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1、2.3数学归纳法数学归纳法2021/8/9星期一1普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学数学选修选修2-2（A A版）版）教学目标教学目标1.了解两种归纳法：完全归纳法和不完全归纳法。2.掌握用数学归纳法证明等式的方法和步骤。3.掌握“归纳猜想证明”的方法技巧。重难点重难点数学归纳法的操作和应用2021/8/9星期一2问题情境一问题情境一:问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？个小球，如何证明它们都是绿色的？问题问题 2:如果如果an是一个等差数列，怎样得到是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d?完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法不完全
2、归纳法 在等差数列在等差数列an中，已知首中，已知首项为a1，公差，公差为d，那么，那么a1=a1=a1+0 d,a2=a1+d=a1+1 d,a3=a2+d=a1+2 d,a4=a3+d=a1+3 d,an=?归纳归纳an=a1+(n 1)d2021/8/9星期一3数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：费马费马(1601-1665)法法国伟大的业余数学家。国伟大的业余数学家。问题情境二问题情境二:2021/8/9星期一4数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：费马费马(1601-1665
3、)法法国伟大的业余数学家。国伟大的业余数学家。欧拉欧拉(17071783)，瑞，瑞士数学家及自然科学家。士数学家及自然科学家。问题情境二问题情境二:不完全归纳法不完全归纳法 2021/8/9星期一5归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（一）归纳法（一）归纳法:（1 1）完全归纳法完全归纳法：考察：考察_对象，得到一般结论的推理方法对象，得到一般结论的推理方
4、法（2 2）不完全归纳法不完全归纳法:考察考察_对象，得到一般结论的推理方法对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为_和和_优点：考查全面，结论正确优点：考查全面，结论正确;缺点缺点：工作量大，有些对象无法全面考查：工作量大，有些对象无法全面考查.优点：考查对象少，得出结论快优点：考查对象少，得出结论快;缺点缺点：观察片面化，结论不一定正确：观察片面化，结论不一定正确.全体全体完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法不完全归纳法部分部分2021/8/9星期一6如何解决如何解决不完全归纳法不完全归纳法存在的问题呢？存在的问题呢？问题情境三问题情境三:2021/8/9星期一7如何解决不完全归纳法
5、存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1 1）处理第一个问题；）处理第一个问题；（2 2）验证前一问题与后一问题有递推关系）验证前一问题与后一问题有递推关系.（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于第（相当于第K块骨牌能推倒第块骨牌能推倒第K+1块骨牌）块骨牌）问题情境三问题情境三:2021/8/9星期一8（二）数学归纳法的框图表示（二）数学归纳法的框图表示n=k+1n=k+1假设n=k(knn=k(kn0 0)2021/8/9星期一9（三）典例探究类型一类型一 用数学归纳法
6、证明等式用数学归纳法证明等式例例1：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：2021/8/9星期一10用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证明：2021/8/9星期一11证明中的几个注意问题证明中的几个注意问题（1）在第一步中的初始值不一定从1取起,证明应根据具体情况而定.例:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少?方法技巧方法技巧答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为n=5.（2）在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.（用上假设，递推才真）（用上假设，递推才真）例例:如下证明对吗？
7、如下证明对吗？（找准起点，奠基要稳）（找准起点，奠基要稳）2021/8/9星期一12例例:如下证明对吗？如下证明对吗？证明：当n=1时，左边等式成立。假设n=k时，有右边那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。既然不对，如何改正？既然不对，如何改正？（用上假设，递推才真）（用上假设，递推才真）2021/8/9星期一13(3)明确变形目标（写明结论，才算完整）（写明结论，才算完整）变式训练：变式训练：用数学归纳法证明用数学归纳法证明：121223233434n(nn(n1)1)注：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。2021/8/9星期一14类
8、型二类型二 归纳归纳猜想猜想证明证明例例2 已知数列已知数列2021/8/9星期一15那么那么n=k+1时时左=右证明：2021/8/9星期一16【方法技巧方法技巧】“归纳归纳猜想猜想证明证明”的一般环节的一般环节2021/8/9星期一17变式训练：变式训练：2021/8/9星期一18课堂小结课堂小结2.用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式找准基础，奠基要稳。用上假设，递推才真。写明结论，才算完整3.归纳归纳猜想猜想证明证明2021/8/9星期一19当堂检测当堂检测1.1.用数学用数学归纳法法证明明1+2+21+2+22 2+2+2n+1n+1=2=2n+2n+2-1(nN-1(nN*)的的过程中，在程中，在验证n=1n=1时，左端，左端计算所得的算所得的项为()A.1 B.1+2A.1 B.1+2C.1+2+2C.1+2+22 2 D.1+2+2 D.1+2+22 2+2+23 32.用数学用数学归纳法法证明明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(n N*)，“从从k到到k+1”左端增乘的代数式左端增乘的代数式为_.C2(2k+1)2(2k+1)3.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=n2an(n2)，而，而a1=1，通过计算，通过计算a2，a3，a4，猜想，猜想an=()B2021/8/9星期一20拓展提升拓展提升2021/8/9星期一21