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1、第一章第一章 偏微分方程定解问题偏微分方程定解问题(1)偏微分方程偏微分方程 有一个未知多元函数有一个未知多元函数是未知是未知变变量；量；如果能如果能够够得到如下关系式：得到如下关系式：为为的各的各阶阶偏偏导导数。数。上述关系式就称上述关系式就称为为偏微分方程。偏微分方程。为书写方便，通常记为书写方便，通常记1.1 1.1 三个典型方程的导出三个典型方程的导出(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的程的阶阶。(3)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导
2、数的（组合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称为都是一次的，就称为线性方程线性方程，高，高于一次以上的方程称为于一次以上的方程称为非线性方程非线性方程(4)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为项称为自由项自由项场位方程（拉普拉斯方程）：热传导方程：波动方程：琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布 导出导出“翻译翻译”导出步骤导出步骤:i)确定物理量确定物理量u；ii)从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分从所研
3、究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分析邻近部分和这个小部分的相互作用；析邻近部分和这个小部分的相互作用；iii)这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量u，把，把这种影响用算式表达出来。这种影响用算式表达出来。如何导出？如何导出？一、弦的横振动一、弦的横振动 一根弦在内部张力作用之下处于平衡位置，某个微小扰动引起部分质点的位移，内部张力又使邻近的部分随之产生位移。著名二胡演奏家宋飞 演奏弦乐器(如提琴、二胡)的人用弓在弦上来回拉动。弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动。实际上，振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。人们力求用数
4、学方法研究这种弦振动传播现象。一、波动方程的推导一、波动方程的推导理想化假设：(1)均匀常数；(2)柔软任意弯曲，没有抵抗弯曲的力，张力沿弦 的切线方向；(3)弹性抵抗拉伸的张力满足胡克定律；(4)细截面情况不考虑。可看作无粗细的线；(5)微小横振动绝对位移和相对位移都很小。研究对象：，弦上某点在 t 时刻的横向位移。建立坐标系：确立未知函数牛顿运动定律：F=ma微元分析法：取微元x,x+dx，t时刻(1)(2)T1T2u方向：x方向：张力沿切线：张力沿切线：由由(1)(1)得得:（T 与与 x 无关）无关）胡克定律胡克定律每个时刻都有：每个时刻都有：ds dx，长度长度ds不随时间而变化：不
5、随时间而变化：T=T1=常数常数代入代入(2)(2)-理想弦的振动方程理想弦的振动方程（第一个偏微分方程）（第一个偏微分方程）其中：其中：一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在(x,y)点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、为面密度二维波动方程或二维波动方程或膜振动方程（鼓）膜振动方程（鼓）三维波动方程或三维波动方程或声波方程声波方程波动方程波动方程弹性介质的振动方程统称为波动方程。均匀弦的微小横振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程，弹性
6、介质中声波的传播是三维波动方程。3、考虑其他因素、考虑其他因素 T的近似问题：微小、横振动(绝对位移不远小于1)。T为常数的假设不成立。如：习题5 弦在粘稠的液体中振动，阻尼必须考虑，在建立方程时需加上阻尼项即 。4、任何数学模型都是相对的，超出理想化假设范围，、任何数学模型都是相对的，超出理想化假设范围，则需建立新的模型。则需建立新的模型。P45 习题6 均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动(1).纵振动与纵波的机理一张力和杆(介质)(2).均匀杆的纵振动同横向振动，除杆的振动位移在纵向外，仍然采用微元法.研究对象：t时刻杆上各质点离开平衡位置的纵位移。建立坐标系：以杆的中轴线为x轴。微元分析法：取
7、微元x,x+dx，即杆上B段。xu(x,t)F2xx+dxF1ABC平衡位置平衡位置u(x+dx,t)CBAt时刻时刻牛顿运动定律：t时刻 F=ma均匀杆形变产生的应力与应变满足胡克定律。相对伸长量：原长：dxt时刻长度(现长)：左端位移左端位移右端位移右端位移xu(x,t)F2xx+dxF1ABC平衡位置平衡位置u(x+dx,t)CBAt时刻时刻相对伸长量其中：其中：B小段分别受邻段A和C的拉力F1和 F2。二、热传导方程的推导二、热传导方程的推导起源：起源：1919世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题 时提出。时提出。物理模型物理模型：空间某个介质或静止流体
8、内温度分布不均空间某个介质或静止流体内温度分布不均 匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。理想化假设理想化假设：介质均匀介质均匀 常数常数各向同性各向同性c,kc,k均为常数均为常数未知函数：未知函数：温度温度取定坐标系取定坐标系微元分析法微元分析法ozxy(x,y,z)(x+dx,x+dy,z+dz)dxdydz微元微元 dv=dxdydzt,t+dt时间段时间段物理定律：物理定律：1、能量守恒、能量守恒2、傅里叶热传导定律、傅里叶热传导定律热传导系数热传导系数热流密度矢量热流密度矢量傅立叶热传导定律傅立叶热传导定律：在物体内部，在垂直于导热方向上，两个
9、相距为在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为h，面，面积为积为S，温度分别为，温度分别为T1、T2的平行平面，在的平行平面，在t秒内，从一个秒内，从一个平面传到另一个平面的热量平面传到另一个平面的热量Q，满足下式：，满足下式：式中式中Q/t定义为传热速率，定义为传热速率，定义为该物质的导热系数，亦定义为该物质的导热系数，亦称热导率，称热导率，“-”号表示热量向低温的方向传递。号表示热量向低温的方向传递。翻译翻译：对微元应用物理定律：对微元应用物理定律dtdt时间内温度升高所需热量时间内温度升高所需热量o(x,y,z)zxy(x+dx,x+dy,z+dz)dxdydz考虑内部有热源放出热量考
10、虑内部有热源放出热量热源密度热源密度带入方程带入方程(1)(2)或写为：或写为：或写为：或写为：扩散方程扩散方程又称又称为为扩扩散方程散方程说明：说明：1、推导过程回顾、推导过程回顾2、考虑其他因素、考虑其他因素c,k的近似问题：各向同性。一阶偏导数也可能存在，变系数3、比较、比较考虑稳恒情况，考虑稳恒情况，泊松泊松(场位场位)方程方程若若f(x,y,z)=0Laplace方程方程发展（演化）方程发展（演化）方程三、静电场的场位方程三、静电场的场位方程物理模型：物理模型：真空中的电荷分布真空中的电荷分布(x,y,z)(x,y,z)，求：电场求：电场E(x,y,z)整体考虑：整体考虑：ozxy取
11、定坐标系取定坐标系任取区域任取区域v v物理定律：物理定律：1、高斯定律：、高斯定律：通过任意封闭曲面的电通量等于通过任意封闭曲面的电通量等于该曲面包围体积内的电荷总量除以介电常数。该曲面包围体积内的电荷总量除以介电常数。高斯公式高斯公式V任意任意(1)散度积分散度积分2、法拉第定律：、法拉第定律：静电场绕任意闭路的电动势为静电场绕任意闭路的电动势为0无旋场一定有势函数无旋场一定有势函数,令：令：斯托克斯公式斯托克斯公式L任意任意(2)L把把(2)带入带入(1)上式为泊松方程（场位方程）上式为泊松方程（场位方程）常系数的线性偏微分方程KdV方程变系数的线性偏微分方程非线性偏微分方程薛定谔波动方
12、程上面三个方程是物理学中最常遇到的偏微分方程，每一个都描写了多种具体的物理过程，尽管过程的物理背景不同，但其数学表达式完全一致，这三个方程是历史上最早系统研究的方程，也是本课程的重点。一、通解和特解一、通解和特解1.2 定解问题及其适定性定解问题及其适定性古典解：如果能找到函数 u，使上面方程在区域V中成为恒(广义解)等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。(其中 必须满足函数，在V内u 的各阶偏导数也连续。)例1：例2：通解：m阶偏微分方程含有m个任意函数的解。特解：不含任意函数或任意常数的解。通过定解条件确定了解中的任意函数后得到的解。解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意函数的解。对
13、于一般偏微分方程，找通解非常困难。根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解常常有意义。同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。二、泛定方程和定解条件二、泛定方程和定解条件泛定方程：反映系统内部作用导出的偏微分方程。定解条件：确定运动的制约条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件A、波动方程的初始条件1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度初始条件：给出未知函数u及其关于某个自变量t的若干阶偏导数在同
14、一点t=t0的值。如：k阶的偏微分方程，初始条件即为：特别地特别地：端点固定在平衡位置。：端点固定在平衡位置。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件波动方程的边界条件：两端运动已知两端运动已知 x1,x2：端点受力已知。端点受力已知。以左端为例以左端为例第第类齐次边界条件类齐次边界条件如果弦的左端如果弦的左端x=x1点受横向外力点受横向外力F1(t)。取微元取微元x1,x1+dx,分析分析u0方向受力。方向受力。0F1(t)x1x1+dxxuT(t,x1+dx)第第类边界条件类边界条件u0方向方向0F1(t)x1x1+dxxuT(t,x1+dx
15、)忽略一阶无穷小量，令忽略一阶无穷小量，令dx趋于趋于0，得边界条件，得边界条件第第类边界条件类边界条件第第类齐次边界条件类齐次边界条件：端点弹性支承：端点弹性支承如果弦的左端如果弦的左端x=x1点弹性系数为点弹性系数为k 的弹簧的支承的弹簧的支承取微元取微元x1,x1+dx,分析分析u0方向受力。方向受力。u0方向方向0F1(t)x1x1+dxxuT(t,x1+dx)忽略一阶无穷小量，令忽略一阶无穷小量，令dx趋于趋于0，得边界条件，得边界条件第第类边界条件类边界条件第第类齐次边界条件类齐次边界条件综合：综合：左端点左端点右端点右端点记忆：记忆：法边界的外法向法边界的外法向特别地特别地：边界
16、温度保持为零（放在冰里）。：边界温度保持为零（放在冰里）。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况B、热传导方程的边界条件热传导方程的边界条件：边界温度已知边界温度已知：边界热流密度已知边界热流密度已知V特别地特别地：边界绝热。：边界绝热。：与外界自由热交换与外界自由热交换微元分析法：微元分析法：在边界面上在边界面上(x,y,z)处取一小微元处取一小微元ds,厚厚度基本上没有，在度基本上没有，在t,t+dt内内从物体内部流入面元从物体内部流入面元ds的热量的热量根据根据牛顿冷却定律牛顿冷却定律：单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热：单位时间从周围介质传到边界上单位
17、面积的热量与表面和外界的温度差成正比量与表面和外界的温度差成正比,即即 热交换系数热交换系数外界的温度外界的温度从外部流入面元的热量从外部流入面元的热量考虑面元考虑面元ds的厚度趋于零，即的厚度趋于零，即：热量不能在面元上积累。热量不能在面元上积累。统一式统一式非齐次项非齐次项2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况C、场位方程的边界条件场位方程的边界条件：边界上电位已知边界上电位已知：边界上的电荷面密度已知边界上的电荷面密度已知*边界条件和初始条件的比较边界条件和初始条件的比较例如：弦振动方程，例如：弦振动方程，x1 xx2x1x2x给出了边界上的情况给出了边界上的
18、情况给出同一时刻的情况给出同一时刻的情况常用的常用的：边界接地。：边界接地。3、衔接条件、衔接条件有时在研究的物理系统中由于某种原因在某些部分发生了有时在研究的物理系统中由于某种原因在某些部分发生了突变，那么在突变点就要给出不同的条件。突变，那么在突变点就要给出不同的条件。例例1：一根杆由两段不同材料的杆连接而成，则连接点两边的总振动：一根杆由两段不同材料的杆连接而成，则连接点两边的总振动 需满足不同方程需满足不同方程连接点条件：连接点条件：0lx0例例2：静电场中，在两种电介质的交界面：静电场中，在两种电介质的交界面S上，电位应连续：上，电位应连续：交界面不带自由电荷时，电位移矢量交界面不带
19、自由电荷时，电位移矢量D的法向分量也应连续：的法向分量也应连续：例例3：一根长为：一根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于x=0和和x=l,在距离坐标原点为在距离坐标原点为b的位的位置将弦沿着横向拉开距离置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。始条件。解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有意初始速度为零，即有 x u o b l h 初始位移如图所示：初始位移如图所示：把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的适定性定解问
20、题的适定性 如果一个定界问题的解是存在存在、唯一唯一和稳定稳定的，则称此定界问题是适定的适定的。三、定解问题及其适定性三、定解问题及其适定性混合问题(有界弦)解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；条件多了，将会破坏解的存在性；条件少了，将会破坏解的唯一性。不适定性不适定性1917年阿达玛曾给出著名例子。初始条件唯一解，但不稳定。4 本节重点：利用特征线特征线求通解，然后用定解条件定特解。2 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是
21、一样的。3 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。1.4 通解法通解法和行波法和行波法1 研究对象：一阶线性偏微分方程，一维波动方程。一、一阶线性偏微分方程的通解一、一阶线性偏微分方程的通解思路：思路：把偏微分把偏微分 方程降阶方程降阶-右行波右行波通常通常，绝大多数的方程不能直接分解降阶，且降阶后也不能积分出通解，通常需要作变量代换，化简为可求解形式。一阶线性偏微分方程的一般形式：一阶线性偏微分方程的一般形式：n=2方程方程(1)变为变为方程方程(4)的解的解任取的，须保证任取的，须保证法向量法向量切向量切向量dx，dy与与a，b平行，成比例平行，成比例整体反过
22、来考虑同样成立。则得定理整体反过来考虑同样成立。则得定理(1.4.1)常微分方程常微分方程(4)称为一阶线性偏微分方程称为一阶线性偏微分方程(3)的的特征方程特征方程，其积分，其积分 曲线曲线 称为方程称为方程(1)的的特征曲线。特征曲线。1、n=2，齐次，齐次讨论：讨论：讨论：讨论：2、n=2，非齐次，非齐次右行波解3、推广，、推广，n2一阶线性偏微分方程的一般形式：一阶线性偏微分方程的一般形式：变量代换目的是：使得变量代换目的是：使得B中大中大部分为部分为0，可将方程化简为：，可将方程化简为：=0考虑简单的情况考虑简单的情况(C=F=0C=F=0)，则一般方程，则一般方程n-1个一阶常微分
23、方程组，则特征曲线也为个一阶常微分方程组，则特征曲线也为n-1个。个。作变量代换：作变量代换：1.3 二阶线性偏微分方程的分类和标准型二阶线性偏微分方程的分类和标准型一般形式：一般形式：1.3.1 1.3.1 特征方程和特征线特征方程和特征线考虑两个自变量的情况：考虑两个自变量的情况：u=u(x,y)其中二阶导项系数其中二阶导项系数为了化简为了化简(1.3.5)中的二阶偏导数，若选取中的二阶偏导数，若选取(x,y)、(x,y)是一阶线性偏是一阶线性偏微分方程微分方程的解，则的解，则A11A22至少有一个为至少有一个为0。则上式的求解归结为下式求解。则上式的求解归结为下式求解式式(1.3.2)的
24、特征方程的特征方程其中，其中，(1.3.9)式为方程式为方程(1.3.2)的的特征方程，特征方程，其积分曲线为方程的其积分曲线为方程的特征曲线。特征曲线。1.3.2 1.3.2 方程的分类、化简和标准型方程的分类、化简和标准型特征方程特征方程(1.3.9)式的解取决于它的判别式式的解取决于它的判别式且方程经过变量代换后得到的新方程类型不变，即判别式符号不变。且方程经过变量代换后得到的新方程类型不变，即判别式符号不变。此时，特征方程可分解为两个一阶常微分方程。设此时，特征方程可分解为两个一阶常微分方程。设a110.解得两族特征曲线解得两族特征曲线作变量代换作变量代换则则J 0，A120，A11=
25、A22=0。得新方程：。得新方程：若再作变量代换若再作变量代换可得方程可得方程方程方程(1.3.12)和和(1.3.13)都称为都称为双曲型方程的标准型双曲型方程的标准型。此时，特征方程只能分解为一个一阶常微分方程。设此时，特征方程只能分解为一个一阶常微分方程。设a110.解得一族特征曲线解得一族特征曲线作变量代换作变量代换则则A220，A11=0。且由。且由新方程为新方程为称方程称方程(1.3.14)为为抛物型方程的标准型抛物型方程的标准型。此时，特征方程只能在复数域内分解为两个一阶方程。设此时，特征方程只能在复数域内分解为两个一阶方程。设a110.此时不存在实特征线，此时不存在实特征线，(
26、1.3.9)的隐式通解为的隐式通解为为避免引入复变量，为避免引入复变量，作代换作代换则则J 0，A12=0，A11=A22 0。可得新方程。可得新方程称方程称方程(1.3.15)为为椭圆型方程的标准型椭圆型方程的标准型。二阶线性偏微分方程按照它的判别式可分为三类：二阶线性偏微分方程按照它的判别式可分为三类：时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型;三类典型方程三类典型方程例例6、求方程的通解、求方程的通解例例1.3.1、空气动力学中的特里科米方程，求其标准型。、空气动力学中的特里科米方程，求其标准型。一维波动方程的定解问题
27、无界弦的自由振动无界弦的强迫振动半无界弦的自由振动半无界弦的强迫振动三维波动方程的定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形一般情形球面平均法行波法降维法有限弦的振动问题1.4.31.4.3、波动方程的求解、波动方程的求解1 1、达朗贝尔公式的推导、达朗贝尔公式的推导一维波动方程一维波动方程称为一维波动方程的称为一维波动方程的行波解行波解，f，g由定解条件给出。由定解条件给出。一、一、行波法行波法例例1.4.6、求无限长弦的自由振动，其数学模型是一维波动方程的初值问题。、求无限长弦的自由振动，其数学模型是一维波动方程的初值问题。则初值问题的解为则初值问题的解为此式称为此式称为达朗贝尔公式。达朗贝
28、尔公式。稳定性稳定性证明证明2 2、达朗贝尔公式的适定性、达朗贝尔公式的适定性故只要初始条件的误差故只要初始条件的误差足够小，解的误差可控制在一定范围内。即达足够小，解的误差可控制在一定范围内。即达朗贝尔公式给出的解是稳定解。由此可见，一维波动方程的初值问题是朗贝尔公式给出的解是稳定解。由此可见，一维波动方程的初值问题是适定的适定的。结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。3 3、达朗贝尔解的物理意义、达朗贝尔解的物理意义b.只有初始速度时：a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波影响区域决定区域依赖区间特
29、征线特征变换行波法又叫特征线法4 相关概念5 5、达朗贝尔公式的应用、达朗贝尔公式的应用例1解：由达朗贝尔公式(1).无界弦的自由振动无界弦的自由振动 特征边值问题（Goursat问题）解：通解(2).无界弦的强迫振动无界弦的强迫振动(3).半无界弦的自由振动半无界弦的自由振动即一端 x=0 固定的振动。希望能利用达朗贝尔公式来求解为此，我们作奇延拓，将(x),(x)从x0延拓到x0。再利用达朗贝尔公式求解。作辅助函数为了得到半无界问题的解，只须限制当时，当时，例当当 求三维波动方程的球面对称解解：由初始条件的球对称性，可未知函数代入初始条件，即得特解。发散波发散波会聚波会聚波线性偏微分方程可
30、以看成是一个线性算符作用在函数上的结果。线性偏微分方程可以看成是一个线性算符作用在函数上的结果。u(x,y,z,t)L u =f(x,y,z,t)L u =0若若L u1 =0,L u2 =0 则则L c1u1+c2u2 =0 若若L u1 =f,L u2 =0 则则L u1+u2 =f 即：即：L c1u1+c2u2 =c1Lu1+c2Lu2 性质性质1.5 叠加原理和齐次化原理叠加原理和齐次化原理1.1.线性叠加原理线性叠加原理(1)有限叠加原理有限叠加原理 设满足线性方程（或线性定解条件）那么这些解的线性组合必满足方程（或定解条件）：(2)级数级数叠加原理叠加原理 设满足线性方程（或线性
31、定解条件）且级数收敛，并满足算子中出现的偏导数与求和记号交换次序所需要的条件，那么满足线性方程（或定解条件）(3)积分积分叠加原理叠加原理 设满足线性方程（或线性定解条件）其中，x表示自变量组；r为参数组，rV。且积分收敛，并满足中出现的偏导数与积分运算交换次序所需要的条件，那么满足方程（或定解条件）特别地，当满足齐次方程（或齐次定解条件）时，也满足此齐次方程（或齐次定解条件）。利用叠加原理将问题进行分解：(2).无界弦的强迫振动无界弦的强迫振动利用齐次化原理，若 满足：则：令：从而原问题的解为解：由上面结果齐次化原理齐次化原理（Duhamel原理）原理）齐次化原理齐次化原理的证明需要用到参变
32、量积分的求导2、齐次化原理齐次化原理复习复习：一阶线性常微分方程的通解：一阶线性常微分方程的通解1 1、齐次方程、齐次方程通解通解2 2、非齐次方程、非齐次方程先求齐次方程的解将(2)、(3)式代入(1)则，通解通解常数变易法复合函数复合函数求导法则求导法则一阶常微分方程的一般形式:F(x,y,y)=0 (1)如果一阶常微分方程为:g(y)dy=f(x)dx (2)常微分方程写成一端只含有y的函数和dy,另一端只含有x的函数和dx,那么原方程称为可分离变量的微分方程.把(2)式两端同时积分:g(y)dy=f(x)dx 设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)的原函数,则:G(Y)=F(x)
33、+C (3)隐式解隐式解:(3)式为微分方程(2)的隐式解.隐式通解隐式通解:(3)式中含有任意常数,因此(3)式为微分方程(2)的隐式通解.隐式通解隐式通解正交曲面坐标系正交曲面坐标系平面极坐标（平面极坐标（r r，）三维三维二维二维柱坐标（柱坐标（r r，,z）三维三维球坐标（球坐标（r，,）其中：其中：-理想弦的振动方程。理想弦的振动方程。n 推广推广 二维、二维、三维波动方程三维波动方程非齐次非齐次齐次齐次齐次齐次非齐次非齐次一般地说，设已知一个函数f1(z)在区域D1中解析，如果在与D1有重叠部分D12的另一区域D2内，存在解析函数f2(z)，且在D12中f1(z)f2(z),则f2(z)称为f1(z)在D2中的解析延拓；同样，f1(z)称为f1(z)在D1中的解析延拓。定解问题的叠加原理定解问题的叠加原理说明：非齐次线性偏微分方程的定解问题可以分解成几个定解问题的叠加，只要这些定解问题的微分方程与定解条件的线性叠加恰好是原来的微分方程与定解条件就可以。令T=t-，则由达朗贝尔公式得：