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1、数据分布的特征和测度峰峰峰峰峰峰 度度度度度度偏偏偏偏偏偏 态态态态态态数据的特征和测度数据的特征和测度分布的形状分布的形状集中趋势集中趋势离散程度离散程度众众众众众众 数数数数数数中位数中位数中位数中位数中位数中位数变异系数变异系数变异系数变异系数变异系数变异系数方差和标准差方差和标准差方差和标准差方差和标准差方差和标准差方差和标准差四分位差四分位差四分位差四分位差四分位差四分位差异众比率异众比率异众比率异众比率异众比率异众比率 位置位置位置位置位置位置平均数平均数平均数平均数平均数平均数数值数值数值数值数值数值平均数平均数平均数平均数平均数平均数算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数算术
2、平均数算术平均数调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数数据集中趋势 算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数 中位数及四分位数中位数及四分位数 众数众数算术平均数(概念要点)n n集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一n n最常用的测度值最常用的测度值n n一组数据的均衡点所在一组数据的均衡点所在n n易受极端值的影响易受极端值的影响算术平均数(计算公式)设一组数据为：设一组数据为：设一组数据为：设一组数据为：简洁算术平均值的计算公式为简洁算术平均值的计算公式为简洁算术平均值的计算公式为
3、简洁算术平均值的计算公式为设分组后的数据为：设分组后的数据为：设分组后的数据为：设分组后的数据为：相应的频数为：相应的频数为：相应的频数为：相应的频数为：加权算术平均值加权算术平均值加权算术平均值加权算术平均值的计算公式为的计算公式为的计算公式为的计算公式为简洁算术平均数(算例)原始数据原始数据:10591368加权算术平均数（算例）【例例4.1】设某企业经理付给他的雇员的每设某企业经理付给他的雇员的每小时工资分为三个等级：小时工资分为三个等级：6.5元、元、7.5元、元、8.5元。拿这三种工资的人数分别为：元。拿这三种工资的人数分别为：14人、人、10人、人、2人人，则该公司雇员的平均工，则
4、该公司雇员的平均工资为：资为：加权算术平均数（分组数据算例）表表表表4 4-1 1 某车间某车间某车间某车间5050名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表名工人日加工零件均值计算表按零件数分组按零件数分组按零件数分组按零件数分组组中值（组中值（组中值（组中值（X Xi i）频数（频数（频数（频数（f fi i）X Xi if fi i105105 110110110110 115115115115 120120120120125125125125 130130130130 135135135135 140140107.5107.5112.5112.511
5、7.5117.5122.5122.5127.5127.5132.5132.5137.5137.53 35 58 8141410106 64 4322.5322.5562.5562.5940.0940.01715.01715.01275.01275.0795.0795.0550.0550.0合计合计合计合计50506160.06160.0【例例例例4.24.2】依依依依据据据据表表表表4-14-1中中中中的的的的数数数数据据据据，计计计计算算算算50 50 名名名名工工工工人人人人日日日日加加加加工工工工零件数的均值零件数的均值零件数的均值零件数的均值算术平均数的数学性质1.各变量值与均值的离差
6、之和等于零各变量值与均值的离差之和等于零2.各变量值与均值的离差平方和最小各变量值与均值的离差平方和最小几何平均数(概念要点)n n1.1.集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一n n2.2.主要用于计算平均比率及平均发展速度主要用于计算平均比率及平均发展速度主要用于计算平均比率及平均发展速度主要用于计算平均比率及平均发展速度n n3.3.计算公式为计算公式为计算公式为计算公式为n n简洁几何平均数简洁几何平均数简洁几何平均数简洁几何平均数n n加权几何平均数加权几何平均数加权几何平均数加权几何平均数n n4.4.数据都为正数时才可计算几何平均数数据都
7、为正数时才可计算几何平均数数据都为正数时才可计算几何平均数数据都为正数时才可计算几何平均数n n 5 5.可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形几何平均数(算例)【例例4.3】设设某某建建筑筑公公司司承承建建的的四四项项工工程程的的利利润润分分别别为为3%、2%、4%、6%。问这四项工程的平均利润率是多少？问这四项工程的平均利润率是多少？几何平均数(算例)【例例例例4 4.4 4】一一一一位位位位投投投投资资资资者者者者持持持持有有有有一一一一种种种种股股股股票票票票，19961996年年年年、19971997年年年年、19981998年年年年
8、和和和和19991999年年年年收收收收益益益益率率率率分分分分别别别别为为为为4.5%4.5%、2.0%2.0%、3.5%3.5%、5.4%5.4%。计计计计算算算算该该该该投投投投资者在这四年内的平均收益率。资者在这四年内的平均收益率。资者在这四年内的平均收益率。资者在这四年内的平均收益率。平均收益率平均收益率103.84%-1=3.84%103.84%-1=3.84%几何平均数(算例)【例例4.5】设某银行有一笔设某银行有一笔设某银行有一笔设某银行有一笔2020年的长期投资，其年的长期投资，其年的长期投资，其年的长期投资，其利率是按复利计算的，有利率是按复利计算的，有利率是按复利计算的，
9、有利率是按复利计算的，有1 1年为年为年为年为2.5%2.5%，有，有，有，有3 3年为年为年为年为 3%3%，有，有，有，有5 5年为年为年为年为6%6%，有，有，有，有8 8年为年为年为年为9%9%，有，有，有，有2 2年为年为年为年为12%,12%,有有有有1 1年为年为年为年为5%5%，求平均年利率。，求平均年利率。，求平均年利率。，求平均年利率。调和平均数(概念要点)n n集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一n n均值的另一种表现形式均值的另一种表现形式均值的另一种表现形式均值的另一种表现形式n n易受极端值的影响易受极端值的影响易受极端值
10、的影响易受极端值的影响n n计算公式为计算公式为计算公式为计算公式为n n简洁调和平均数简洁调和平均数简洁调和平均数简洁调和平均数n n加权调和平均数加权调和平均数加权调和平均数加权调和平均数调和平均数(说明）加权调和平均加权调和平均加权调和平均加权调和平均调和平均数(算例)【例例4.6】某人开车，前某人开车，前10公里以时速公里以时速50公里驾驶，后公里驾驶，后10公里以时速公里以时速30公里驾驶。公里驾驶。则此人跑这则此人跑这20公里的平均时速为：公里的平均时速为：【例例例例4 4.7 7】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25（x2），晚上0.20（x3），若某人早、中、晚
11、分别购买的金额是1元（m1）、2元（m2）、3元（m3），求平均价格。解：平均价格=总金额/总数量 调和平均数(算例)【例例例例4 4.8 8】某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25（x2），晚上0.20（x3），若某人早、中、晚分别买2.5斤（f1）、8斤（f2）、15斤（f3），求平均价格。解：平均价格=总金额/总数量 调和平均数与算术平均数的区分中位数(概念要点)1.1.集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一2.2.排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值MMd d50%50%
12、3.3.不受极端值的影响不受极端值的影响不受极端值的影响不受极端值的影响4.4.各变量值与中位数的离差确定值之和最小，即各变量值与中位数的离差确定值之和最小，即各变量值与中位数的离差确定值之和最小，即各变量值与中位数的离差确定值之和最小，即中位数(位置的确定)未分组数据：未分组数据：中位数位置中位数位置组距分组数据：组距分组数据：2f中位数位置中位数位置未分组数据的中位数(计算公式)数值型未分组数据的中位数(5个数据的算例)n n原始数据原始数据:24 22 21 26 20n n排排 序序:20 21 22 24 26n n位位 置置:1 2 3 4 5中位数中位数 22数值型未分组数据的中
13、位数(6个数据的算例)n n原始数据原始数据:10 5 9 12 6 8n n排排 序序:5 6 8 9 10 12n n位位 置置:1 2 3 4 5 6 位置位置=中位数中位数 8+928.51.1.依据位置公式确定中位数所在的组，设落依据位置公式确定中位数所在的组，设落入第入第 组组2.2.接受下列近似公式计算接受下列近似公式计算数值型分组数据的中位数(要点及计算公式)数值型分组数据的中位数(算例)表表表表4 4-2 2 某车间某车间某车间某车间5050名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组按零件数分组按零
14、件数分组频数（人）频数（人）频数（人）频数（人）累积频数累积频数累积频数累积频数105105 110110110110 115115115115 120120120120 125125125125 130130130130 135135135135 1401403 35 58 8141410106 64 43 38 816163030404046465050合计合计合计合计5050【例例例例4.94.9】依依依依 据据据据 第第第第 三三三三章章章章表表表表3-33-3中中中中的的的的 数数数数 据据据据，计计计计算算算算50 50 名名名名工工工工 人人人人 日日日日 加加加加工工工工 零零
15、零零 件件件件 数数数数的中位数的中位数的中位数的中位数四分位数(概念要点)n n1.1.集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一n n2.2.排序后处于排序后处于25%25%和和75%75%位置上的值位置上的值n n3.3.不受极端值的影响不受极端值的影响QQL LQQMMQQU U25%25%25%25%四分位数(位置的确定)未分组数据：未分组数据：组距分组数据：组距分组数据：下四分位数下四分位数下四分位数下四分位数(QQL L)位置位置位置位置 =n+n+1 14 4上四分位数上四分位数上四分位数上四分位数(QQU U)位置位置位置位置 =3(3(n+n+1)1)4 4下四分位数下四分位
16、数下四分位数下四分位数(QQL L)位置位置位置位置 =f f4 4上四分位数上四分位数上四分位数上四分位数(QQu u)位置位置位置位置 =33f f4 4数值型未分组数据的四分位数(7个数据的算例)n n原始数据原始数据原始数据原始数据:23 2123 21 30 32 30 32 28 25 2628 25 26n n排排排排 序序序序:21 21 23 23 25 26 28 25 26 28 3030 32 32n n位位位位 置置置置:1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 n+n+1 1QL=237+7+1 1QQL L位置位置 =4 4=4 4=2=2QQU U
17、位置位置 =3(3(n+n+1)1)4 43(73(7+1)1)4 4 =6=6QU=30数值型未分组数据的四分位数(6(6个数据的算例个数据的算例)n n原始数据原始数据原始数据原始数据:23 21 30 23 21 30 28 25 2628 25 26n n排排排排 序序序序:21 23 25 26 28 30 21 23 25 26 28 30n n位位位位 置置置置:1 2 3 1 2 3 4 4 5 6 5 6QQL L=（21+2321+23）/2/2 =2222QQL L位置位置 =n+n+1 14 4=6+6+1 14 4=1.75=1.75QQU U位置位置 =3(3(n+
18、n+1)1)4 43(63(6+1)1)4 4=5.25=5.25QQU U=（28+3028+30）/2/2 =2929数值型分组数据的四分位数(计算公式)n nn上四分位上四分位上四分位上四分位数数数数:n nn下四分位下四分位下四分位下四分位数数数数:上式仍是利用线性插值得到上式仍是利用线性插值得到数值型分组数据的四分位数(计算示例计算示例)n nQQL L位置位置位置位置50/450/412.512.5n nQQUU位置位置位置位置350/4350/437.537.5表表表表4 4-3 3 某车间某车间某车间某车间5050名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件
19、数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人）频数（人）频数（人）累积频数累积频数累积频数累积频数105105 110110110110 115115115115 120120120120 125125125125 130130130130 135135135135 1401403 35 58 8141410106 64 43 38 816163030404046465050合计合计合计合计5050【例例例例4.104.10】依依依依据据据据表表表表4-34-3中中中中的的的的数数数数据据据据，计计计计算算算算50 50 名工人日加工零件数
20、的四分位数。名工人日加工零件数的四分位数。名工人日加工零件数的四分位数。名工人日加工零件数的四分位数。众数(概念要点)1.集中趋势的测度值之一集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值：出现次数最多的变量值：一组数据分布的最高峰点一组数据分布的最高峰点一组数据分布的最高峰点一组数据分布的最高峰点 3.不受极端值的影响不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数可能没有众数或有几个众数众数(众数的不唯一性)无众数无众数原始数据:10 5 9 12 6 8一个众数一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据:25 28 28 36 42 42计算该企业该日全部工人日产
21、量的众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。日日日日产产产产量（件）量（件）量（件）量（件）工人数（人）工人数（人）工人数（人）工人数（人）1010101011111111121212121313131314141414合合合合计计计计70707070100100100100380380380380150150150150100100100100800800800800单值型数列的众数(算例)【例例例例4 4.1111】已知某企业某日工人的日产量资料如下已知某企业某日工人的日产量资料如下已知某企业某日工人的日产量资料如下
22、已知某企业某日工人的日产量资料如下:数值型分组数据的众数(要点及计算公式)1.1.众数的值与相邻两组频数的分布有关众数的值与相邻两组频数的分布有关众数的值与相邻两组频数的分布有关众数的值与相邻两组频数的分布有关4.4.该公式假定众数组的频数在众数组内匀整分布该公式假定众数组的频数在众数组内匀整分布该公式假定众数组的频数在众数组内匀整分布该公式假定众数组的频数在众数组内匀整分布2.2.2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值相邻两组的频数相等时，众数组的组中值相邻两组的频数相等时，众数组的组中值相邻两组的频数相等时，众数组的组中值相邻两组的频数相等时，众数组的组中值相邻两组的频数相等时，众数组的
23、组中值即为众数即为众数即为众数即为众数即为众数即为众数M MMooo3.3.相邻两组的频数不相等时，众数接受下相邻两组的频数不相等时，众数接受下相邻两组的频数不相等时，众数接受下相邻两组的频数不相等时，众数接受下列近似公式计算列近似公式计算列近似公式计算列近似公式计算M MMoooM MMooo数值型分组数据的众数(算例)【例例4.12】某市公寓房租金的统计资料如下表4-4，试求房租金的众数表表表表4-4 4-4 4-4 4-4 某市公寓房屋租金某市公寓房屋租金某市公寓房屋租金某市公寓房屋租金资资资资料表料表料表料表每周租金（元）每周租金（元）每周租金（元）每周租金（元）房屋套数（套）房屋套数
24、（套）房屋套数（套）房屋套数（套）累累累累计计计计房屋套数（套）房屋套数（套）房屋套数（套）房屋套数（套）7.57.57.57.512.512.512.512.512.512.512.512.517.517.517.517.517.517.517.517.522.522.522.522.522.522.527.527.527.527.527.527.532.532.532.532.532.532.532.532.537.537.537.537.537.537.537.537.542.542.542.542.542.542.542.542.547.547.547.547.512121212262
25、6262645454545606037373737131313135 5 5 52 2 2 2121212123838383883838383143143180180180180193193193193198198198198200200200200众数、中位数和算术平均数的关系左（负）偏分布左（负）偏分布左（负）偏分布左（负）偏分布左（负）偏分布左（负）偏分布算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数众数众数右（正）偏分布右（正）偏分布右（正）偏分布右（正）偏分布右（正）偏分布右（正）偏分布众数众数众数众数众数众数 中
26、位数中位数中位数中位数中位数中位数 算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布 算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数=中位数中位数中位数中位数=众数众数众数众数注注:对称图形对称图形,重叠重叠左右偏时左右偏时,均值变更最快均值变更最快,中位值次之中位值次之,众值不变众值不变众数、中位数和算术平均数的阅历关系式 中位数大约位于均值与众数之间距离的1/3处，用关系式表示如下：从而可以利用均值、中位数、从数三者中的随意两个数值按以上公式推出另一个数值。众数、中位数和算术平均数的阅历关系式(算例)【例例例例4 4.1313】某车间生产的一批零件中，直径大于某车间生产的一批零件中，直径大于某车间生产的一批零件中，直径大于某车间生产的一批零件中，直径大于402402厘米的占一半，众数为厘米的占一半，众数为厘米的占一半，众数为厘米的占一半，众数为400400厘米，试估计其厘米，试估计其厘米，试估计其厘米，试估计其平均数，并判定其偏斜方向。平均数，并判定其偏斜方向。平均数，并判定其偏斜方向。平均数，并判定其偏斜方向。解解：已知：已知