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1、等比数列的前等比数列的前n n项和项和等差数列等差数列 an等比数列等比数列 an定义定义an+1 -an =d (常数常数 )an+1 an =q (不为零不为零的常数的常数 )通项通项 an =a1+(n 1)d an -am=(n m)d an =a1 qn-1 an am=qn-m公式公式推导推导 方法方法归纳猜想验证法归纳猜想验证法首尾相咬累首尾相咬累加加法法归纳猜想验证法归纳猜想验证法首尾相咬累首尾相咬累乘乘法法性质性质若若 m+n=r+s,m、n、r、s N*则则 am+an=ar+as若若 m+n=r+s,m、n、r、s N*则则 am an=ar as前前n项项和和Sn公式公
2、式推导推导 方法方法（a1 +an）nSn=2=na1+n(n 1)2d化零为整法化零为整法问题问题：等比数列：等比数列an，如果已知，如果已知a1,q,n 怎样表示怎样表示Sn?Sn=a1+a2+an解解：=a1+a1q +a1q2 +a1 qn-1=a1(1+q+q2+qn-1)尝试尝试：S1=a1S2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a1q+a1q2 =a1(1+q+q2)讨论讨论q1时时 a1(1 q3 )1-q=a1(1 q2 )1 -q=a1(1 q1 )1 -q=猜想猜想：Sn a1(1 qn )1 -q=验证验证：an =Sn-Sn-1 a1(1 qn )1 -q=-a
3、1(1 q n-1)1 -q=a1 qn-1 a1(q n-1 qn )1 -q=当当n2时时当当n=1时时a1=S1 亦满足上式亦满足上式 an =a1 qn-1 Sn (q1)a1(1 qn )1-q=a1(1 qn )1-q=Sn=a1+a2+an=a1+a1q +a1q2 +a1 qn-1=a1(1+q+q2+qn-1)当当 q1 时时 即即 1+q+q2+qn-1 （）（）1 qn 1-q=证明（）式证明（）式(1+q+q2+qn-1)(1-q)=1+q+q2+qn-1-(q+q2+qn-1+qn)=1-qn （）式成立（）式成立相减相减(1 q)Sn=a1-a1 qn=a1(1 q
4、n)当当 1 q 0,即即 q 1 时，时，Sn a1(1 qn )1-q=当当 q=1 时，时，Sn=n a1错项相减法错项相减法：Sn=a1+a1q +a1q2 +a1 qn-1q Sn=a1q +a1q2 +a1 qn-1 +a1qn 等比数列等比数列a an n前前n n项和公式为项和公式为当当q1时时 Sn a1(1 qn )1-q=当当q1时时Sn=n a1=a1 -an q1-q练习：练习：（1）124 263 （2）124 (2)n-1=（3）等比数列）等比数列 an 中，中，a1=8,q=,an=,则则Sn=（4）等比数列）等比数列 an 中，中，a1=2，S3=26,则则
5、q=264-11 (-2)n3 312-4 或或 3例例1：求通项为求通项为 an=2n+2n-1 的数列的前的数列的前n项和项和解解：设设 bn=2n ,且对应的前且对应的前n项和为项和为 Cn=2n-1,对应的前对应的前n项和为项和为S n S n则则 an =bn Cn，Sn=+S n S n S n=2 (1 2 n )1 2 =2(2n 1)=n2 Sn=S n S n+=2n+1 +n2 -2 S n=1+(2n-1 )2 n例例2：求和：求和(x+)+(x2+)+(x3+)+(x+(xn n+)+)1y 1y2 1y3 1yn（1）当当 x 0 ,y 1 时时（2）当当 x 0
6、时时解解：当当 x=1 时时Sn=(x+x2+x+xn n)+(+)+(+)1y 1y2 1yn（1）Sn=1y(1-)1yn1-1y=n+yn+1 -yn yn -1当当 x 1 时时Sn=x (1 -xn )1-x 1y(1-)1yn1-1y+x (1 -xn )1-x yn+1 -yn yn -1+=n +(2)只须注意再讨论只须注意再讨论y是否等于是否等于1的取值情况的取值情况例例3：求数列：求数列：1,2x,3x2,，nxnxn-1 n-1,（x0)x0)的的前前n项和项和解解：当当 x=1 时时 Sn=1+2+3+n=n(n+1)2当当 x 1 时时 Sn=1+2 x+3x2+nx
7、n-1 x Sn=x+2x2+(n-1)xn-1 +nxn错项相减错项相减(1 x)Sn=1 +x +x2+xn-1 -nxn=1-xn1-x-nxn Sn=1-xn(1-x)2-nxn1-x=(1 x)21 (1+n)xn+xn+1综上所述：综上所述：当当 x=1 时时 Sn=n(n+1)2当当 x 1 时时 Sn=(1 x)21 (1+n)xn+xn+1等差数列等差数列 an等比数列等比数列 an定义定义an+1 -an =d (常数常数 )an+1 an =q (不为零不为零的常数的常数 )通项通项 an =a1+(n 1)d an -am=(n m)d an =a1 qn-1 an a
8、m=qn-m公式公式推导推导 方法方法归纳猜想验证法归纳猜想验证法首尾相咬累首尾相咬累加加法法归纳猜想验证法归纳猜想验证法首尾相咬累首尾相咬累乘乘法法性质性质若若 m+n=r+s,m、n、r、s N*则则 am+an=ar+as若若 m+n=r+s,m、n、r、s N*则则 am an=ar as前前n项项和和Sn公式公式推导推导 方法方法（a1 +an）nSn=2=na1+n(n 1)2d化零为整法化零为整法当当q1时时 Sn=n a1当当q1时时 Sn a1(1 qn )1-q=a1 -an q1-q归纳猜想验证法归纳猜想验证法 错项相减错项相减法法方法三方法三：Sn=a1+a2+an=a1+a1q +a1q2 +a1 qn-1=a1+q(a1 +a1q +a1 qn-2 )=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an )(1 q)Sn=a1 q an 当当q1时时 Sn a1(1 qn )1-q=a1 -an q1-q当当q1时时Sn=n a1方法四方法四：当当q1时时 Sn a1(1 qn )1-q=a1 -an q1-q当当q1时时Sn=n a1