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1、机械优化设计机械优化设计 哈尔滨工业大学 孙靖民 主编自我介绍姓名：杨月英电话：计划学时数：计划学时数：30学时学时(最后一节课随堂考试）最后一节课随堂考试）使用教材使用教材使用教材使用教材孙靖民孙靖民.机械优化设计机械优化设计.北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，2003参考书参考书参考书参考书1方世杰，綦耀光主编方世杰，綦耀光主编.机械优化设计机械优化设计.北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，20032 陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社，陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社，19973 刘惟信刘惟信.机械最优化设计机械最优化设计.北京：清华大学出版社
2、，北京：清华大学出版社，1994课程介绍本课主要内容l 优化设计概述l 优化设计的数学基础l 一维搜索方法l 无约束优化方法l 约束优化方法l 多目标及离散变量优化方法l 优化设计实例第一章第一章 优化设计的基本概念优化设计的基本概念 1-1 1-1 绪论绪论1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例1-3 1-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法 优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。最优的方案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实优化
3、的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。际问题中的应用，便是优化设计。1-1 1-1 绪论绪论1.1.1.1.优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义 （1 1）来源：优化一语来自英文）来源：优化一语来自英文OptimizationOptimization，其本意是寻优的其本意是寻优的过程；过程；（2 2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以maxmax表示表示)或极小或极小(以以minmin表示表示)的过程。优
4、化方法也称数学规划，是用的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；（3 3）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。机械优化设计机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算
5、机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。最佳设计参数。优化设计流程优化设计流程 常规设计流程常规设计流程2.2.2.2.优化设计的发展概况优化设计的发展概况优化设计的发展概况优化设计的发展概况 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（里得（Euclid，公元前公元前300年左右），他指出：在周长相同的一年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分微积分的的建立给出了求函数极值的一
6、些准则，对最优化的研究提供了某建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法变分法。直到上世纪直到上世纪4040年代初，由于军事上的需要产生了年代初，由于军事上的需要产生了运筹学运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。最佳俯冲轨迹的设计等。50 50年代末年代末数学规划方法数学规划方法被
7、首次用于结构最优化，并成为优被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。划是其主要内容。近近十十几几年年来来，最最优优化化设设计计方方法法已已陆陆续续用用到到建建筑筑结结构构、化化工工、冶冶金金、铁铁路路、航航天天航航空空、造造船船、机机床床、汽汽车车、自自动动控控制制系系统统、电电力力系系统统以以及及电电机机、电电器器等等工工程程设设计计领领域域，并并取取得得了了显显著著效效果
8、果。其其中中在在机机械械设设计计方方面面的的应应用用虽虽尚尚处处于于早早期期阶阶段段，但但也也已已经经取取得得了了丰丰硕硕的的成成果果。一一般般说说来来，对对于于工工程程设设计计问问题题，所所涉涉及及的的因因素素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6 6O O年年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著方法
9、。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。域中得到应用。l第一阶段第一阶段人类智能优化人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。直觉或逻辑思维，如黄金分割法、
10、穷举法和瞎子爬山法等。l 第二阶段第二阶段数学规划方法优化数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。到迅速发展。l 第三阶段第三阶段工程优化工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理
11、多目标工程优化问题中，基于经验和的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。径。l 第四阶段第四阶段现代优化方法：现代优化方法：如遗传算法、如遗传算法、模拟退火算法、模拟退火算法、蚁群算法、蚁群算法、神经网络算法等，并神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发策略的自动选择和优化过程的自动控
12、制，智能寻优策略迅速发展。展。机械机械优优化化设计应设计应用用实例实例 美美国国波波音音飞飞机机公公司司对对大大型型机机翼翼用用138个个设设计计变变量量进进行行结结构构优优化化，使使重重量量减减少少了了三三分分之之一一；大大型型运运输输舰舰用用10个个变变量量进进行行优优化设计，使成本降低约化设计，使成本降低约10%。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多设计者从大量繁琐
13、和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。基础：基础：（1）最优化数学理论最优化数学理论 （2）现代计算技术）现代计算技术 内容：（内容：（1）将工程实际问题数学化；将工程实际问题数学化；（建立优化设计数学模型）（建立优化设计数学模型）（2）用最优化计算方法在计算机上求解）用最优化计算方法在计算机上求解 数学模型。数学模型。优化设计是一种现代设计方法，是很好的设计优化设计是一种现代设计方法，是很好的设计工具。工具。3.本课程的任务本课程的任务该课程的主要该课程的主要目的和任务目的和任务目的和任务目的和任务：了解
14、和基本掌握机械优化设计的基本知识；了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；扩扩大大视视野野，并并初初步步具具有有应应用用机机械械优优化化设设计计的的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质。基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质。1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例 优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和
15、计算程）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。序运算求解。已知：制造一体积为已知：制造一体积为100m3，长度不小于长度不小于5m，不不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽宽x2，高高x3，使箱盒用料最省。使箱盒用料最省。分析：分析：（1）箱盒的表面积的表达式；）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长）设计参数确定：长x1，宽宽x2，高高x3；（3）设计约束条件：）设计约束条件：（a）体积要求；）体积要求；（b）长度要求；）长度要求；x1x2x3箱盒的优化设计箱盒的优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：某
16、工厂生产某工厂生产A 和和B 两种产品，两种产品，A 产品单位价格为产品单位价格为PA 万万元，元，B 产品单位价格为产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位万元。每生产一个单位A 产品产品需消耗煤需消耗煤aC 吨，电吨，电aE 度，人工度，人工aL 个人日；每生产一个单个人日；每生产一个单位位B 产品需消耗煤产品需消耗煤bC 吨，电吨，电bE 度，人工度，人工bL 个人日。现有个人日。现有可利用生产资源煤可利用生产资源煤C 吨，电吨，电E 度，劳动力度，劳动力L 个人日，欲找个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。出其最优分配方案，使产值最大。分析：分析：（1）产值的表达式；）产值的表达式
17、；（2）设计参数确定：）设计参数确定：A 产品产品xA，B 产品产品xB；（3）设计约束条件：）设计约束条件：（a）生产资源煤约束；）生产资源煤约束；（b）生产资源电约束；）生产资源电约束；（b）生产资源劳动力约束；）生产资源劳动力约束；最大最大产值产值生生产资产资源分配源分配问题问题 数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：1-31-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1.1.设计变量设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，基本参数
18、可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础
19、。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称个设计变量，则称为为n维设计问题。维设计问题。由由n n个设计变量个设计变量 为坐标所组成的实空间称为坐标所组成的实空间称作作设计空间设计空间设计空间设计空间。一个。一个“设计设计”，可用设计空间中的一点表示。，可用设计空间中的一点表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称为优化设计的维数，如n n个设计变量，个设计变量，则称为则称为n n维设计问题。维设计问题。按照按照产产品品设计变
20、设计变量的取量的取值值特点，特点，设计变量设计变量可分可分为为连续变连续变量量（例如（例如轴轴径、径、轮轮廓尺寸等）和廓尺寸等）和离散离散变变量量（例如各种（例如各种标标准准规规格等）。格等）。图1-1 设计变量所组成的设计空间设计变量所组成的设计空间（a a）二维设计问题二维设计问题 （b b）三维设计问题三维设计问题 只只有有两两个个设设计计变变量量的的二二维维设设计计问问题题可可用用图图1-11-1（a a）所所示示的的平平面面直直角角坐坐标标表表示示；有有三三个个设设计计变变量量的的三三维维设设计计问问题题可可用用图图1-11-1（b b）所表示的空间直角坐标表示。所表示的空间直角坐标
21、表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：小型设计问题：一般含有一般含有210210个设计变量；个设计变量；中型设计问题：中型设计问题：10501050个设计变量；个设计变量；大型设计问题：大型设计问题：5050个以上的设计变量。个以上的设计变量。目前已能解决目前已能解决200200个设计变量的大型最优化设计问题。个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量如何选
22、定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2 2）根据要解决设计问题
23、的特殊性来选择设计变量。）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4 4个，即钢丝直径个，即钢丝直径d d，弹簧中径弹簧中径D D，工作圈数工作圈数n n和自由高度和自由高度H H。在设计中，将材料的许在设计中，将材料的许用剪切应力用剪切应力 和剪切模量和剪切模量等作为设计常量。在给定径向空间内等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径设计弹簧，则可把弹簧中径D D作为设计常量。作为设计常量。2.约束条件约束条件 设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些
24、是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：束两种类型：(1)(1)等式约束等式约束(2)(2)不等式约束不等式约束显显式式约约束束 隐隐式式约约束束 约约束函数有的可以表示成束函数有的可以表示成显显式形式，即反映式形式，即反映设计变设计变量之量之间
25、间明明显显的函数关系，有的只能表示成的函数关系，有的只能表示成隐隐式形式式形式,如例中的复如例中的复杂结杂结构的构的性能性能约约束函数（束函数（变变形、形、应应力、力、频频率等），需要通率等），需要通过过有限元等方法有限元等方法计计算求得。算求得。根据根据约约束的性束的性质质可以把它可以把它们们区分成区分成：性能性能约约束束针对针对性能要求而提出的限制条件称作性能性能要求而提出的限制条件称作性能约约束。例束。例如，如，选择选择某些某些结结构必构必须满须满足受力的足受力的强强度、度、刚刚度或度或稳稳定性等要求定性等要求；边边界界约约束束只是只是对设计变对设计变量的取量的取值值范范围围加以限制的加
26、以限制的约约束称作束称作边边界界约约束。例如，允束。例如，允许许机床主轴机床主轴选择选择的尺寸范的尺寸范围围，对对轴段长度轴段长度的限的限定范定范围围就属于就属于边界边界约约束。束。图图1-2 设计空间中的约束面（或约束线）设计空间中的约束面（或约束线）(a)a)二变量设计空间中的约束线二变量设计空间中的约束线 (b)b)三变量设计空间中的约束面三变量设计空间中的约束面 如图如图1-1-3 3上画出了满足两项约束条件上画出了满足两项约束条件g g1 1（X X）=x=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2（X X）2X2X2 200的二维设计问题的可行域的二维设计问题
27、的可行域D D，它位于它位于X X2 2=2=2的上面和的上面和圆圆 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圆弧的圆弧ABCABC下面并包括线段下面并包括线段ACAC和圆弧和圆弧ABCABC在内。在内。图图1-3 约束条件规定的可行域约束条件规定的可行域D 可行域可行域可行域可行域:在在设计设计空空间间中，中，满满足足所有约束条件的所有约束条件的所构成的所构成的空空间间。3.3.目标函数目标函数 在优化过程中，通过设计变量的不断向在优化过程中，通过设计变量的不断向F F(X X)值改善的方向值改善的方向自动调整，最后求得自动调整，最后求得F F(X X)值最好或最满意的值最好或最满
28、意的X X值。在构造目标值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。最小等等。为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评
29、价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)F(X)表示。表示。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。求解亦愈复杂。在实际工程设计问题中，常常
30、会遇到在多目标函数的某些在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。数之间的关系。目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面 目标函数是目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空维空间中描述出来。为了在间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：目
31、标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数，代表一族为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空维超曲面。如在二维设计空间中，间中，F(x1,x2)=c 代表代表x-x设计平面上的一族曲线。设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为称为等值线等值线或或等值面等值面。图图1-4 等值线等值线 图图1-1-4 4表示目标函数表示目标函数f f（X X）与两个设计变量与两个设计变量x x1 1，x x2 2阶所构成阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设的关系曲面上的等值线，它是由许多
32、具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。的变化规律。从等值线上，可
33、以清除地看到函数值的变化情况。其中从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中F F=40=40的等值线就是使的等值线就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各点的各点 x x1 1,x,x2 2 T T所组成的连所组成的连线。线。如图函数如图函数 的等值线图。的等值线图。图图1-5 等值线等值线4.优化设计问题一般数学形式：优化设计问题一般数学形式：满足约束条件满足约束条件：求设计变量向量求设计变量向量使目标函数使目标函数 对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为善的数学
34、模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。间，有时也会改善优化结果。最最优优化化设设计计的的目目标标函函数数通通常常为为求求目目标标函函数数的的最最小小值值。若若目目标标函函数数的的最最优优点点为为可可行行域域中中的的最最大大值值时时，则则可可看看成成是是求求-F F（X X）的的最最小小值值，因因为为minmin-F-F（X X）与与maxFmaxF（X X）是是等价的
35、。当然，也可看成是求等价的。当然，也可看成是求1 1F F（X X）的极小值。的极小值。5.建模实例建模实例1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的
36、约束条件，）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：配料配料配料配料每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量钙钙钙钙蛋白质蛋白质蛋白质蛋白质纤维纤维纤维纤维每磅成本（元）每磅成本（元）每磅
37、成本（元）每磅成本（元）石灰石石灰石石灰石石灰石谷物谷物谷物谷物大豆粉大豆粉大豆粉大豆粉0.380 0.00 0.000.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.001 0.09 0.020.002 0.50 0.080.002 0.50 0.08 0.0164 0.0164 0.0463 0.0463 0.1250 0.1250 以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过而不超过1.2%的钙的钙;至少至
38、少22%的蛋白质的蛋白质;至多至多5%的粗纤维。假的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：成分为：混合饲料配合混合饲料配合解解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设设 是生产是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。大豆粉的量（磅）。6.优化设计的分类优化设计的分类对于最优化问题一般可作如下分类：对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：还有其它的一些划分方法：如按设计变量的性质分：连续
39、变量、离散变量、整数变量如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题规划问题:二次规划、几何规划、随机规划等。二次规划、几何规划、随机规划等。一、几何解释一、几何解释1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法l无约束优化无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对设计变问题就是在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。在设计空间内，目标函数是量求目标函数的极小点。在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，则以等值面的形式反映出来的，则无约束优化问题的极无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。小点即为等值面的中心。l约束优化约束优化问题是在
40、可行域内对设计变量求目标函问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界可行域内或在可行域边界上。上。等值线等高线等值线等高线：等值线等高线：它是由许多具有相它是由许多具有相同目标函数值的设同目标函数值的设计点所构成的平面计点所构成的平面曲线曲线目标函数的等值线目标函数的等值线数学表达式为：数学表达式为：例例1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题例题例题 通过二维约束优化问题的几何求解来直观地描述优化设通过二维约束优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。计的基本思想。目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，0）
41、为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：，约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。图图图图1-91-9l由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为何的方法得该切点为 ，对应的最优值为对应的最优值为 l (见图）见图）例例例例2 2：l解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是可行域上线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是
42、可行域上使等值线具有最小值的点。使等值线具有最小值的点。l解：解：先画出等式约束曲线先画出等式约束曲线 的图形。的图形。这是一条抛物线，如图这是一条抛物线，如图例例例例3 3：l再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）l最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，ABCD 以及等值线与可行集的切点，易见可行以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段域为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线当动点沿抛物曲线段段ABCD由由A点出发时，点出发时，AB段目标函数段目标函数值下降。过点值下降。过点B后，在后，在BC
43、段目标函数值段目标函数值上升。过上升。过C点后，在点后，在CD段目标函数值再段目标函数值再次下降。次下降。D点是使目标函数值最小的可点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：行点，其坐标可通过解方程组：l得出：得出：ABCD 例例4 人字架结构优化设计人字架结构优化设计如图所示的人字架由两个钢管构成，其顶点承受外力为如图所示的人字架由两个钢管构成，其顶点承受外力为2F=3105N。人字架跨度。人字架跨度2B152cm，钢管壁厚，钢管壁厚T0.25 cm，钢管材料的弹性模量，钢管材料的弹性模量E2.1105MPa,材料材料密度为密度为7.8103Kg/m3,许用压应力许用压应力y420
44、420MPa。求在钢管压应力。求在钢管压应力不超过许用压不超过许用压应力应力y和失稳临界应力和失稳临界应力e的条件下。人字架的高的条件下。人字架的高h和钢管平均直径和钢管平均直径D，使钢管总质量，使钢管总质量m为为最小。最小。根据题意，可以把人字架的优化设计问题归结为根据题意，可以把人字架的优化设计问题归结为求求使结构质量使结构质量但应满足强度约束条件但应满足强度约束条件和稳定约束条件和稳定约束条件数学模型数学模型：钢管所受的压力钢管所受的压力压杆失稳的临界力压杆失稳的临界力钢管截面惯性矩钢管截面惯性矩钢管截面面积（钢管截面面积（r，R为截面内外半径）为截面内外半径）钢管所受的压应力钢管所受的
45、压应力钢管的临界应力钢管的临界应力强度约束条件强度约束条件可以写成可以写成稳定约束条件稳定约束条件可以写成可以写成解析法解析法 假定使人字架总值量假定使人字架总值量为最小的最优解刚好满足强度条件，即有为最小的最优解刚好满足强度条件，即有从而可以将设计变量从而可以将设计变量D用设计变量用设计变量h表示表示将将D带入目标函数带入目标函数m(D,h)中，得中，得根据极值必要条件根据极值必要条件得把所得参数带入稳定条把所得参数带入稳定条件，可以证明件，可以证明即稳定条件得到满足。所以即稳定条件得到满足。所以h*，D*这两个参数是两个参数是满足足强度度约束和束和稳定定约束，且使束，且使结构最构最轻的最佳
46、参数。的最佳参数。作图法在设计平面在设计平面D-h上画出代表上画出代表的两条曲线。的两条曲线。可行域条件可行域条件然后再画出一族等然后再画出一族等质量等值线质量等值线C为一系列常数。为一系列常数。X*的坐的坐标：D*6.43 h*76 m*8.47 讨论讨论：若若对于具有不等式约束条件的优化问题，判断那些约束是对于具有不等式约束条件的优化问题，判断那些约束是起作用的，那些约束是不起作用的，这对求解优化问题起作用的，那些约束是不起作用的，这对求解优化问题是很关键的。是很关键的。按解析法求解得按解析法求解得用作图法求解得用作图法求解得l 由以上四个例子可见，对二维最优化问题。我由以上四个例子可见，
47、对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。不便在平面上作图，此法失效。l 在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是一常数值的是 X|f(X)=C,C是常数是常数称为目标函数称为目标函数的等值面。的等值面。l等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：l（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；是单值函数；l（2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方
48、变化得比较慢；而稀疏的地方变化得比较慢；l（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有：二、优化问题的基本解法二、优化问题的基本解法解析法解析法解析法解析法数值解法数值解法数值解法数值解法解解解解析析析析法法法法：即即利利用用数数学学分分析析(微微分分、变变分分等等）的的方方法法，根根据据函函数数（泛泛函函）极极值值的的必必要要条条件件和和充充分分条条件件求求出出其其最最优优解解析析解的解的求解方法求解方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以
49、。在目标函数比较简单时，求解还可以。局限性：局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。学分析方法就会带来麻烦。最最优优化化方方法法是是与与近近代代电电子子计计算算机机的的发发展展紧紧密密相相联联系系的的，数数值值计计算算法法比比解解析析法法更更能能适适应应电电子子计计算算机机的的工工作作特特点点，因因为为数数值值计计算算的迭代方法具有以下特点：的迭代方法具有以下特点：1 1）是数值计算而不是数学分析方法；）是数值计算而
50、不是数学分析方法；2 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3 3）最后得出的是逼近精确解的近似解。）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。这些特点正与计算机的工作特点相一致。数值解法：数值解法：数值解法：数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优