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1、定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任是平面直角坐标系中任意一点，在变换意一点，在变换的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应P/(x/,y/).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。42021/8/9 星期一1注注 （1）（2）把图形看成点的运动轨迹，）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。缩变换。2021/8/9 星期一22021/8/9 星期一32.
2、在同一直角坐标系下，求满足下列图在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲变为曲线线x2+y2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变在同一直角坐标系下，经过伸缩变换换 后，后，曲线曲线C变为变为x29y2=1，求曲线，求曲线C的方的方程并画出图形。程并画出图形。x=3xy=yx/=1/3x,y/=1/2yx2-y2=1/92021/8/9 星期一4二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点MM，用用 表示线段表示线段OMOM的长度，的长度，用用 表示从表示从OXOX到到OM O
3、M 的的角度，角度，叫做点叫做点MM的的极径极径，叫做点叫做点MM的的极角极角，有序，有序数对数对（，）就叫做就叫做MM的的极坐标。极坐标。特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。2021/8/9 星期一5四、极坐标系下点与它的极坐标的四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定（给定（,）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的一点一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标
4、与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)直角坐标系中的点与坐标之间有什么对应关系2021/8/9 星期一6如果如果限定限定0,02 那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标平面内的点和极坐标 就可以就可以一一对应一一对应了了.我们约定我们约定,极点的极坐标是极点的极坐标是极径极径=0,极极角是角是任意角任意角.2021/8/9 星期一7（1）在极坐标系中，极径允许取负值，极在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以角也可以是是任意的正角或负角任意的正角或负角（2）当当 0时，点时，点M 位于极角终边位于极角终边的反向延长线上，且的反向
5、延长线上，且OM=。的扩充的扩充（，）（3）M 也可以表示为也可以表示为（，）3、负极径的规定、负极径的规定2021/8/9 星期一8例例3.设点设点A（2，/3），直线），直线l l为过极点且垂为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直关于极轴，直线线l,l,极点的对称点的极坐标（限定极点的对称点的极坐标（限定 0.-0)，且垂直，且垂直于极轴的直线于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMoxAM在在 中有中有 即即可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐
6、标也满足上式。2021/8/9 星期一17练习：练习：设点设点A的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过过点点A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极的极坐标方程。坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点为直线为直线 上异于的点上异于的点A连接连接OM，oMxA在在 中有中有 即即显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。2021/8/9 星期一18例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。oxMP2021/8/9 星期一19解：如图，设点解：如图，设点点点P外的任意一点，
7、连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则 在在由正弦定理得由正弦定理得显然点显然点P的坐标的坐标也是它的解。也是它的解。2021/8/9 星期一20小结：直线的几种极坐标方程小结：直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点=(R)2、过某个定点，且垂直于极轴、过某个定点，且垂直于极轴 cos=a4、过某个定点，且与极轴成一定的角度、过某个定点，且与极轴成一定的角度3.过定点与极轴平行过定点与极轴平行 sin=a2021/8/9 星期一21（二）（二）曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程定义：定义：如果曲线上的点
8、与方程如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中至所有坐标中至少有一个少有一个)符合方程符合方程f(,)=0；()方程方程f(,)=0的所有解为坐标的点都的所有解为坐标的点都在曲线上。在曲线上。则曲线的方程是则曲线的方程是f(,)=0。2021/8/9 星期一22求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()圆圆心在极点，半径为心在极点，半径为r；()圆圆心在心在(a,0)，半径为，半径为a；()圆圆心在心在(a,/2)，半径为，半径为a；()圆圆心在心在(a,)，半径为，半径为a r 2acos 2asin 圆心的极径与圆的半径相等
9、2021/8/9 星期一232021/8/9 星期一242021/8/9 星期一252021/8/9 星期一26 设设P P是空间任意一点，是空间任意一点，在在oxy平面的射影为平面的射影为Q，用用(,)(0,(,)(0,002)2)表示点表示点Q在平面在平面oxyoxy上的极坐标，上的极坐标，点点P P的位置可用有的位置可用有序数组序数组(,z)(,z)表示表示.xyzoP(,Z)Q 把建立上述对应关系的坐标系叫做把建立上述对应关系的坐标系叫做柱柱坐标系坐标系.有序数组有序数组(,Z)(,Z)叫点叫点P P的的柱柱坐标，坐标，记作记作(,Z).(,Z).其中其中0,00,0 2,-2,-Z
10、Z+2021/8/9 星期一27 柱坐标系又称半极坐标系，它是由柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的一部分建立起来的.空间点空间点P P的直角坐标的直角坐标(x,y,z)(x,y,z)与柱坐与柱坐标标 (,Z)(,Z)之间的变换公式为之间的变换公式为2021/8/9 星期一28xyzoPQr设设P是空间任意一点，是空间任意一点，连接连接OP，记记|OP|=r，OP与与OZ轴正向所轴正向所夹的角为夹的角为.在在oxy平面的射影为平面的射影为Q，设设P在在oxy平面上的射影为平面上的射影为Q，Ox轴按逆时轴按逆时针方向旋转到
11、针方向旋转到OQ时所转过的最小正角时所转过的最小正角为为.这样点这样点 P 的位置就可以用有序数的位置就可以用有序数组组(r,)表示表示.(r,)2021/8/9 星期一29 我们把建立上述我们把建立上述对应关系的坐标系对应关系的坐标系叫做叫做球坐标系球坐标系(或或空间极坐标系空间极坐标系).有序数组有序数组(r,)叫做点叫做点P的球坐标，的球坐标，其中其中xyzoP(r,)Qr 空间的点与有序数组空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种之间建立了一种对应关系对应关系.2021/8/9 星期一30 空间点空间点P的直角坐标的直角坐标(x,y,z)与球坐标与球坐标(r,)之间的变换关系为之间的变
12、换关系为xyzoP(r,)Qr2021/8/9 星期一31P(x,y,z)xyzxyzoP(,Z)QxyzoP(r,)Qr2021/8/9 星期一32一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标任意一点的坐标x,y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方都在这条曲线上，那么方程程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数，联系变数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数，相对于，相对
13、于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做方程叫做普通方程普通方程。2.、参数方程、参数方程注：注：x,y的范围由的范围由t确定确定2021/8/9 星期一33参数方程求法参数方程求法:（1）建立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y)（2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义物理意义,建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程2021/8/9 星期一3
14、4参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化1、准确把握曲线参数方程中的参数的意、准确把握曲线参数方程中的参数的意义及义及取值范围。取值范围。2、参数方程化普通方程的技巧：、参数方程化普通方程的技巧：（1）代入消去发。（）代入消去发。（2)加减消去法。加减消去法。（3）恒等式法：）恒等式法：cos2+sin2=1、1+tan2=sec2、1+cot2=csc2、等、等3、普通方程化参数方程要恰当设参数。、普通方程化参数方程要恰当设参数。2021/8/9 星期一35步骤：步骤：1、消掉参数消掉参数(代入消元，三角变形，配代入消元，三角变形，配方消元方消元)2、写出定义域写出定义域（x的范围
15、）的范围）参数方程化为普通方程的步骤参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x,y前后的取值范围保持一致。前后的取值范围保持一致。注意：注意：2021/8/9 星期一362021/8/9 星期一372021/8/9 星期一38yxo(1,-1)2021/8/9 星期一392021/8/9 星期一40 xoy2021/8/9 星期一41练习4与普通方程与普通方程xy=1表示相同的参数方程（表示相同的参数方程（t为为参数）的是（参数）的是（）Ax=t 2y=t-2Bx=sin ty=csc tCx=costy=sectDx=tan ty=c
16、ot t2021/8/9 星期一42练习5若曲线x=1+cos2y=sin2(为参数），则点（x,y)的轨迹是（）A、直线x+2y-2=0 B.以（2,0）为端点的射线C.圆（x-1)2+y2=1D、以（2,0）和（0,1）为端点的线段D2021/8/9 星期一43标准方程标准方程一般方程一般方程x=x0+l ty=y0+mtl l 的方向向量的方向向量 a=(l l,m)2021/8/9 星期一44(1)写出过点（写出过点（2,1），倾斜角为），倾斜角为2/3的直的直线的参数方程。线的参数方程。（2）写出过点（）写出过点（-1，3），倾斜角为），倾斜角为arctan2的直线的参数方程。的直线
17、的参数方程。练 习2021/8/9 星期一45练 习(3)直线x=-2+tcos30y=3-tsin60(t为参数）的倾斜角等于（）A.30 B.60 C.-45 D.135 D(4)把x=5+3ty=10-4t化成标准方程的形式。化成标准方程的形式。2021/8/9 星期一462021/8/9 星期一47例例1、已知直线、已知直线 l l 过点过点M0(1,5),倾斜角为倾斜角为/3，且交直线，且交直线x-y-2=0于于M点，则点，则 MM0 =三、例题讲解三、例题讲解的应用直线上两点间的距离直线上两点间的距离2021/8/9 星期一48 三、例题讲解三、例题讲解例例2、已知直线、已知直线
18、l l:x+y-1=0与抛物线与抛物线y=x2交交于于A,B两点。两点。(1)求线段求线段AB的长和点的长和点M(-1,2)到到A,B两点的两点的距离之积距离之积.(2)求求AB中点的坐标。中点的坐标。2021/8/9 星期一492021/8/9 星期一50（4）AB的中点的参数的中点的参数t和和t1,t2 有什么关系？有什么关系？2021/8/9 星期一51直线直线 l l 与曲线相交于与曲线相交于M1,M2两点其对应两点其对应的参数分别为的参数分别为t1,t2,则有则有（1）曲线的弦长）曲线的弦长（2）弦M1M2的中点M=结论：结论：2021/8/9 星期一52 例1、直线过点A（1,3）
19、，且与向量（2，-4）共线。（1）写出直线的参数方程。（2）求点P（-2，-1）到此直线的距离。x=1+2ty=3-4t思考与探索思考与探索P382021/8/9 星期一53 四、课堂练习四、课堂练习2021/8/9 星期一542021/8/9 星期一552021/8/9 星期一562021/8/9 星期一57它的焦距是多少？它的焦距是多少？()B2021/8/9 星期一582021/8/9 星期一592021/8/9 星期一60()B2021/8/9 星期一612021/8/9 星期一622021/8/9 星期一63二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程2021/8/9 星期一64 双
20、曲线的参数方程双曲线的参数方程 2021/8/9 星期一65xyoM(x,y)2021/8/9 星期一662021/8/9 星期一672021/8/9 星期一68()c2021/8/9 星期一692021/8/9 星期一702021/8/9 星期一712021/8/9 星期一72xyoBAM2021/8/9 星期一732021/8/9 星期一742021/8/9 星期一751.已知P（x,y）圆C：x2+y26x4y+12=0上的点。（1）求 的最小值与最大值 （2）求xy的最大值与最小值2.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是 ；3.圆(x-1)2+(y+2)2=4
21、上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_；2021/8/9 星期一763.过点过点(2,1)的直线中的直线中,被圆被圆x2+y2-2x+4y=0截得截得的弦：为最长的直线方程是的弦：为最长的直线方程是_；4若实数若实数x,y满足满足x2+y2-2x+4y=0，则，则x-2y的的最大值为最大值为 ；5.参数法求轨迹参数法求轨迹1)一动点在圆一动点在圆x2y2=1上移动上移动,求它与定求它与定点点(3,0)连线的中点的轨迹方程连线的中点的轨迹方程2)已知点已知点A(2,0),P是是x2+y2=1上任一点上任一点,的平分线交的平分线交PA于于 Q点点,求求Q点的轨迹点的轨迹.2021/8/9 星期一777、抛物线抛物线 的内接三角形的一的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。求内接三角形的周长。8、抛物线抛物线 的顶点，引的顶点，引两互相垂直的两两互相垂直的两 条弦条弦OA，OB，求顶点，求顶点O在在AB上射影上射影H的轨迹方程。的轨迹方程。2021/8/9 星期一7810、P是双曲线 （参数）上任一点，F1,F2 是该双曲线的焦点：求PF1F2的重心G的轨迹的普通方程。2021/8/9 星期一79