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1、第 九 章正弦稳态电路的分析9-1 阻 抗 和 导 纳一、阻抗1.元件的阻抗 元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联参考方向）之比为元件的阻抗，记为 Z。即 。R电阻单位：欧姆（）.电感jL电容9-1 阻 抗 和 导 纳一、阻抗1.元件的阻抗 元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联参考方向）之比为元件的阻抗，记为 Z。即 。Z元件 欧姆定律的相量形式2.一端口的阻抗 对于不含独立源的一端口，在正弦稳态下其端口电压相量与端口电流相量（关联参考方向）之比为 一端口的阻抗，记为 Z。单位：欧姆（）.单位：欧姆（）.3.分析(1)元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为：，不再表现为微积
2、分的关系；(2)为一复数，记为 Z=R+jX.其中：R 电阻重量()；X 电抗重量()XL=L 感抗；容抗(3)=R+jX=|Z|ZZ=u i(4)阻抗的性质i)X 0,=R+jX=|Z|ZZ 0,u i 0,电压超前于电流，称阻抗 Z 呈感性；ii)X 0,Z 0,u i 0,Y 0,i u 0,电流超前于电压，称导纳 Y 呈容性；ii)B 0,Y 0,i u 0,电流滞后于电压，称导纳 Y 呈感性；iii)B=0,Y=0,i u=0,电流与电压同相，称导纳 Y 呈阻性；=G+jB=|Y|Y思索：感性的阻抗对应的导纳的性质如何？仍为感性。(5)导纳三角形G|B|Y|Y|(6)导纳是频率的函数
3、 Y(j)=G()+jB()+1+jO(1)例 已知 R=15,L=10mH,C=100F,求 uS(t)分别为 与 时的稳态电流 i(t)，并画出相量图。uS(t)R L Ci(t)iRiLiC+1+jO(2)6676I=19.7 66 AZ=3.64 76 Z=6.09 66 I=33 76 AY=0.164 66 SY=0.275 76 S思索：(1)|Z|与|Y|关系如何？(2)Z 与 Y 关系如何？(3)R，X，G，B 关系如何？Z=Y9-2,3,4 正弦稳态电路的分析一、两类约束的相量形式与电阻电路两类约束形式的比较电阻电路形式正弦稳态下的相量形式u=R iKLKCL:KVL:VC
4、R:结论：直流电阻电路的分析方法和全部结论都可以“移植”到正弦稳态分析的相量模型中来。i=G u 二、阻抗和导纳的串并联（9-2）R2RkRnR1ReqReq=R1+R2+RnZeq=Z1+Z2+ZnZ2ZkZnZ1ZeqGeq =G1+G2+Gn G1G2GkGnGeqY2YkYnY1YeqYeq=Y1+Y2+Yn+U+UkIIk例：电路如图所示，求 i(t),iC(t),iL(t)。uS(t)1.5k1ki(t)iC(t)iL(t)解：(一)建立电路的相量模型；(1)独立源的参数用相量标出；(2)电阻、电容、电感用阻抗值（导纳值）标出；(3)支路电压电流变量用其相量标出。(二)依据相量模型
5、，利用电阻电路的各种分析方法求解未知量（相量形式）；(三)将相量解转换为正弦函数。ab三、有伴电压源与有伴电流源的等效变换例 用等效变换法求电路中 R=3 时的 iab,uab。其中L1=L2=0.28H,C1=1mF。iS1C1RL1L2uS2abj10Aj10j28j28140 0 V3+四、输入阻抗例 求如图所示正弦稳态电路的输入阻抗。1111Fieie+uSUS111IeIe五、网孔电流法直流电阻电路：（m个网孔，m个网孔电流 Im1,Im2,Imm）正弦稳态电路：（m个网孔，m个网孔电流 Im1,Im2,Imm）+例 uS=6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1,i2。uS1k
6、2000i1i1i2+解：1.作相量模型1k0 Vj1kj1k2.作相量分析：列解网孔方程3.反变换六、结点电压法直流电阻电路：(n个节点,n 1个节点电压un1,un2,un(n1)正弦稳态电路：(n个节点,n 1个节点电压 Un1,Un2,Un(n1)例 uS=6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1,i2。uS1k2000i1i1i2+解：1.作相量模型+1k0 Vj1kj1k2.作相量分析：列解结点方程3.反变换 七、叠加定理例 如图所示正弦稳态电路，uSiiSiS=4 cos(100t+45)A，试用叠加定理求 i(t)。10100.1H解：1.作相量模型20 0 V45 A10
7、10j102.作相量分析：用叠加定理求解3.反变换八、戴维宁定理和诺顿定理例 求图示正弦稳态电路的戴维宁等效电路。10 0 V100j50j200+UOCZL试求使负载电流 I 与电源 US 同相位的 ZL的条件。XL=200 2RL（容性负载）九、无源二端网络相量模型的等效时域电路例 1 已知 Z=2+j4 ,=10 rad/s,求时域电路模型。20.4H例 2 已知 Z=2 j4 ,=10 rad/s,求时域电路模型。20.025FY=0.1 j0.2S Y=0.1+j0.2S 0.1S0.5H0.1S0.02F十、利用相量图求解电路例 如图所示电路，求输出电压 uO(t)对 uS(t)的
8、相位关系。+uS+uORC解：（一）解析法+US+UOR（二）相量图法例 已知 US,R1,R2,R3,C，R1=R2，用相量图法求 Uab.abcoR1R2R3US3解：UabUcaUaoUSUcbUboUabab思考：若 R3 可调，Uab 如何变化？9-5 正 弦 稳 态 功 率一、元件与一端口的瞬时功率 p(t)p(t)=u(t)i(t)关联参考方向下元件或一端口瞬时吸取的功率1.电阻pR(t)=uR iR=2URIR cos2(t+)=UR IR 1+cos2(t+)uR iR pROtpRuRiR单位：瓦特（W）2.电感pL(t)=uL iL=2ULIL cos(t+)sin(t+
9、)=UL IL sin2(t+)uL iL pLOtpLuLiL3.电容pC(t)=uC iC=2UCIC cos(t+)sin(t+)=UC IC sin2(t+)uC iC pCOtpCuCiC4.一端口p(t)=u i=2UI cos(t+u)cos(t+i)=U I cos(2t+u+i)+cos(u i)puiu i pOtuR iR pROt电阻 pR(t)=UR IR 1+cos2(t+)电感 pL(t)=UL IL sin2(t+)uL iL pLOtuC iC pCOt电容 pC(t)=UC IC sin2(t+)一端口p(t)=2UI cos(t+u)cos(t+i)u i
10、 pOt二、平均功率 P1.定义：瞬时功率在一个周期内的平均值。单位：瓦特（W）2.元件的平均功率(1)电阻pR(t)=2URIR cos2(t+)=UR IR 1+cos2(t+)PR=URIR=IR2 RuR iR pROtPR=URIR(2)电感pL(t)=2ULIL cos(t+)sin(t+)=UL IL sin2(t+)PL=0(3)电容pC(t)=2UCIC cos(t+)sin(t+)=UC IC sin2(t+)PC=0电感uL iL pLOtuC iC pCOt电容3.一端口的平均功率p(t)=u i=2UI cos(t+u)cos(t+i)=U I cos(2t+u+i)
11、+cos(u i)P=U I cos(u i)例：求图示电路中 4 电阻吸取的功率及各电源发出的平均功率。40 0 V4j4j420 0 V*引例GjX+uip=pG+pXpX=p pGp(t)=u i=2UI cos(t+u)cos(t+i)=U I cos(2t+u+i)+cos(u i)=U I cos(u i)+U I cos2(t+u)(u i)=U I cos(u i)+U I cos2(t+u)cos(u i)+sin2(t+u)sin(u i)=U I cos(u i)1+cos2(t+u)+U I sin2(t+u)sin(u i)pG(t)=u2G=2GU2 cos2(t+
12、u)=GU2 1+cos2(t+u)pX(t)=U I sin2(t+u)sin(u i)GjX+uip=pG+pXpX=p pGp(t)=pG+pX=UI cos(u i)1+cos2(t+u)+UI sin2(t+u)sin(u i)u i pOtP=UI cos(u i)pGpX*引例三、无功功率1.元件或一端口的无功功率：Q=U I sin(u i)单位：乏（var）2.元件的无功功率(1)电阻QR=UR IR sin(u i)(2)电感QL=UL IL sin(u i)=0=UL IL sin 90(3)电容QC=UC IC sin(u i)=UC IC sin(90)=UL IL=
13、L IL2=UC IC=C UC2(1)QR=0QL=UL IL=L IL2QC=UC IC=C UC23.分析 电阻的无功功率为零，电感吸取无功功率，电容发出无功功率。N0+U I(2)不含独立源的一端口的无功功率：Q=U I sin(u i)Z=u i=I2|Zeq|sin Z=U I sinZ=I2 ImZeq=U2|Yeq|sin Z=U2 ImYeq(3)无功功率守恒 电路中某一部分的无功功率等于该部分中全部电抗的无功功率之和。思索：如何计算电源发出的无功功率？I +US Q=US I sin(u i)四、视在功率1.元件或一端口的视在功率：S=U I单位：伏安（VA）3.元件的视在
14、功率(1)电阻SR=UR IR(2)电感SL=UL IL=IR2 R(3)电容SC=UC IC=L IL2=C UC2=UR2 G2.S 与 P,Q的关系3.分析N0+U I(1)不含独立源的一端口的视在功率：S=U I=I2|Zeq|=U2|Yeq|Z=u iP=U I cosZ=S cosZQ=U I sinZ=S sinZ(2)视在功率不守恒.五、功率因数1.定义：(超前)(滞后)对于不含独立源的一端口：2.物理含义例 1 已知 ，求图中 R,L,C三元件的 P,Q,S 和。40.08H0.002FuS解：4j8j510 0 V相量模型例：已知 ,求图示正弦稳态电路中电源发出的有功功率，
15、无功功率，视在功率及其功率因数。5 0 Aj1j1+iS(t)2120.5H0.5F212解：相量模型9-6 复 功 率一、定义单位：伏安（VA）元件或一端口的复功率：(I )*u=Ui I u=Uiu i=UI=Su i=S cos(u i)+j Ssin(u i)=P+j QS=P+jQ=Su i二、分析(1)电阻=UR IR(2)电感(3)电容1.元件的复功率u i=URIRu i=ULILu i=UCIC=jUL IL=jUCIC=PR=jQL=jQC2.不含独立源的一端口的复功率N0+U I=I2 Zeq=I2|Zeq|Z=SZ=U2 Yeq*=U2|Yeq|Y=SY=SZ3.S 与
16、 S,P,Q 的关系4.复功率相量不代表正弦量=P+jQ=Su iP=ReS Q=ImS S=|S|5.S=P+jQ复功率守恒例 如图所示正弦稳态电路，求各个电源供应电路的有功功率和无功功率。100 60 Vj20j204410 30 A+三、功率因数的提高例 已知 U=220V,50Hz，RL负载 P=50 kW，=0.5(滞后)求：(1)求未接电容时的 I 与 Q；(2)欲使 =1，求并联的电容 C；(3)欲使 =0.9，求并联的电容 C。RjL+ICZUZI9-7 最大功率传输一、问题给定 N，ZL 取何值时获得最大功率？ZeqUocZLN含源一端口ZL二、若 ZL的实部 RL,虚部 X
17、L 皆可变ZL=Zeq*即 RL=Req ,XL=Xeq 共轭匹配三、若 ZL的模|ZL|可变,阻抗角 L 不行变|ZL|=|Zeq|共模匹配即ZeqUocZL5j100 VZL例 (1)若 ZL=5，求 ZL获得的功率；(2)若 ZL 为纯电阻，但大小可变，ZL 取何值时可获得最大功率？(3)若 ZL 可随意变更，取何值时可获得最大功率？9-8,9 谐 振 电 路一、阻抗与导纳是频率的函数e.g.RjLZ(j)=R()+jX()Y(j)=G()+jB()二、谐振1.定义 一端口的电压与电流同相，称一端口的工作状态为谐振。2.串联 RLC 电路的谐振RjL+U(1)谐振频率 串联 RLC 电路
18、的谐振频率(2)工作状态+UR+UL +UC =QU 品质因数 谐振时电路获得最大电流2.串联 RLC 电路的谐振RjL+U(1)谐振频率 串联 RLC 电路的谐振频率+UR+UL +UC (3)功率P=U I cos(u i)=U I=I2 RQ=U I sin(u i)=0QL=0LI2QL+QC=0=13.并联 GCL 电路的谐振GjC+U(1)谐振频率 并联 GCL 电路的谐振频率(2)工作状态IC=QI 品质因数 谐振时电路获得最大电压ILIG3.并联 GCL 电路的谐振GjC+U(1)谐振频率 并联 GCL 电路的谐振频率ICILIG(3)功率P=U I cos(u i)=U IQ=U I sin(u i)=0QL+QC=0=1QC=0CU2=U2 G例：如图所示正弦稳态电路，电压源uS1：f1=820kHz，US1=0.1mV；电压源uS2：f2=1530kHz，US2=0.1mV。求对 f1 谐振时的电容 C 及此时的品质因数 Q，UC1，UC2。uS1uS20.25mH13C+uCC=150.7pFQ=99.1UC1=9.91mVUC2=0.04mV