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1、1 1单因素方差分析培训单因素方差分析培训培训时间：2012年5月培训部门：生产运营部2021/9/272 2什么是方差什么是方差?方差是各个数据与平均数之差的平方和的平方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数均数,即：即：s=(x1-x)+(x2-x)+.+(xn-x)s=(x1-x)+(x2-x)+.+(xn-x)】/n/n其中，其中，xx样本的平均数，样本的平均数，n n样本的数量，样本的数量，xn xn个体；个体；s s方差。方差。方差反映方差反映的是数据的是数据的离散度的离散度2222021/9/273 3方差意义方差意义 方差也是比较数据的一个非常有用的工具，比较两组数据大小一般
2、用平均数，但是有的时候平均数不能非常准确的表示数据。例：有现在有六只鸡，每三只一组，每组鸡的重量为：第一组：2.5，3，3.5 第二组：1，3，5 两组鸡重量的平均数是一样的，但是这两组鸡却有明显的差别，这是平均数就不能体现二者的差别，所以我们引入了方差的概念。2021/9/274 4什么是方差分析什么是方差分析(ANOVA)?(ANOVA)?1.检验多个总体均值是否相等通过分析观察数据的误差判断各总体均值是否相等2.是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量.一个或多个分类尺度的自变量2个或多个(k 个)处理水平或分类2021/9/275 5什么是方差分析
3、什么是方差分析?(例题分析例题分析)消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造业家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】【例】【例】【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共者对总共2323家企业投诉的次数如下表家企业投诉的次数如下表2021/9/276 6什么是方差分
4、析什么是方差分析?(例题分析例题分析)1.分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等3.如果它们的均值相等，就意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；如果均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异2021/9/277 7方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语1.因素或因子(factor)：所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子2.水平或处理(treatment)：因子的不同表现零
5、售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平3.观察值：在每个因素水平下得到的样本值每个行业被投诉的次数就是观察值2021/9/278 8方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语1.试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验2.总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体3.样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据2021/9/279 9方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(图形分析图形分析)零售业 旅游业 航空公司 家电制造2021/9/2711111.仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业
6、被投诉的次数之间有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析之所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等（不仅是数量层面的相等）。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差体现的是一组数据的离散度方差体现的是一组数据的离散度2021/9/271313方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(两类误差两类误差)1.1.随机误差随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各
7、观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差随机误差 2.2.系统误差系统误差因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 如：不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差系统误差2021/9/271414方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(两类方差两类方差)1.组内方差(within groups):MSE因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含随机误差随机误差
8、2.组间方差(between groups)：MSA因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组间方差既包括随机误差随机误差，也包括系统误差系统误差结合计算实例结合计算实例2021/9/271515方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(F(F检验：方差的比较检验：方差的比较)1.若不同不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。F F =MSA MSA/MSE MSE 1 12.若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差。F F =MSA MSA/MSE MSE 113.当这个比值大到
9、某种程度（临界值Fa）时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响2021/9/271616方差分析的基本假定方差分析的基本假定1.每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布2.各个总体的方差必须相同 需进行方差齐性检验各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等3.观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立2021/9/271717F(X)-3-2-2 368.26%95.45%99.73%X正态分布图正态分布特点正态分布特
10、点2021/9/271818方差分析中基本假定方差分析中基本假定 如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3=m4四个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同 一正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 2021/9/271919方差分析中基本假定方差分析中基本假定若备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X)3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2021/9/272
11、020问题的一般提法问题的一般提法1.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 1、2 2、k k 表示2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：原假设原假设H H0 0:1 1 2 2 k k 备择假设备择假设H H1 1:1 1,2 2,，k k 不全相等不全相等3.设 1 1为零售业被投诉次数的均值，2 2为旅游业被投诉次数的均值，3 3为航空公司被投诉次数的均值，4 4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为 H H0 0:1 1 2 2 3 3 4 4 H H1 1:1 1,2 2,3 3,4 4 不全相等不全相等2021/9/272121单因素方差分析一一.数
12、据结构数据结构二二.分析步骤分析步骤三三.关系强度的测量关系强度的测量四四.用用Excel进行方差分析进行方差分析2021/9/272222单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构(one-way analysis of variance)(one-way analysis of variance)观察值观察值(j j)因素因素(A A)i i 水平水平A A1 1 水平水平A A2 2 水平水平A Ak k1 12 2:n n x x11 11 x x21 21 x xk1k1 x x12 12 x x22 22 x xk2k2 :x x1n1n x x2n 2n x xknkn20
13、21/9/272323分析步骤：分析步骤：提出假设提出假设构造检验统计量构造检验统计量统计决策统计决策2021/9/272424提出假设提出假设1.一般提法原假设：H0:m1=m2=mk 自变量对因变量没有显著影响 备择假设：H1:m1，m2，mk不全相等 自变量对因变量有显著影响 2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等 2021/9/272525构造检验的统计量构造检验的统计量构造统计量需要计算:水平的均值（组均值）全部观察值的总均值误差平方和 总误差平方和=组内平方和+组间平方和均方(MS)：组内方差、组间方差 结合实例计结合实例计算演练讲解算
14、演练讲解2021/9/272626构造检验的统计量构造检验的统计量(计算水平的均值计算水平的均值)1.假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数2.计算公式为 式中：式中：n ni i为第为第 i i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数 x xij ij 为第为第 i i 个总体的第个总体的第 j j 个观察值个观察值 2021/9/272727构造检验的统计量构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值计算全部观察值的总均值)1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为 2021/9/272828构造检验的统
15、计量构造检验的统计量(例题分析例题分析)2021/9/272929构造检验的统计量构造检验的统计量(计算总误差平方和计算总误差平方和 SSTSST)1.全部观察值 与总平均值 的离差平方和2.反映全部观察值的离散状况3.其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SST SST=(57-47.869565)=(57-47.869565)2 2+(58-47.869565)(58-47.869565)2 2 =115.9295 =115.92952021/9/273030构造检验的统计量构造检验的统计量(计算水平项平方和计算水平项平方和 SSASSA)1.各组平均值 与总平均值 的离差平方和2
16、.反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSA SSA=1456.608696=1456.6086962021/9/273131构造检验的统计量构造检验的统计量(计算误差项平方和计算误差项平方和 SSESSE)1.每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和2.反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和3.该平方和反映的是随机误差的大小4.计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSE SSE=2708=27082021/9/273232构造检验的统计量构造检验的统计量(三个平方和
17、的关系三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系SST=SSA+SSE 前例的计算结果：前例的计算结果：4164.608696=1456.608696+2708 4164.608696=1456.608696+2708 2021/9/273333构造检验的统计量构造检验的统计量(三个平方和的作用三个平方和的作用)SST SST：反映全部数据总的误差程度；SSE SSE：反映随机误差的大小；SSA SSA：反映随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，则表明没有系统误差，SSA除以自由度后的均均方方与组内平方和SSE和除以自由度后的
18、均均方方差异就不会太大；如果组组间间均均方方显著地大于组组内内均均方方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差组间方差与组内方差组内方差之间差异的大小2021/9/273434构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方MSMS)1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方均方，又称又称方差方差。2.计算方法：是用误差平方和除以相应的自由度3.三个平方和对应的自由度分别是SST SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA SSA 的自由
19、度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE SSE 的自由度为n-k2021/9/273535构造检验的统计量构造检验的统计量(计算均方计算均方 MSMS)1.1.组间方差：组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为2.2.组组内内方方差差：SSE的均方，记为MSE，计算公式为2021/9/273636构造检验的统计量构造检验的统计量(计算检验统计量计算检验统计量 F F)1.将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F2.当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 随即误差随即误差+系统误差系统误差 随即误差随即误差 2021/9
20、/273737构造检验的统计量构造检验的统计量(F F分布与拒绝域分布与拒绝域)如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，F F F F F F=MSAMSAMSAMSAMSAMSA/MSEMSEMSEMSEMSEMSE1 1 1 1 1 1 F F 分布分布F(k-1,n-k)0 0拒绝拒绝拒绝拒绝H H H H0 0 0 0不拒绝不拒绝不拒绝不拒绝H H H H0 0 0 0F F：显著性水平：显著性水平2021/9/273838统计决策统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分
21、布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若F F F F ，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FFFF ，则不拒绝原假设H0，不能认为所检验的因素对观察值有显著影响 2021/9/273939单因素方差分析表单因素方差分析表(基本结构基本结构)2021/9/274040单因素方差分析单因素方差分析(例题分析例题分析)2021/9/274141用用ExcelExcel进行方差分析进行方差分析2021/9/274242用用ExcelExcel进行方差分析进行方差分析 第第1 1步：步：选择“工具工具”下拉菜单第第2
22、 2步：步：选择“数据分析数据分析”选项第第3 3步：步：在分析工具中选择“单因素方差分析单因素方差分析”，然 后选择“确定确定”第第4 4步：步：当对话框出现时 在“输入区域输入区域”方框内键入数据单元格区域 在方框内键入0.05（可根据需要确定）在“输出选项输出选项”中选择输出区域用用ExcelExcel进行方差分析进行方差分析2021/9/274343单因素方差分析的进一步分析单因素方差分析的进一步分析方差方差方差方差齐齐性分析性分析性分析性分析多重比多重比多重比多重比较检验较检验是对控制变量不同水平下各观测变是对控制变量不同水平下各观测变量总体方差是否相等进行检验。满量总体方差是否相等进行检验。满足方差齐性是方差分析的前提足方差齐性是方差分析的前提。经分析如果控制变量确实对观测经分析如果控制变量确实对观测变量产生了显著影响，需进一步变量产生了显著影响，需进一步确定控制变量的不同水平对观测确定控制变量的不同水平对观测变量的影响程度如何变量的影响程度如何 下次例会分享下次例会分享2021/9/274444谢谢！谢谢！2021/9/27