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1、第六章第六章离散信号与系统时域分析离散信号与系统时域分析l l 离散时间信号的定义以及典型的离散信号；离散时间信号的定义以及典型的离散信号；l l 差分方程的建立与经典解法；差分方程的建立与经典解法；l l 离散系统的单位样值响应；离散系统的单位样值响应；l l 零输入响应和零状态响应的概念；零输入响应和零状态响应的概念；l l 如何求零输入响应；如何求零输入响应；l l 如何利用卷积的方法求零状态响应如何利用卷积的方法求零状态响应 6.1 6.1 离散信号离散信号一、离散时间信号一、离散时间信号 1、定义：如果信号仅在一些离散的瞬间具有确定的数值，则称之为离散时间信号。一般用f(kT)表示，
2、其中k=0,1,2,；T为离散间隔。把这种按一定规则有秩序排列的一系列数值称为序列，简记为f(k)。常用序列f(k)表示。也可以用数据表格形式给出，或以图形方式表。Eg:Eg:Eg:Eg:2 2、离散时间信号的时域运算、离散时间信号的时域运算（1）相加：f(k)=f1(k)+f2(k)（2）相乘 ：f(k)=f1(k)f2(k)（3）数乘：（4）累加和：3 3 3 3、离散时间信号的时域变换、离散时间信号的时域变换、离散时间信号的时域变换、离散时间信号的时域变换 （1）移位 m为大于零的整数。为大于零的整数。（2 2）折叠）折叠 （3）倒相（4）展缩 需要注意的是需要注意的是，对f(k)进行展
3、缩变换后所得序列y(k)可能会出现k为非整数情况，在此情况下舍去这些非整数的k及其值。例6.1.1：若x(n)的波形如图所示，求x(2n)x(n/2)的波形。还应指出，对于离散信号压缩后再展宽不能恢复原序列。（5）差分（a）f(k)的后向差分，记(b)f(k)的前向差分，记二、常用的离散时间信号二、常用的离散时间信号 1.单位序列性质：2.2.单位阶跃序列单位阶跃序列 单位阶跃序列和单位序列的关系单位阶跃序列和单位序列的关系3.3.单位矩形序列单位矩形序列(门序列门序列)4.单边实指数序列 5.正弦序列Eg:若离散信号f(k)满足 则f(k)为周期离散时间信号，其重复周期T=N，重复角频率为
4、三、离散系统及其数学描述三、离散系统及其数学描述1 1、线性时不变系统、线性时不变系统 （1）齐次性、叠加性和线性 当系统Taf(k)=aTf(k)则称系统满足齐次性。当系统则称系统满足叠加性 当系统同时满足齐次性和叠加性时，则称该系统满足线性（2）线性离散时间系统 若离散时间系统的响应可分解为零输入响应和零状态响应(可分解性)；且零输入响应和零状态响应分别满足齐次性和叠加性(零输入线性、零状态线性)，则称该系统为线性离散时间系统。（3）时变与时不变离散时间系统 若 （4 4）因果离散时间系统因果离散时间系统 如果系统响应总是出现在激励施加之后，则该如果系统响应总是出现在激励施加之后，则该系统
5、称为因果系统，否则称之为非因果系统。系统称为因果系统，否则称之为非因果系统。例6.1.2 若已知k0时三个系统的响应分别为：(1)y(k)=kf(k)；(2)y(k)=|f(k)|；(3)y(k)=2f(k)+3f(k-1)。试判断这三个系统各为哪类系统。解解:(1)因激励与响应之间满足齐次性和叠加性，即 但激励与响应之间不满足时不变性，即 故该系统为线性时变离散时间系统 (2)该系统激励与响应之间不满足齐次性，不满足叠加性。激励和响应之间满足时不变性，故此系统为非线性时不变系统。(3)由给出的输入输出关系可知此系统是一个线性时不变离散时间系统。解解:设系统零输入响应为yx(k)，零状态响应为
6、yf(k)，则根据线性时不变系统的特性，响应 解得：解得：例6.1.5：电阻梯形网络Ev0v1v2vNvN-1v0=E,vN=0,试写出节点电压的差分方程。试写出节点电压的差分方程。vN-2解：解：根据根据KCLKCL，对于节点，对于节点k,k,有：有：整理后可得：或：(b)加法器(a)延时器五、离散时间系统的模拟1、基本运算单元xn xn+ynynxnxn-1xnxn-1D D(c)数乘器axn axnxn axnaxn axn解解:根据系统差分方程，可得 或：2、系统模拟 6.2 6.2 离散系统时域分析经典法离散系统时域分析经典法一、差分方程时域经典求解一、差分方程时域经典求解 1 1齐
7、次差分方程齐次差分方程 称之为齐次差分方程 例例6.2.26.2.2 图所示离散时间系统的模拟框图。当图所示离散时间系统的模拟框图。当f(k)=0,y(1)=1,y(2)=0,y(3)=1,y(5)=1f(k)=0,y(1)=1,y(2)=0,y(3)=1,y(5)=1时，求时，求y(k)y(k)。nknC(常数)特解形式特解形式自由项自由项an(a不是特征根)an(a是r重特征根)2非齐次差分方程二、离散时间系统的响应的分解方式二、离散时间系统的响应的分解方式1 1、零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 2 2、自由响应和强迫响应自由响应和强迫响应 3 3、暂态响应和稳态响应暂态响应
8、和稳态响应 6.3 6.3 离散系统的单位序列响应离散系统的单位序列响应 对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列(k)时，其系统的零状态响应h(k)称为单位序列响应。一、迭代法：是一种递推法，一个不断迭代过程，称之为迭代法 对于一阶系统 令 二、等效初值法 当k0时，系统等效为一个零输入系统。求系统单位序列响应转化为求系统等效零输入响应。例例6.3.1 6.3.1 某离散时间系统如图所示。求系统单位序列响应。解：解：由图可得系统的差分方程为 由迭代法可知等效初始值为 当k1时，有对应的特征方程为 单位序列响应的形式与零输入响应形式相同6.4 6.4 卷积和卷积和一、离散系统的时域分解 1
9、、交换律、结合律和分配律（1）交换律卷积和的性质：二、卷积和 设两个离散时间信号为f1(k)和f2(k)，定义f1(k)与f2(k)的卷积和运算为（2）结合律（3）分配律2 2、移位性质、移位性质3、其它性质4、卷积和的计算：（1）图解法反褶、平移、相乘、求和四个步骤：列表法列表法三、离散卷积和分析三、离散卷积和分析 对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列，对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列，单位序列响应为单位序列响应为,则激励与系统零状态响应之间有如下关系：则激励与系统零状态响应之间有如下关系：例例6.4.26.4.2 描述离散时间系统的差分方程为 已知y(-1)=1,求系统全响应y(k)。解:(1)求零输入响应yx(k)。得C=0.9,故(2)求单位序列响应。利用等效初值法，可求得(3)求激励时零状态响应。全响应