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1、正弦余弦函数的正弦余弦函数的图象和性象和性质 奇偶性奇偶性及及对称性称性2021/8/7 星期六1问题：它们的图像有什么特征？问题：它们的图像有什么特征？观察正余弦函数的图像正弦函数的图像余弦函数的图像2021/8/7 星期六2 若从正弦函数上任取一点 ，即 ，其关于原点的对称点 ，即 ，由诱导公式 知这个点也在正弦函数的图像上。这说明什么？这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。即正弦函数关于原点对称。2021/8/7 星期六3 一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 都有 ,则称 为这一定义域内的奇函数。据此可知，上述正弦函数是奇函数。关于原点对称的函
2、数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称。正弦函数是这样的。那大家思考一下，余弦函数是否如此呢？2021/8/7 星期六4点 ，即 ，由诱导公式任取一点 ，即 ，其关于y轴的对称请观察余弦函数的图像回答。分析：设，从余弦函数的图像上知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？这说明若将余弦曲线延着 y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合，即余弦曲线关于y轴对称。2021/8/7 星期六5 我们通过学过的知识知道：关于y轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于y轴对称。余弦函数是这样的。从上面的分析知道，正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性。一般地，如果对于函数 的定义
3、域内的任意一个 ，都有 则称 为这一定义域内的偶函数。据此可知，上述余弦函数是偶函数。2021/8/7 星期六6正弦函数的对称性正弦函数的对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形性质1有无数条对称轴，其方程为性质2有无数个对称中心，其坐标为2021/8/7 星期六7余弦函数的对称性余弦函数的对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形性质1有无数条对称轴，其方程为性质2有无数个对称中心，其坐标为余弦函数的图像2021/8/7 星期六8 应应 用用 例.根据定义判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x+2sinx xR (2)f(x)=x2-c
4、osx xR (5)xR(3)f(x)=1+sinx xR (4)f(x)=0 xR2021/8/7 星期六9总结总结:1.判断函数奇偶性的步骤:（1）先判断定义域是否关于原点对称判断定义域是否关于原点对称,（2）然后判断）然后判断f(-x)与与f(x)的关系的关系（3)下结论下结论2.函数按其奇偶性可分为:奇函数奇函数,偶函数偶函数,非奇非偶函数非奇非偶函数,既奇又偶函数既奇又偶函数 4种种2021/8/7 星期六10能力提高能力提高:例2.判断下列函数的奇偶性判断较复杂的函数时,要先化简再用定义判断奇偶性2021/8/7 星期六11例例3 3 已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R 上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0 x0时时,求当求当 时，时，f(x)f(x)的解析式的解析式例例5 5 设设对称对称求求a a的值的值例例4 4 已知已知f(x)=ax+bsin3x+1(a,bf(x)=ax+bsin3x+1(a,b为常数为常数),),且且f(5)=7,f(5)=7,求求f(-5)f(-5)的图象的图象2021/8/7 星期六12思考题（选做）思考题（选做）关于 的方程 在 内有两不等实数解 ，求实数 的取值范围和 的值作业作业判断下列函数的奇偶性试判断函数在下列区间上的奇偶性2021/8/7 星期六132021/8/7 星期六14152021/8/7 星期六