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1、3.3 二元一次不等式组与简二元一次不等式组与简单的线性规划问题单的线性规划问题3.3.3 简单的线性规划问题简单的线性规划问题课课标标要要求求：1.了了解解线线性性规规划划的的意意义义，了了解解线线性性约约束束条条件件、线线性性目目标标函函数数、可可行行解、可行域、最优解等基本概念解、可行域、最优解等基本概念2了解线性规划问题的图解法，并能了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力际问题，以提高解决实际问题的能力课标定位课标定位重重点点难难点点：本本节节重重点点：线线性性规规划划问问题题的的图图解解法法，
2、关关键键是是数数形形之之间间的的转转化化(根根据据约约束束条条件件，画画出出可可行行域域，并并弄弄清清目目标函数所表示的几何意义标函数所表示的几何意义)本节难点：将实际问题转化为线性规本节难点：将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解，解决难点的关划问题，并给予求解，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解求得最优解基础知识梳理基础知识梳理1线性规划中的基本概念线性规划中的基本概念名称名称意意义义约约束条件束条件由由变变量量x，y组组成的成的_线线性性约约束束条件条件由由x，y的一次不
3、等式的一次不等式(或方程或方程)组组成的不等式成的不等式组组目目标标函数函数欲求最大欲求最大值值或最小或最小值值所涉及的所涉及的变变量量x，y的的函数解析式函数解析式线线性目性目标标函数函数关于关于x，y的一次解析式的一次解析式不等式不等式(组组)名称名称意意义义可行解可行解满满足足_的解的解(x，y)可行域可行域所有所有_组组成的集合成的集合最最优优解解使目使目标标函数取得函数取得_的可行解的可行解线线性性规规划划问题问题求求线线性目性目标标函数在函数在_条件下的条件下的最大最大值值或最小或最小值值的的问题问题2.解决简单的线性规划问题的方法和步骤解决简单的线性规划问题的方法和步骤线性规划问
4、题就是求线性目标函数在线性约束条件下线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题解决这类问题最常用、最的最大值或最小值的问题解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法其步骤为：重要的一种方法就是图解法其步骤为：画：画出画：画出可行域；可行域；变：把目标函数变形为斜截式方程，从纵变：把目标函数变形为斜截式方程，从纵截距的角度寻找最优解；截距的角度寻找最优解；求：解方程组求出最优解；求：解方程组求出最优解；答：写出目标函数的最值答：写出目标函数的最值线性约束条件线性约束条件可行解可行解最值最值线性约束线性约束3几点说明几点说明(1)线性规划问题可能没有最优解线性规划问题
5、可能没有最优解(2)当当线线性性目目标标函函数数所所表表示示的的直直线线与与可可行行域域的的某某一一条条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解(3)整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点数的点课堂互动讲练课堂互动讲练题型一题型一题型一题型一求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问题的关键是画好平面区域，找到目标点题的关键是画好平面区域，找到目标点例例例例1 1【分析分析】解答本题可先画出可行域，采用图解法，
6、平解答本题可先画出可行域，采用图解法，平行移动直线求解行移动直线求解【点评点评】利用线性规划求最值利用线性规划求最值准确画出可行域是解答此类问题的前提条件准确画出可行域是解答此类问题的前提条件把把目目标标函函数数与与过过可可行行域域内内点点的的一一组组平平行行直直线线建建立立对应关系对应关系理解好线性目标函数的几何意义是关键理解好线性目标函数的几何意义是关键从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确作图时要力求准确变式训练变式训练变式训练变式训练
7、解：解：目标函数为目标函数为z3x5y，可行域如图所示，作，可行域如图所示，作出直线出直线z3x5y，可知，直线经过点，可知，直线经过点B时，时，z取取得最大值，直线经过点得最大值，直线经过点A时，时，z取得最小值取得最小值题型二题型二题型二题型二求非线性目标函数的最值求非线性目标函数的最值若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值例例例例2 2【解解】作出可行域，如图所示，求得作出可行域，如图所示，求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)【点评点评】(1)
8、对形如对形如z(xa)2(yb)2型的目标函型的目标函数均可化为求可行域内的点数均可化为求可行域内的点(x，y)与点与点(a，b)间的距间的距离的平方的最值问题离的平方的最值问题变式训练变式训练变式训练变式训练题型三题型三题型三题型三已知目标函数的最值求参数已知目标函数的最值求参数此类题目为线性规划的逆向思维问题解答此类此类题目为线性规划的逆向思维问题解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解求解例例例例3 3 已知变量已知变量x，y满足约束条件满足约束条件
9、1xy4，2xy2.若目标函数若目标函数zaxy(其中其中a0)仅在点仅在点(3,1)处取得最大值，则处取得最大值，则a的取值范围为的取值范围为_【分分析析】解解答答本本题题可可先先作作出出可可行行域域，利利用用数数形形结合求解结合求解【解析解析】由约束条件作出可行域由约束条件作出可行域(如图如图)点点C的的坐坐标标为为(3,1)，z最最大大时时，即即平平移移yaxz时时使直线在使直线在y轴上的截距最大，轴上的截距最大，akCD，即，即a1，a1.【答案答案】a1【点评点评】解答此类问题必须要注意边界直线斜率与解答此类问题必须要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系目标函数斜率的关系题型四题型四
10、题型四题型四线性规划应用问题线性规划应用问题应用线性规划处理实际问题时应注意：应用线性规划处理实际问题时应注意：(1)求求解解实实际际问问题题时时，除除严严格格遵遵循循线线性性规规划划求求目目标标函函数数最最值值的的方方法法外外，还还应应考考虑虑实实际际意意义义的的约约束束，要要认认真真解解读读题题意意，仔仔细细推推敲敲并并挖挖掘掘相相关关条条件件，同同时时还还应应具具备备批批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美(2)处处理理实实际际问问题题时时，x0，y0常常被被忽忽略略，在在解解题题中中应应多加注意多加注意(3)在求最优解时，一般采用图解法求解在
11、求最优解时，一般采用图解法求解例例例例4 4 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐甲种原料每养餐甲种原料每10 g含含5单位蛋白质和单位蛋白质和10单位铁质，单位铁质，售价售价3元；乙种原料每元；乙种原料每10 g含含7单位蛋白质和单位蛋白质和4单位铁单位铁质，售价质，售价2元若病人每餐至少需要元若病人每餐至少需要35单位蛋白质单位蛋白质和和40单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？能既满足营养，又使费用最省？【分析分析】将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：原料原料/10 g蛋白蛋
12、白质质/单单位位铁质铁质/单单位位甲甲510乙乙74费费用用32设甲、乙两种原料分别用设甲、乙两种原料分别用10 x g和和10y g，则需要，则需要的费用为的费用为z3x2y；病人每餐至少需要；病人每餐至少需要35单位单位蛋白质，可表示为蛋白质，可表示为5x7y35；同理，对铁质的；同理，对铁质的要求可以表示为要求可以表示为10 x4y40，【点评点评】解决此类问题的关键是将问题的文字语解决此类问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，此题通过表格将数据进行整理，言转换成数学语言，此题通过表格将数据进行整理，使问题难度大大降低使问题难度大大降低变式训练变式训练变式训练变式训练3制制订订投投
13、资资计计划划时时，不不仅仅要要考考虑虑可可能能获获得得的的盈盈利利，而且要考虑可能出现的亏损而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、甲、乙项目可能的最大盈利率分别为乙项目可能的最大盈利率分别为100%和和50%，可能，可能的最大亏损率分别为的最大亏损率分别为30%和和10%.投资人计划投资金额投资人计划投资金额不超过不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？能使可能的盈利最大？规律方法总结规律方法总结1用用图图解解法法解解线线性性规规划划问问题题时时要要注注意意线线性性约约束束条条件件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念2在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，然后列出正确的属于约束条件，哪些与目标函数有关，然后列出正确的不等式组不等式组