《第二章---随机过程分析优秀PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章---随机过程分析优秀PPT.ppt（136页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、其次章其次章 随机过程随机过程主要内容主要内容1 1、随机过程的基本概念、随机过程的基本概念2 2、随机过程的统计特性、随机过程的统计特性3 3、平稳随机过程、平稳随机过程4 4、随机过程的各态历经性、随机过程的各态历经性5 5、平稳随机过程自相关函数的性质、平稳随机过程自相关函数的性质6 6、随机过程的联合概率分布和相互关、随机过程的联合概率分布和相互关函数函数7 7、正态随机过程、正态随机过程 2.1 2.1 随机过程的概念随机过程的概念 2.1.1 2.1.1 随机过程的定义随机过程的定义 例2.1 设有n台性能完全相同的雷达接收机，它们工作的条件也完全相同，图21是运用n台示波器记录的
2、各接收机输出的噪声电压。它们是n条噪声电压时间的函数。从中可看出，在相同条件下，雷达接收机输出的噪声波形是不相同的。图2-1-1 噪声电压的输出波形 定义定义1 1 设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为 ，假如，假如对于每一个样本对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定，总可以依某种规则确定一时间一时间t t的函数的函数 (T (T是时间是时间t t的变更范围的变更范围 )与之对应。于是，对于全部的与之对应。于是，对于全部的 来说，就来说，就得到一族时间得到一族时间t t的函数，称此族时间的函数为随的函数，称此族时间的函数为随机过程（也称随机信号）机过程（也称随机信号）X X，而族
3、中的每一个函，而族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。数称为该随机过程的样本函数。注：随机过程是样本函数的集合。图2-1-2 随机过程是样本函数的集合 定义定义2 2 假如对于每一固定的假如对于每一固定的 ，都是随机变量，则称都是随机变量，则称 是随机过程。是随机过程。注：样本函数注：样本函数 随机变量。随机变量。图2-1-3 随机过程是随机变量的集合 因此，随机过程有两种基本的表示方式：1、样本函数集合表示(定义1)2、随机变量集合表示(定义2)具有以下四种含义：1、若 和 都是变量，则随机过程是一族时间函数，即随机信号；2、若 是变量，而 是固定值，则随机过程是一个确定的时间函数，即样
4、本函数；3、若 是固定的，而 是变量，则随机过程是一个随机变量，即样本随机变量；4、若 和 都是固定值，则随机变量是一个确定值，即样本值。2.1.2、随机过程的分类、随机过程的分类2.22.2 随机过程的统计特征随机过程的统计特征随机过程的统计特征主要有：1、概率分布：概率密度函数，概率分布函数；2、数字特征：数学期望，均方值，方差，自相关函数，自协方差函数；3、特征函数：统计特征也可分为：1、幅值域描述:数学期望、方均值、方差、概率密度函数等；2、时间域描述:自相关函数、相互关函数；3、频率域描述:自功率谱密度函数、互功率谱密度函数；4、变换域描述：特征函数。2.2.1、随机过程的概率分布、
5、随机过程的概率分布 随机过程随机过程 ，在每一固定时刻，在每一固定时刻 ，和和 都是随机变量。都是随机变量。随机事务：随机事务：，发生概率：发生概率：，1、一维分布函数、一维分布函数 与与 和和 都有干脆的关系，是都有干脆的关系，是 和和 的的二元函数，记为：二元函数，记为：(2.2.1)被称为随机过程的一维分布函数。被称为随机过程的一维分布函数。2、一维概率密度函数、一维概率密度函数 假如存在二元函数假如存在二元函数 ，使，使 (2.2.2)成立成立,则称则称 为随机过程的一维概率密度函为随机过程的一维概率密度函数数,是是 和和 的二元函数，且满足的二元函数，且满足 (2.2.3)注：一维概
6、率分布描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。3、二维分布函数 与 ，和 都有干脆的关系，是 ，和 的四元函数，记为：(2.2.4)被称为随机过程的二维分布函数。4、二维概率密度函数假如存在四元函数 ，使 (2.2.5)成立,则称 为随机过程的二维概率密度函数，是 ，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)注：1、二维概率分布反映了随机过程在不同时刻的状态之间的统计特性；2、随机过程的二维概率分布与多维随机变量的二维概率分布所描述的物理概念是不相同的。随机过程的二维概率分布描述随机过程在不同时刻的状态之间的关系，二维随机变量的二维概率分布则描述不同变量之间的关系。5、n维分布函数和概率密度函数例
7、2.2 探讨贝努里随机过程 的一、二维概率特性。解：贝努里随机过程，在 时刻，独立地视察某个事务 发生与否，建立事务 的指示函数 且有概率 (2.2.7)设 ，单位步函数（阶跃函数）贝努里随机过程的一维概率分布函数 (2.2.8)一维概率密度函数 (2.2.9)贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其随机变量 是彼此统计独立的。因此，可得 (2.2.10)贝努里随机过程的二维概率分布函数是 (2.2.11)其中，是二维单位阶跃函数。(2.2.12)那么二维概率密度函数 (2.2.13)式中，(2.2.14)2.2.2、随机过程的数字特征随机过程的分布函数在事实上是很难获得的，甚至是不行能的。随机
8、过程（信号）的特征（或参数）在实际工作中运用得特别广泛。(1)正态随机过程由数学期望和相关函数具体描述。(2)困难背景下目标识别、跟踪所依靠的有效依据仍旧是目标在时间、空间的特征。图2-2-1 云层背景下的飞机 由随机过程的定义2，可知随机过程是随机变量集合：1、数学期望、数学期望(均值函数均值函数)随机过程随机过程 在随意时刻在随意时刻 的取值是一随机变量的取值是一随机变量 ，随机过程，随机过程 的数学期望的数学期望 或或 ，即，即 (2.2.15)数学期望数学期望 的取值与时刻的取值与时刻 是有干脆联系是有干脆联系的，是时刻的，是时刻 的函数。它是该随机过程在各的函数。它是该随机过程在各个
9、时刻的摇摆中心。个时刻的摇摆中心。图2-2-2 随机过程的数学期望2、均方值随机过程 在随意时刻 的取值是一随机变量 ，随机过程的均方值 或 ，即 (2.2.16)均方值 的取值与时刻 是有干脆联系的，是时刻 的函数。3、方差 随机过程 在随意时刻 的取值是一随机变量，称随机变量 的二阶中心矩为随机过程的方差 。(2.2.17)图2-2-3 随机过程的均方值、方差方差、均方值和均值有数学关系式：(2.2.18)方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤立的时间点上的统计特性。随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随机过程的起伏程度。图2-2-4 随机过
10、程的起伏程度图2-2-4 随机过程的起伏程度接受两时刻或更多时刻状态的相关性去描述随机过程的起伏程度。4、自相关函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的状态，称它们的二阶原点混合矩为随机过程 的自相关函数，记为 (2.2.19)自相关函数反映了随机过程 在两个不同时刻的状态之间的相关程度。5、自协方差函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的状态，称它们的二阶中心混合矩为随机过程 的自相关函数，记为 (2.2.20)自协方差函数反映了随机过程 在两个不同时刻的状态相对于数学均值之间的相关程度。自协方差函数、自相关函数与数学均值有数学关系式：(2.2.20)自相关系数 (2.2.21)(2
11、.2.22)在 ，。随机过程统计不相关 假如对于随意的 ，都有 ，则称该随机过程在随意两个时刻是不相关的。例2.3 若随机过程 为 式中，A为在0,1上匀整分布的随变量，求 的均值和相关函数。解 已知A的概率密度函数为则随机过程 的均值随机过程 的自相关函数 例2.4 求随机相位正弦波 的数学期望，方差及自相关函数。式中，为常数，是在区间 上匀整分布的随机变量。解 依据题意有 那么有 因为 (在区间 匀整分布)所以则方差 那么，自相关函数 例2.5 试证明:(1)若随机过程 加上确定的时间函数 ，则协方差不变。(2)若随机过程 乘以非随机过程因子 ，则协方差函数乘以积 。证：(1)设 ，即需证
12、 。因为 而中心化随机函数为 所以故得证。(2)设 ，即要证因为 而中心化随机函数为所以故得证。例2.6 求贝努里随机过程 的均值、自相关函数、协方差函数和相关系数。解 贝努里随机过程 的均值 在不同时刻 ，信号取值独立，则有 而在同一时刻 ，信号取值不独立，即取相同的值，则有 因此，自相关函数为贝努里随机过程 的协方差函数贝努里随机过程 的相关系数 图2-2-4 贝努里随机过程的均值，相关函数和自相关系数 (a)均值(b)相关与协方差函数(c)自相关系数2.32.3 平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的定义严平稳随机过程及其性质宽平稳随机过程及其性质图2-3-1 初相角随机的正弦信号 图2
13、-3-2 幅度随机的正弦信号 图2-3-3 频率随机的正弦信号 图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号 图2-3-5 云层背景下的飞机 2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函数、相关函数)，部分或全部在视察点或视察点组的位置变更时，保持不变或变更。在随机信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具有平稳或非平稳性。2.3.2 随机信号统计平稳性有多种状况：(1)对整个视察点位置 变更的平稳性；(2)对视察点中时间位置 变更的时间平稳性；(3)对视察点空间位置 变更的平稳性；(4)对视察点中空间位置的部分坐标变更的平 稳性。2.3.3 平稳随机过程的分类2.3.4 严平稳随机过程 1、
14、定义 设有随机过程 ，若它的 维概率密度函数（或 维分布函数）不随时间起点选择的不同而变更，即对于任何的 和 ，过程 的 维概率密度函数 （2.3.1）则称为严(格)平稳随机过程，或称窄平稳随机过程或狭义平稳过程。2、实际的严平稳过程 一个工作在稳定状态下的接收机输出的噪声电压 是一个严平稳过程。噪声电压 实质上反映电子热运动的猛烈程度。电子热运动程度则取决于接收机的工作温度T；一旦接收机稳定工作，其工作温度也相对稳定，则噪声电压 严格平稳。确定随机信号的主要物理条件不变3、主要性质(1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关。证明 令 ，则一维概率密度函数 得证。(2)、若 是
15、严平稳随机过程，则它的均值、均方值和方差都是与时间无关的常数。证明：依据题意有 (2.3.2)(2.3.3)(2.3.4)(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、均方值和方差都是与时间无关的常数。证明：依据题意有严平稳随机过程的全部样本曲线都是在同一水平直线四周随机地波动。图2-3-6 严平稳随机过程(3)严平稳随机过程 的二维概率密度函数只与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时间起点无关。证明：令 ，则随机过程的二维概率密度函数 (2.3.5)式中，。(4)严平稳随机过程 的自相关函数和协方差函数只与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时间起点无关。证明：依据题意，则随机过程的自相关函数 (
16、2.3.6)式中，。例2.7 设有随机过程 随意时刻的随机变量是高斯的，有概率密度函数 若其随意视察时刻组的随机变量是相互独立的，试推断 是否为严平稳过程。解：在随意n个时刻 ，随机过程的n个随机变量是相互独立的，即 明显，的随意n阶概率密度函数对视察点时刻组 是平稳的。所以 是严平稳随机过程。例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯随机变量，为确定的时间函数。试推断 是否为严平稳过程。解：已知A的概率密度函数 在固定的时刻，为常数。是随机变量A的线性变更，仍为高斯分布。当 变更时，的数学期望 和方差 均与时间有关。因此，一维概率密度函数也与时间有关，不是严平稳过程。2.3.5 宽平稳随机过程探
17、讨随机过程的概率密度函数的统计特性是很困难的；随机过程一、二阶矩函数在确定程度上描述了随机过程的一些重要特性。(1)噪声电压是一平稳过程 ，那么一、二阶矩函数，就是噪声平均功率的直流重量、沟通重量、总平均功率等参数。(2)正态随机过程由数学期望和相关函数具体描述。1 定义 若随机过程 满足 (2.3.7)则称 为宽平稳随机过程或广义平稳过程。2、主要性质(1)随机信号的严格平稳性与广义平稳性之间有关系(2)严格平稳 广义平稳(3)随机过程 随机过程(4)(2)广义平稳随机过程的相关函数卷积共轭的，即(5)(2.3.8)(6)证明 必定是不确定是(3)随机过程的协方差函数和相关系数也是平稳的，即
18、 (2.3.9)(2.3.10)例2-9 推断以下三个随机过程是否平稳？式中，是常数，是相互独立的随机变量。随机过程 在上 匀整分布。相位振幅振幅、相位、频率 解：(1)当幅度为常数，在 上匀整分布时，数学期望和自相关函数分别为 因此，X(t)为广义平稳过程。(2)当幅度为随机变量，相位为常数时，那么每个样本函数的幅度都是随机变量A的一个可能取值，但它们同时到达零点或最大，均值和方差随时间变更。因此它是一个非平稳随机过程。(3)当幅度、相位和频率都为随机变量时，每个样本函数的幅度、相位和频率都可能不同。由于 相互独立，且 在上 匀整分布。X(t)的数学期望为 是与时间无关的常数。X(t)的自相
19、关函数为 也与时间起点无关，只与时间差有关的函数，是广义平稳随机过程。例2-10 广义平稳过程 通过乘法调制器得到随机信号 ，是确定常数，是在 匀整分布的随机相位，与 统计独立的，试问 是否广义平稳。乘法调制器图 2-3-8 调制器输出信号特性解：调制器输出 为 其均值为因为 在 上匀整分布，固有所以 输出函数 的自相关函数表示为 Y(t)的均值和自相关函数对视察时间是平稳的，因此Y(t)是广义平稳的。例2-11 设随机过程式中，为常数；为随机变量，其特征函数为 试证：当且仅当 时，过程为平稳过程。证明：依据题意，过程X(t)的均值为而有 所以 过程X(t)的相关函数为因为有所以本题得证。2.
20、4 随机过程的各态历经性对于随机过程，在做各类统计平均时，理论上须要无穷多个样本函数。使得测试工作(集合平均)变得特别困难：(1)实际生产、生活中难以供应如此多的样本函数。(2)假如削减样本函数的数量，而统计特征的精度就会受到影响。平稳随机过程概念的引入，使得统计特性的测试可以选在便利测试时刻上进行，且测试时刻的移动不影响该统计特性。借助平稳随机过程统计特性与计时起点无关的特点，能否找到一种简化的方法来代替原有的统计方法。(a)(b)图2-4-1 两种平稳随机过程 一个样本没有经验随机过程的整个状态。任何 一个样本经验随机过程的整个状态。辛钦证明：在具备确定的条件下，对平稳过程 的一个样本函数
21、取时间平均 (视察时间足够长)，从概率意义上趋近于此过程的统计(集合)均值 ，即 例如：处于稳态工作的n台雷达接收机，其噪声电压X(t)的统计平均与一台雷达接收机 的时间平均x(t)。2-4-2 雷达接收机的统计平均和时间平均2-4-3 雷达接收机的自相关函数和时间自相关函数2.4.1 各态历经过程的定义1、各态历经过程的前提条件：随机过程是平稳过程。2、各态历经过程分为严(或狭义)各态历经过程和宽(或广义)各态历经过程。3、严各态历经过程 定义 假如一个随机过程X(t)，它的各种时间平均(时间足够长)，依概率1收敛于相应的集合平均，则称此随机过程X(t)为严(或狭义)各态历经过程，该随机过程
22、X(t)具有严(或狭义)各态历经性。4、宽(或广义)各态历经随机过程(1)、随机过程的时间平均 对随机过程X(t)中随意一条样本函数 x(t)沿整个时间轴的积分：分别称为X(t)的时间均值和时间自相关函数。(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性。(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性。(3)、如 依概率1成立，则称随机过程 的自相关函数具有各态历经性。当 时，如该式也成立，则称随机过程 的均方值具有各态历经性(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性。(3)、如 依概率1成立，则称随机过程 的自相关函数具有各态历经性。当 时，如该式
23、也成立，则称随机过程 的均方值具有各态历经性(4)、若 的均值和自相关函数具有各态历经性，则称 是宽(或广义)各态历经过程。2.4.2 各态历经性的实际意义1、随机过程 X(t)中随意一样本函数 x(t)代表了该随机过程，也就是各样本函数具有完全相同的特性。图2-4-2 噪声电压的输出波形2、接受随机过程的样本函数的时间平均代替随机过程的集合平均，给很多实际问题带来了极大的便利。图2-4-3 噪声电压的输出波形3、遍历过程X(t)的一、二阶矩函数有明确的物理意义。若遍历过程X(t)代表噪声电压(或电流)，则(1)、遍历过程的时间平均是的直流重量。2-4-4 基本交流RLC电路电流(2)、遍历过
24、程的自相关函数代表噪声电压消耗在单位电阻上的总平均功率。2-4-4 基本交流RLC电路电流(3)、遍历过程的方差代表噪声电压消耗在单位电阻上的沟通平均功率。2-4-4 基本交流RLC电路电流(4)、很多实际的信号，尤其无线电技术领域里遇到的各种平稳的信号和噪声，都是各态历经过程。例2-12 探讨随机过程 的各态历经性。其中，为常数，是在 上匀整分布的随机变量。解：由例2-9知是平稳过程，其数学期望和自相关函数分别为 时间均值时间自相关函数可得：所以，随机过程具有宽遍历性。例2-13 探讨随机过程X(t)=Y的各态历经性，式中Y是方差不为零的随机变量。图2-4-5 例2-13中X(t)解：随机过
25、程X(t)的数学期望和自相关函数分别为时间平均时间平均是一随机变量，随Y的取值不同而变更，所以故不是各态历经过程。2.5 平稳随机过程的自相关函数性质随机过程的基本特征：数学期望和自相关函数。平稳随机过程的数学期望为常数，自相关函数则成为平稳随机过程。自相关函数供应随机过程各状态之间的关联程度，还是求取随机过程功率谱以及从噪声中提取信息的工具。1、实平稳随机过程X(t)的自相关函数是偶函数 证明：2、平稳过程X(t)自相关函数的最大点在 处证明：任何正函数的数学期望为非负值，有绽开固有 例如相位随机正弦信号 的自相关函数2-5-1 相位随机正弦信号的自相关函数 3、周期平稳过程的自相关函数必为
26、周期函数，则它的周期与过程的周期相同，即 若平稳随机过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称此为周期平稳随机过程，其中T为过程的周期。证明：得证。例如相位随机正弦信号 的自相关函数2-5-2 相位随机正弦信号的自相关函数 4、若平稳过程X(t)含有一个周期重量，则自相关函数 也含有一个同周期的周期重量。4、若平稳过程X(t)含有一个周期重量，则自相关函数 也含有一个同周期的周期重量。证明：设随机过程 ，式中 为在 内匀整分布的随机变量，为平稳随机过程，和 统计独立。明显，随机过程的自相关函数ab2-5-3 周期信号噪声信号5、对任何不含周期重量的非周期平稳过程均有证明：对于此类非周期平
27、稳过程，当 增大时，随机变量之间的相关性会减弱；当的极限的状况下，两者相互独立，故有6、平稳随机过程的自相关函数必需满足且对于全部的都成立。2-5-4 自相关函数(a)(b)(c)(d)2-5-5 非自相关函数相关系数：图2-6 自相关系数相关时间：图2-5-7 自相关时间相关性减弱不相关用平稳过程的自相关函数表示数字特征：(1).数学期望(2).均方值(3).方差(4).协方差图2-5-8 随机过程数字特征平稳随机过程自相关函数的电路形式：延时积分平均电路图 2-5-9 自相关仪例2-14、设随机过程 的自相关函数为求的均值、均方值、方差和自协函数方差。解：第六节 随机过程的联合概率分布 和
28、相互关函数探讨了单个随机过程的统计特性。须要探讨多个随机过程的统计特性。接收机输入输出信号噪声图2-6-1 接收机输入为信号与噪声2.6.1 两个随机过程的联合概率分布 两个随机过程 和 的联合事务 其发生概率为 设概率密度函数分别为 和 ，定义此两个随机的 维联合分布函数为 假如存在函数 满足：则称为此两个随机过程的 维联合概率密度函数。随机过程相互独立：若随机过程 和 满足或则称随机过程 和 相互独立。联合严平稳随机过程若随机过程 和 的联合概率分布满足：或则称随机过程 和 是联合严平稳过程。2.6.2 相互关函数及其性质 设两个随机过程 和 ，在随意两个时刻 的状态分别为 ，则随机过程
29、和 的相互关函数定义为：图2-6-2 互相关函数 正交随机过程：若两个随机过程 和 对随意两个时刻 都具有 则称随机过程 和 为正交随机过程。图2-6-3 随机相位的正弦和余弦正弦余弦余弦互不相关随机过程 若两个随机过程 和 对随意两个时刻 都具有 则称随机过程 和 互不相关。必定不一定互为独立的随机过程互不相关的随机过程图2-6-4 随机过程独立与不相关互协方差函数：互协方差函数与相互关函数的关系：图2-6-5 互协方差与互相关函数联合宽平稳随机过程 假如两个随机过程 和 是宽平稳随机过程，且它们的相互关函数是随意两时刻 之差 的函数，即 则称随机过程 和 为联合宽平稳随机过程。联合平稳随机
30、过程相互关函数性质：(1)、证明：图2-6-6 联合平稳过程的互相关函数相互关函数非偶、奇函数(2)、证明：设 为随意实数，则有 对于随意 的二次方程大于零，则满足判别式图2-6-7 自相关函数与相互关函数(3)、证明：由性质(2)知对于正数，有所以有 。联合宽各态历经随机过程：假如随机过程 和 是联合平稳的，时间相互关函数 假如 和 的时间相互关函数依概率1收敛于集合的相互关函数，即 则称随机过程 和 是联合宽各态历经随机过程。例2-15 已知平稳随机过程：式中，都是彼此独立的随机变量，且它们的均值都为零，方差都为6。试问 和 是联合宽平稳的吗？解：和 的相互关函数为所以，和 不是联合宽平稳
31、随机过程。2.7 正态随机过程由中心极限定理知，大量相互独立的、微小的随机变量之和都近视听从正态分布。电子系统(包括无线电)中遇到最多的过程是正态随机过程。(1)、电阻中热噪声 (2)、半导体器件中的散弹效益噪声 (3)、海杂波 (4)、地物杂波2.7.1 正态随机过程的概念 定义：假如随机过程 的随意 个时刻的状态构成的 维随机向量 是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程。正态随机过程的概率密度函数为 式中 为 维向量随机向量均值向量 为 维矩阵协方差阵2.7.2 平稳正态随机过程 若正态随机过程的均值和方差都是与时间无关的常数，即 ，而协方差函数仅与时间差 有关，此时均值矩阵和协方差矩阵分别为 概率分布函数则为 该正态随机过程就是平稳随机过程。当平稳正态过程在个不同时刻 的状态，是两两互不相关的随机变量时，则有 概率密度函数为 此时正态随机过程的随机变量是独立的。平稳正态过程不相关等价与独立