位正交基底2021/8/9 星期一11(四四)空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示(1)(1)若若p px xe e1 1y ye e2 2z ze e3 3，则，则p
7、 p(x(x，y y，z).z).(2)(2)设设 i i，j j，k k 为单位正交基底，向量为单位正交基底，向量a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1)，b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2).).ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2)ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2)a(x(x1 1，yy1 1，zz1 1)abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 2021/8/9 星期一12x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2，z z1 1
8、zz2 2(R)(R)a/ba b x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 0 0|a|2021/8/9 星期一13(五五)、空间位置关系的向量法：、空间位置关系的向量法：2021/8/9 星期一14(六六)、空间角的向量方法：、空间角的向量方法：2021/8/9 星期一15(七七)空间空间“距离距离”问题问题1.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题2021/8/9 星期一162、E为平面为平面外一点外一点,F为为内任意一内任意一 点点,为平为平面面的法向量的法向量,则点则点E到平面的距离为到平面的距离为:3、a,b是异面直线是异面直线,E,F分别是直线分别是直线a,b上的点上的点,是是a,b公垂线的方向向量公垂线的方向向量,则则a,b间距离为间距离为2021/8/9 星期一17几何法几何法向量法向量法2021/8/9 星期一182021/8/9 星期一192021/8/9 星期一20几何法几何法坐标法坐标法2021/8/9 星期一212021/8/9 星期一222021/8/9 星期一23