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1、应用技术型高等教育“十二五”规划教材经济数学微积分 微 积 分 第一章 函数与极限一、集合一、集合二、函数二、函数第一节第一节 函数函数一、集合的概念1.1.集合集合(set):具有确定性质的对象的具有确定性质的对象的总体总体.组成集合的每一个对象称为该集合的组成集合的每一个对象称为该集合的元素元素.例如：太阳系的九大行星；例如：太阳系的九大行星；教室里的所有同学。教室里的所有同学。如果如果 a 是集合是集合 M 中的元素，则记作中的元素，则记作否则记作否则记作 由有限个元素组成的集合称为由有限个元素组成的集合称为有限集有限集由无限个元素组成的集合称为由无限个元素组成的集合称为无限集无限集2分
2、类：分类：3 3表示方法：表示方法：表示方法：表示方法：列举法列举法描述法描述法4.集合之间的关系集合之间的关系例如：例如：例如：例如：规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集5.数集分类数集分类:N 自然数集自然数集Z 整数集整数集Q 有理数集有理数集R 实数集实数集数集间的关系数集间的关系:正整数集正整数集 研究某一问题时所考虑的对象的全体研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，用称为全集，用 I 表示；把差集表示；把差集 I A 特别称为余特别称为余集或补集，记作集或补集，记作Ac .1.并集并集:2.交集交集:3.差集差
3、集:4.余集余集:二、集合的运算三、区间和邻域1.1.区间区间(interval):是指介于某两个实数之间的是指介于某两个实数之间的称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,全体实数全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.称为半闭半开区间称为半闭半开区间,称为半开半闭区间称为半开半闭区间,2.2.邻域邻域(neighborhood):点点 的去心的去心 邻域邻域把开区间把开区间称为称为a 的左的左邻域，邻域，把开区间把开区间称为称
4、为a 的右的右邻域，邻域，因变量因变量自变量自变量D 称为称为定义域定义域，记作记作Df，即，即 Df=D.函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域值域，记为：记为：四、函数的概念自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2.2.函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域定义域是使表达式有意义的自变量能取是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值的一切实数值.定义定义:如果自变量在定义如果自变量在定义域内任取一个数值时，域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做一个，这种函数叫做单单值函数值函数，否则叫做，否则
5、叫做多值多值函数函数是是多值函数多值函数 (1)符号函数符号函数3.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线显然显然:在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例综上，有综上，有:M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性(bounded)五、函数的几种特性2函数的奇偶性函数的奇偶
6、性(parity)偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x3函数的单调性函数的单调性(monotonicity)xyoxyo4函数的周期性函数的周期性(periodicity)（通常说周期函数的周期是指（通常说周期函数的周期是指最小正周期最小正周期）.六、反函数(inverse function)DWDW反函数反函数.定理（反函数存在定理）定理（反函数存在定理）：单调函数单调函数 f 必存在单调必存在单调的反函数的反函数，且此反函数与，且此反函数与 f 具有相同的单调性具有相同的单调性.例例解解反函数的相关视频8反函数18反函数28反函数38反函数4七、复合函数(compound fu
7、nction)定义定义:复合函数复合函数，其中其中例例因此能够形成复合函数因此能够形成复合函数注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合构成.幂函数幂函数八、八、初等函数初等函数指数(exponential function)和对数函数指数函数指数函数 对数函数对数函数正弦函数正弦函数三角函数三角函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数 反三角函数反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反
8、三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.由常数和基本由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为数，称为初等函数初等函数.九、九、常见的经济函数常见的经济函数一、需求函数一、需求函数 如果价格是决定需求量的最主要因素，如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是 P的函数。记作的函数。记作则则 f 称为称为需求函数需求函数.二、供给函数二、供给函数 如果价格是决定供给量的最主要因素，如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是
9、P 的函数。记作的函数。记作则则 G称为称为供给函数供给函数.一般地，供给函数可以用以下简单一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：函数近似代替：线性函数：线性函数：幂函数：幂函数：指数函数：指数函数：在同一个坐标系中作出需求曲线在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供给曲线和供给曲线 S，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格为供需平衡价格.E供需平衡点供需平衡点供需平供需平衡价格衡价格三、市场均衡三、市场均衡四、成本函数四、成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额
10、，各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成它由固定成本与可变成本两部分组成.支付固定生产支付固定生产要素的费用要素的费用支付可变生产支付可变生产要素的费用要素的费用五、收益函数五、收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入的全部收入.用用 Q 表示出售的产品数量，表示出售的产品数量，R 表表示总收益示总收益,表示平均收益，则表示平均收益，则如果产品价格如果产品价格 P 保持不变，则保持不变，则成本、收益、利润函数公开课 视频成本、收益、利润函数1 视频视频成本、收益、利润函数成本、收益、利润函数2 视频成本、收益、利润
11、函数3 第一章第一章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 “一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”庄周庄周1.1.引例：截丈问题引例：截丈问题 第一天截剩下的部分 第二天截剩下的部分 第 n 天截剩下的部分 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 称为无穷数列，简称数列数列。其中的每个数称为数列的项，按自然数 称为通项(一般项)。如 一般项这个引例反映了数列的某种特性：对数列 无限的接近这个常数 a，a 称为其极限，如果存在某个常数 a，当 n 无限增大时
12、，2.2.数列的定义数列的定义 编号依次排列的一列数 数列记为 否则称为发散数列。则称这个数列为收敛数列，如 一般项 一般项 一般项 一般项 收敛到 0收敛到1发散 发散 收敛数列的特性特性：无限地接近无限地接近某个常数 a 随 n 的无限增大，3.3.数列的变化趋势数列的变化趋势极限极限 观察数列 时的变化趋势 当 播放播放播放播放观察数列 时的变化趋势 当 通过对演示的观察，得 当 n 无限增大时，无限接近于1。两个数 a 和 b 之间的接近程度可以用两数之差的绝对值 来度量 给定 由 只要 有 给定 由 只要 有 给定 由 只要 有 给定 只要 有 定义：定义：设 为一数列，如果存在常数
13、 a，对于任意 记 或 或者称数列 收敛于a.给定的正数 (不论它多么小)，总存在正整数 N，使得当 时，则称 a 是数列 的极限，使 时，证明 欲使 即使 只要 因此，取 则 时,有 故 证明数列的极限为1.例例1 1 已知 思考：思考：取 可不可以？成立 成立，即可。成立。注意注意 （1）的作用在于衡量 与 a 的接近程度，只要求 （2）一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3）也可用 代替，N 时,有故亦即例例2 2 设 的极限为 0.即 因此，取 1.1.收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性定理定理1 1 收敛数列的极限唯一。二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 2.2.收敛数
14、列的有界性收敛数列的有界性有界性有界性 否则无界。有界，无界定理定理2 2 收敛数列一定有界。使对一切有界 成立，则如注意注意 收敛必有界，发散不一定无界无界必发散，有界不一定收敛，虽有界但不收敛数列3.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性如果 且则当 时，定理定理3 3 且则推论：推论：如果从某项起 且极限是a。定理定理4 4 如果数列收敛于 a，则其任一子数列也收敛，注意注意 如果数列 有两个子数列收敛于不同极限，发散。则 证明数列 发散的方法：a.定义 c.找到的一个发散子列 d.找到的两个有不同 4.4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系 子列：子列：在数列中任意抽取无限多项
15、并保持其在原数列中的 如 都是其子列 先后次序，这样得到的数列称为原数列的子数列(或子列)。b.无界必发散 极限的子列 1.数列极限的两种定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限小结小结 练习：P24 1;3.3。证明 时,就有存在则当即反例：原数列发散 第一章第一章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第三节第三节 函数的极限函数的极限一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质 问题的引入问题的引入 对应函数值 无限接近于确定的数 a.即当 时，而数列极限 如果自变量可以取全体实数 函数 当自变量在某一变化趋势
16、下的极限 一、函数极限的定义一、函数极限的定义 13分两种情况讨论：1.1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 如果 函数 则称记作 时的极限,A 为函数当定义1 设函数 无限增大时,当 或 无限接近确定的常数A ，如 直线 y0 是 的水平渐近线。则 yC 是 的水平渐近线。一般的，如果 2.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 (1)(1)如果 时，就说 A 是 当 时的极限。包含两层意思两层意思：用 表示 是指 可以任意小，这是在 的过程中实现的，所对应的函数值满足 即与 充分接近的 x 而这些 x 必在 的某邻域内，用 表示，与在 处 是否
17、有定义或有定义而 是多少没有关系。即当时，成立，就说 A 是 当 时的极限 定义定义2 2 则称常数 A 为函数当时的极限,或记作即在点设的某去心邻域内有定义，时,有当时,有当如果在处是否有定义或有定义时是多少 当 时的变化趋势,注意注意 几何解释：不影响 例例1 1 证明 解：当 时，成立，所以 要使 需要 (2)(2)单侧极限单侧极限 有些函数在定义域内某些点两侧表达式不同，如 而有些函数仅在定义域内某点一侧有定义 这时只能单侧的讨论极限，如上例。的左侧无限接近于 则称 A 为函数如果 当 无限接近确定的常数A ，左极限：左极限：时的左极限 当右极限：右极限：注意注意 存在 定义 常用于判
18、定分段点 处的极限 例例4 4 求 求 解：1.1.唯一性唯一性 2.2.局部有界性局部有界性 则 使 3.3.局部保号性局部保号性 如果 使 或 则 或 且 如果 如果 存在，则唯一。推论推论 若在 或且 或则 二、函数极限的性质二、函数极限的性质 时，时，内，1.唯一性 2.局部有界性3.局部保号性小结小结 1.自变量趋于有限值时函数的极限 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 极限的相关公开课81.极限的概念82.极限例题83.极限例题 第一章第一章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小
19、一、无穷小二、无穷大二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系当 定义定义1 若时,函数则称函数例如：函数 当 时为无穷小;函数 时为无穷小;数列 当 为 时的无穷小无穷小.时为无穷小.一、无穷小一、无穷小 说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为 当时,显然 C 只能是 0!CC其中 为时的无穷小量.定理定理 1 (无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系)定义定义2 若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对 若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在 二、无穷大二、无穷大 1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一
20、种状态.2.函数为无穷大,必定无界.例如例如,函数但 不是无穷大!但反之不真!注意注意:若 则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明说明:若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2 在自变量的同一变化过程中,说明说明:三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 性质性质1 有限个无穷小的和仍是无穷小.四、无穷小、无穷大的运算法则四、无穷小、无穷大的运算法则 性质性质2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.推论推论 1 常数与无穷小的乘积仍是无穷小.性质性质3 有限个无穷小的乘积仍是无穷小.有限个无穷大的和仍是无穷大.无限
21、个无穷小的和仍是无穷小.如如如如有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大.如如常数与无穷大的乘积仍是无穷大.非零有限个无穷大的乘积仍是无穷大.例例 求求解：利用定理 2 可知说明说明:y=0 是 的渐近线.1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 Th13.无穷小与无穷大的关系 Th2小结小结 第一章第一章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第五节第五节 极限运算法则极限运算法则 一、函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则二、数列的极限运算法则二、数列的极限运算法则则有定理定理 1 若 一、函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则 （3）若 B0,则 （1）（2）例例2例
22、例3注意：都存在时才可以用此法则，型需变换 如 说明说明:定理 3 中的（1）（2）可推广到有限个函数的情形.推论推论 1 (C 为常数)推论推论 2 (n 为正整数)设则 其中都是 多项式,则说明说明:若不能直接用商的运算法则.若 设有分式函数 （1）有理函数的极限）有理函数的极限 x=0 时分母不为0!例例4 x=3 时分母为 0!例例5（2）分解因式约分法）分解因式约分法 x=1时为!例例6例例7 求求解:x 时,分母 ,分子,（3）生成无穷小量法）生成无穷小量法分子分母同除以一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)例例11 求求解:原式（4）根式有理化法）根式有理化法例例11 求求
23、解:（5）利用无穷小与有界函乘积仍为无穷小求极限）利用无穷小与有界函乘积仍为无穷小求极限设且 x 满足时,又 则有定理定理3 （复合函数的极限运算法则）（复合函数的极限运算法则）说明说明:若定理中若定理中则类似可得例例14 求求解解:令 原式=内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)函数极限的运算法则(3)数列的极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.问2.2.求求3.3.试确定常数试确定常数 a a 使使2.求求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=3.试确定常数试确定常数 a 使使解解:令则故因此