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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 样本空间及随机事件样本空间及随机事件上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容简介内容简介:分析随机试验发生后产生的分析随机试验发生后产生的结果结果,借助于集合论的有关概念和方法借助于集合论的有关概念和方法,通过通过将日常语言与数学符号建立的对应关系将日常语言与数学符号建立的对应关系,建立建立样本空间、随机事件、和事件、积事件、差样本空间、随机事件、和事件、积事件、差事件、对立事件、事件、对立事件、互斥事件及其运算性质的互斥事件及其运算性质的理论体系理论体系.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.2 1.2 样本空间
2、及随机事件样本空间及随机事件上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.2.1 提出问题提出问题 1.随机试验的结果可知但不确定，怎随机试验的结果可知但不确定，怎样来研究它？样来研究它？1.2.2 预备知识预备知识1.1.集合与元素，全集，空集集合与元素，全集，空集.2.2.集合运算及其运算性质集合运算及其运算性质.2.试验结果复杂多样，如何研究他们试验结果复杂多样，如何研究他们之间的关系？之间的关系？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.2.3 分析问题分析问题 对于随机试验对于随机试验,人们感兴趣的是人们感兴趣的是试验结果试验结果,即每次随机试验后所发生的结果即每次随
3、机试验后所发生的结果.将随机试验的每一个可能的结果称为随机将随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的一个试验的一个样本点样本点,通常记作通常记作.将随机试验将随机试验E的所有样本点组成的集合叫的所有样本点组成的集合叫做试验做试验E的的样本空间样本空间,通常用字母通常用字母表示表示.由一由一个样本点个样本点组成的单点集组成的单点集 叫做叫做基本事件基本事件.1.1.样本空间与随机事件样本空间与随机事件 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例 1.2.2 E2:掷一颗质地均匀的骰子掷一颗质地均匀的骰子,观察观察出现的点数出现的点数.“出现出现i点点”(i=1,2,6)是是E2的样本
4、点的样本点,所以所以样本空间可简记为样本空间可简记为=1,2,6.例例1.2.1 E4 4:一袋中装有红、白两种颜一袋中装有红、白两种颜色的色的1010只乒乓球只乒乓球,从袋中任意抽取从袋中任意抽取1 1只球只球,观察其颜色观察其颜色.令令1表示表示“取得红球取得红球”,2=“取得白取得白球球”,则样本空间则样本空间=1,2.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.2.3 E3:在一批灯泡中任意抽取在一批灯泡中任意抽取一只一只,测试其寿命测试其寿命.“测得灯泡寿命为测得灯泡寿命为t小时小时(0t+)”是是E3的样本点的样本点,所以样本空间可表示为所以样本空间可表示为=t|0t
5、+.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.2.4 E5:将质地均匀的一枚硬币将质地均匀的一枚硬币投掷两次投掷两次,观察正面或反面朝上的情况观察正面或反面朝上的情况.试验试验E5的全部样本点是：的全部样本点是：(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反).其中其中(正正,正正)表示表示“掷第一次硬掷第一次硬币正面朝上币正面朝上,掷第二次硬币正面朝上掷第二次硬币正面朝上”,依此类依此类推推.则样本空间则样本空间 =(正正,正正),(正正,反反),),(反反,正正),(反反,反反).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 从上面例从上面例1.2.1例例
6、1.2.4可以看到可以看到,样本空样本空间可以是有限集或无限集间可以是有限集或无限集,可以是一维点集或可以是一维点集或多维点集多维点集,可以是离散点集亦可以是欧氏空间可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个区域的某个区域.有时候有时候,为了数学处理方便为了数学处理方便,还可还可以把样本空间作相应扩大以把样本空间作相应扩大.例如例如,在例在例1.2.3中中可以取可以取 =0,+),若有必要若有必要,甚至可以取成甚至可以取成 =(-,+).人们人们常用数字或者符号常用数字或者符号来表示具有来表示具有实际意义的试验结果实际意义的试验结果.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在实际问题中在实
7、际问题中,人们常常需要研究人们常常需要研究由样本空间中由样本空间中满足某些条件的样本点满足某些条件的样本点组成的集组成的集合合,即关心于满足某些条件的样本点在试验后是即关心于满足某些条件的样本点在试验后是否会出现否会出现.例如例如,在汛期在汛期,水文站关心的是江河水水文站关心的是江河水位是否达到或超过警戒水位位是否达到或超过警戒水位H0;抽查产品时检抽查产品时检验人员关心的是产品某些方面指标是否达到合验人员关心的是产品某些方面指标是否达到合格标准格标准,等等等等.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 我们称样本空间我们称样本空间中满足某些条中满足某些条件的样本点构成的子集为件的样本
8、点构成的子集为随机事件随机事件,简称简称事件事件.通常用通常用A,B,C,表示表示.若试若试验后的结果验后的结果A,则称事件则称事件A发生发生,否否则称则称事件事件A不发生不发生.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 依上述定义，依上述定义，样本空间样本空间也是它也是它自己的子集自己的子集,因而也是事件因而也是事件,它叫它叫必然事件必然事件;空集空集 中不含中不含的任何元素的任何元素,它叫它叫不可能事件不可能事件.讲评讲评:必然事件和不可能事件所反映的现必然事件和不可能事件所反映的现象是确定性现象象是确定性现象,并不具有并不具有“随机性随机性”,为了为了研究问题的方便研究问题的方便
9、,我们把它们分别看作一种特我们把它们分别看作一种特殊的殊的“随机事件随机事件”.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例如例如,在例在例1.2.2中中,设设A表示表示 掷一掷一枚骰子枚骰子,出现的点数出现的点数6,则则A=是必然事件；是必然事件；设设B表示表示 出现出现8 8点点,则则B是空子集是空子集,因而是不可因而是不可能事件能事件;设设C表示表示 出现偶数点出现偶数点,则则C=2,4,6 ,若实际掷出若实际掷出“2点点”,我们便说事件我们便说事件C发生了发生了;设设D表示表示 出现出现2点点,则则D=2 是基本事件是基本事件.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2
10、.2.随机事件与集合的对应随机事件与集合的对应 实际上，我们已经建立了集合与随机事件实际上，我们已经建立了集合与随机事件之间的对应关系之间的对应关系.记号记号概率论中定义概率论中定义集合论中含义集合论中含义必然事件或样本空间必然事件或样本空间全集（全体元素构成的集合）全集（全体元素构成的集合）不可能事件不可能事件空集（不含任何元素的集合）空集（不含任何元素的集合）样本点样本点为全集为全集中的元素中的元素基本事件基本事件元素元素构成的单点集合构成的单点集合A A为某一随机事件为某一随机事件A A为全集为全集的某一子集的某一子集A A事件事件A A发生发生为集合为集合A A中某一元素中某一元素为事
11、件为事件A A中所含某一基中所含某一基本事件本事件为事件为事件A A中所含某一子集中所含某一子集（单点集）（单点集）表1-1随机事件与集合对应关系上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 将不能再细分的试验基本结果将不能再细分的试验基本结果看作看作样本点样本点;而样本点看作集合的而样本点看作集合的元素元素;全部基本结果构成全部基本结果构成样本空间样本空间；而样本空间而样本空间看作看作全集全集；将将随机事件随机事件表示成由样本点组成的集合表示成由样本点组成的集合;或者说，看作全集的或者说，看作全集的子集子集；基本事件基本事件是由一个样本点组成的是由一个样本点组成的单元集单元集;必然事件必
12、然事件看作看作全集全集，不可能事件不可能事件看作看作空集；空集；将样本点将样本点(元素元素)属于集合表示属于集合表示事件发生事件发生,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 这样的处理方法这样的处理方法,不仅对研究事件的关不仅对研究事件的关系和运算是方便的系和运算是方便的,而且对研究随机事件发而且对研究随机事件发 生的可能性大小的数量指标生的可能性大小的数量指标 概率的运算也是非常科学合理的概率的运算也是非常科学合理的.就可就可以以将事件间的关系和运算归结为将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算集合之间的关系和运算.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回平面矩形区域
13、表示平面矩形区域表示样本空间样本空间,圆形区圆形区域域A表示事件表示事件A.文氏图文氏图(Venn diagram)A 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为,A1,A2,Ak(k=1,2,)是是的一些事件的一些事件,它们都是它们都是的的子集子集.与集合论类似与集合论类似,我们习惯地用文氏图形像地我们习惯地用文氏图形像地描述事件间的关系描述事件间的关系.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.1.事件之间的关系与运算事件之间的关系与运算 在一个样本空间在一个样本空间中中,可以包含许多的随可以包含许多的随机事件机事件.研究随机事件的规律研究随机事件的规律,往往是通过对往往是通过对简单
14、事件规律的研究去发现更为复杂事件的简单事件规律的研究去发现更为复杂事件的规律规律.为此为此,我们引进事件之间的一些重要关我们引进事件之间的一些重要关系和运算系和运算.由于任一随机事件是样本空间的由于任一随机事件是样本空间的子集子集,所以所以事件之间的关系及运算与集合之事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算是完全类似间的关系及运算是完全类似的的.1.2.4 1.2.4 建立理论建立理论上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 若若“事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生”,亦即亦即A的样本点都是的样本点都是B的样本点的样本点,则称则称A包含于包含于B或或B包含包含A,也
15、称也称A是是B的的子事件子事件.B S (1)(1)事件的事件的包含与相等包含与相等如果有如果有且且 注意注意 对任一事件对任一事件A,都都有子事件关系有子事件关系 记做记做则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等,记做记做上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 “事件事件A与事件与事件B至少有一个发生至少有一个发生”的事件叫做的事件叫做A与与B的的和事件和事件.的的和事件和事件 的的和事件和事件 (2)(2)事件的和事件的和(并并)可见可见,AB是由所有属是由所有属于于A中的或属于中的或属于B中的样本中的样本点组成点组成.或或BA记做记做B.A+上页上页下页下页返回返回上页上页下页
16、下页返回返回 “事件事件A与事件与事件B 同时发生同时发生”，这样，这样的事件称为的事件称为A与与B的的积事件积事件.的的积事件积事件 (3)(3)事件的交事件的交(积积)AB由既属于在由既属于在A中又属中又属于在于在B的样本点组成的样本点组成.的的积事件积事件 或或记作记作 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 “事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生”，这样的事这样的事件称为件称为A与与B的差事件的差事件.（4 4）事件的差事件的差记为记为AB.A-B是由所有属于在是由所有属于在A中而不属于中而不属于B的样本点的样本点组成组成.例如例如,若若A=2,4,6,8,10,B=
17、1,2,3,4,则则A-B=6,8,10,B-A=1,3.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回A与与B互斥互斥A、B不可能同时发生不可能同时发生.两两互斥两两互斥两两互斥两两互斥 (5)(5)事件的事件的互不相容互不相容(互斥互斥)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 A与与B互相对立互相对立 称称B为为A的的对立事件对立事件(or逆事件逆事件)，记为，记为 注意注意“A与与B 互相对立互相对立”与与“A与与B 互斥互斥”是不同是不同的概念的概念.(6)(6)对立事件对立事件(逆事件逆事件)每次试验，每次试验，A，B中有中有且只有一个发生且只有一个发生.上页上页下页下页
18、返回返回上页上页下页下页返回返回 (7)(7)完备事件组完备事件组或称或称 为为的的一个一个划分划分(或或剖分剖分).).若若 两两互斥两两互斥,且且,则称则称 为为完备事件组完备事件组.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 完备事件组完备事件组A1,A2,An概念说明概念说明:在每次试验中在每次试验中,事件事件A1,A2,An中有一个发生中有一个发生,并且只有一个发生并且只有一个发生.建立这个概念的建立这个概念的目的目的是是,把错综复杂的关系分解成彼此没有影响的各把错综复杂的关系分解成彼此没有影响的各种基本因素之和种基本因素之和.概念的关键是概念的关键是:事件交为不事件
19、交为不可能事件，同时，事件和为必然事件可能事件，同时，事件和为必然事件.有限样本空间的所有基本事件构成一个有限样本空间的所有基本事件构成一个完备事件组完备事件组,即是样本空间的一个划分即是样本空间的一个划分.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.事件运算法则事件运算法则对应事件运算集合运算(1)(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回B CAA CBA 分配律图示分配律图示A上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 对偶律通常叫做对偶律通常叫做德德摩根律摩根律.在处理在处理关于和事件、积事件和对立
20、事件三种关系时经关于和事件、积事件和对立事件三种关系时经常会使用到常会使用到.(5)(5)对偶律对偶律(4)(4)互反律互反律上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.2.5 理论应用理论应用 例例1.2.5 设设A,B,C是三个事件是三个事件,用用A,B,C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：(1)B,C都发生都发生,而而A不发生；不发生；(2)A,B,C中至少有一个发生；中至少有一个发生；(3)A,B,C中恰有一个发生；中恰有一个发生；上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(4)A,B,C中恰有两个发生；中恰有两个发生；(5)A,B,C中不多于一个发生；中不
21、多于一个发生；(6)A,B,C中不多于两个发生中不多于两个发生.讲评讲评 本例旨在在基本概念方面考查事件本例旨在在基本概念方面考查事件的文字表述与数学符号描写的对应关系的文字表述与数学符号描写的对应关系.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.2.6 内容小结内容小结 本节课介绍了随机试验、随机事件、本节课介绍了随机试验、随机事件、样本空间等概念样本空间等概念.在在讲解讲解顺序顺序上上,按照按照“提出问题提出问题分析题分析题建立理论建立理论”的研究思路展开：首先的研究思路展开：首先,我们看到了我们看到了客观存在的两类现象客观存在的两类现象 确定性现象和随机现确定性现象和随机现象象,
22、分析了随机现象出现的试验结果分析了随机现象出现的试验结果,把基本的把基本的试验结果定义为样本点试验结果定义为样本点,由一个样本点组成的单由一个样本点组成的单元素集合叫做基本事件元素集合叫做基本事件,为进一步研究问题为进一步研究问题,我我们定义了和事件、差事件、们定义了和事件、差事件、积事件、对立事件积事件、对立事件等概念等概念.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在在教学方法教学方法方面方面,通过把随机事件通过把随机事件看作看作“集合集合”,就可以用我们比较熟悉的就可以用我们比较熟悉的集合论的知识来研究随机事件集合论的知识来研究随机事件.这就是这就是我们称为我们称为“映射映射反演
23、反演”的研究问题的科学方的研究问题的科学方法法.这种分析问题、解决问题的处理方法这种分析问题、解决问题的处理方法,希望希望大家要熟悉大家要熟悉,并在今后学习中注意积累并在今后学习中注意积累.当正面分析问题有困难时当正面分析问题有困难时,常常考虑这个问常常考虑这个问题的反面题的反面“对立事件对立事件”,这种思维方式在今这种思维方式在今后学习时要经常用到后学习时要经常用到.1.2.7 1.2.7 习题布置习题布置 习题习题1.2 2、3、4.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2
24、0152015年年8 8月月.2 2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学概率论与数理统计学 习指导书习指导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，20152015年年8 8月月.3 3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.光盘：概率论光盘：概率论 与数理统计教案与数理统计教案 作业与试卷及答案作业与试卷及答案 数学数学 实验视频实验视频.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，20152015年年8 8 月月.4 4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学概率论与数理统计教学 实验教材实验教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，20072007年年7 7月月.联系方式：联系方式：