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1、 曲线与方程曲线与方程学习如几何曲线学习如几何曲线幸福似小数循环幸福似小数循环.典例分析典例分析题型一题型一 直接法求曲线方程直接法求曲线方程【例1】已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为坐标平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 求动点P的轨迹方程C.学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法.分析 设P点坐标为（x,y），再表示出Q点，,，的坐标，直接代入满足 的条件求P点轨迹方程.解：设动点P(x,y)，则Q(-1,y).由 ，得（x
2、+1,0）(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简得C：举一反三举一反三1.已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程.解析:设P(x,y),则(1)当x3时，方程变为 ,即 .化简，得(2)当x3时，方程变为 ,即 化简,得 故所求的点P的轨迹方程是 ,0 x3,3x4.题型二题型二 利用定义或待定系数法求曲线方程【例2】已知圆 :和圆 ：动圆M同时与圆 及圆 相外切.求动圆圆心M的轨迹方程.分析 设圆 半径 ,圆 半径 ,动圆M半径R,则由两圆外切性得 ,(定值)0，故可考虑用双曲线定义求轨迹.解 设动圆M与圆 及圆 分别外切于点A和点B，根据两圆外切
3、的充要条件，得 ,MA=MB,即 这表明动点M到两定点 、的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到 的距离大，到 的距离小），其中a=1,c=3,则 .设点M的坐标为（x,y）,则其轨迹方程为 (x1).学后反思 解决本题的关键是找到动点M满足的条件，对于两圆相切问题，自然考虑圆心距与半径的关系.当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a,b时，则直接写出其标准方程，这种求曲线方程的方法称为定义法.举一反三举一反三2.如图，已知线段AB=4,动圆O与线段AB切于点C，且AC-BC=.过点A、B分别作圆O的切线，两切线相交于P，且P、O均在AB同侧.建立适当坐标
4、系，当O位置变化时，求动点P的轨迹E的方程.解析:以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC=2).题型三题型三 用相关点法求轨迹方程用相关点法求轨迹方程【例3】已知长为 的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且 求点P的轨迹方程.分析 由A、B两点分别在x轴、y轴上,且 ,得P点的坐标可以用A、B两点的坐标表示出来，而|AB|=,故可求得A、B坐标满足的关系式，再把P点的坐标代入所求的关系式即可得到P点的轨迹方程.解设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
5、因为 又 ,所以 ,即 ,因为AB=，即 所以 化简得 ,故点P的轨迹方程为.学后反思 对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.举一反三举一反三3.点P是圆 上的动点，O是坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹.解析：设 ,Q(x,y),则 ,是圆上的动点，即 题型四题型四 用参数法求轨迹方程用参数法求轨迹方程【例4】(14分)设椭圆方程为 ,过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点,l上的动点P满足
6、当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.分析 设出直线l的方程，和A、B两点的坐标，并将直线l方程与椭圆方程联立，求出 ,由 可表示出点P坐标，再用消参法求轨迹方程.解 直线l过点M(0,1),当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.1设 、，由题设可得点A、B的坐标 、是方程组 ，的解.将代入并化简,得 ,4则 8 于是 10设点P的坐标为（x,y）,则 消去参数k,得 (y0).12当直线l的斜率不存在时，可得A、B的中点坐标为原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为 .14学后反思 本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取
7、中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程 消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.举一反三举一反三4.过抛物线 的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.解析：由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB:由 得 同理由 得 设P(x,y),则 由2-2，得 即 故线段AB的中点P的轨迹方程为 易错警示易错警示【例】过点P(0,-2)的直线l交抛物线 于A、B两点，求以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.错解 如右
8、图，设M(x,y),直线l的方程为y+2=kx,即y=kx-2.由 消去y，得 错解分析 直线l与抛物线交于不同的两点A、B,则l的斜率一定存在且受有两个交点的限制，故应由此确定k的取值范围，错解中忽视了k的取值范围，导致错误.,四边形OAMB为平行四边形,消去k，得 点M的轨迹方程为 正解 设M(x,y),，直线l的方程为y+2=kx，即y=kx-2(k0).由 消去y,得 ,又四边形OAMB为平行四边形，消去k,得 又l与抛物线 交于不同两点A、B,解得 且k0,又 ,y0.综上,M点的轨迹方程为 (y0).想一想想一想:今天在课堂上你学到了什么？今天在课堂上你学到了什么？求曲线的方程常用
9、的几种方法求曲线的方程常用的几种方法 （1）直接法）直接法 （2）定义法）定义法(待定系数法待定系数法)（3）相关点法）相关点法 （4）参数法）参数法作业：作业：1.1.已知点已知点Q Q是曲线是曲线 上的动点，点上的动点，点A A的坐标为的坐标为(1,0),(1,0),求线段求线段QAQA的中点的中点P P的轨迹方程的轨迹方程.2.2.若直线若直线y=kx+by=kx+b交抛物线交抛物线 于于A A、B B两点，已知两点，已知|AB|=,|AB|=,线段线段ABAB的中点纵坐标等于的中点纵坐标等于-5,-5,求求k,bk,b的值的值.3.3.如图，矩形如图，矩形ABCDABCD的两条对角线相
10、交于点的两条对角线相交于点M(2,0),ABM(2,0),AB边所边所在直线的方程为在直线的方程为x-3y-6=0,x-3y-6=0,点点T T（-1-1，1 1）在）在ADAD边所在直线边所在直线上上.（1 1）求）求ADAD边所在直线的方程；边所在直线的方程；（2 2）求矩形）求矩形ABCDABCD外接圆的方程外接圆的方程.考点演练考点演练1.已知点Q是曲线 上的动点，点A的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程.解析：设P(x,y),Q(x0,y0),则由中点坐标公式，得 解得 点Q在曲线 上，,化简得 2.若直线y=kx+b交抛物线 于A、B两点，已知|AB|=,线段AB的中点
11、纵坐标等于-5,求k,b的值.解析:由 得 设 ,则 .又 ,即 .由，得 ,代入，得 或 k=2,b=-3或 k=b=.经检验均符合要求.3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T（-1，1）在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.解析：（1）AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直，直线AD的斜率为-3.又点T(-1,1)在直线AD上,AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由 x-3y-6=0,3x+y+2=0,得点A的坐标为(0,-2).M为矩形ABCD外接圆的圆心，且AM=，矩形ABCD外接圆的方程为