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1、北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -1-北京市东城区 20162017 学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共 100 分。考试时长 120 分钟。第一部分（选择题 共 24 分）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数 z1+2i,则 z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B。第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.直线tytx211,233（t 为参数）的斜率为 A。33 B。23 C。33 D。21 3.在10)2(x的展开式中，6x的系数为 A。41016C B.4103
2、2C C。6108C D。61016C 4。一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A.4 种 B.12 种 C.24 种 D。120 种 5.在极坐标系中，点)3,2(到直线2cos的距离为 A.21 B。1 C。2 D.3 6。袋子中装有大小完全相同的 6 个红球和 4 个黑球,从中任取 2 个球，则所取出的两个球中恰有 1 个红北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -2-球的概率为 A.154 B.2512 C.158 D。53 7.函数xeyxcos|的图象大致为 8。甲、乙两人约好一同去看变形金刚 5，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影,此时
3、还剩 9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表：1 排 4 号 1 排 5 号 1 排 8 号 2 排 4 号 3 排 1 号 3 排 5 号 4 排 1 号 4 排 2 号 4 排 8 号 丙从这 9 张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息,丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙。下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说:“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定。乙对甲说:“本来我不能确定，但是现在我能确定了。”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是 A.4 排 8 号 B。3 排 1 号 C.1 排 4 号
4、D。1 排 5 号 第二部分（非选择题 共 76 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分,共 24 分。请把答案填在相应题中横线上）9.i 是虚数单位，复数ii131_.10.定积分11)sin2(dxxx的值为_。11.在高台跳水运动中,某运动员相对于水面的高度 h（单位:m)与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系105.69.4)(2ttth，则该运动员在st5.0时的瞬时速度为v_m/s。12。若55443322105)12(xaxaxaxaxaax,则43210aaaaa5a的 值 为_.13.随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起.佳佳
5、为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束，客服为佳佳提供了两个系列，如下表：北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -3-粉色系列 黄色系列 玫瑰 戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山 假日公主、金辉、金香玉 康乃馨 粉色、小桃红、白色粉边 火焰、金毛、黄色 配叶 红竹蕉、情人草、满天星 散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊 佳佳要在这两个系列中选择一个系列，再从中选择 2 种玫瑰、1 种康乃馨、2 种配叶组成混合花束。请问佳佳可定制的混合花束一共有_种。14.已知平面向量),(nma，平面向量),(qpb（其中Zqpnm,）。定义：),(npmqnqmpba,若)1,2(),2,1(ba，则ba
6、_;若)0,5(ba,且5|,5|ba，则 a_，b_(写出一组满足此条件的 a 和 b 即可）.三、解答题(本大题共 6 小题，共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15。（本题满分 9 分）已知函数1)(23xxxf.（)求函数)(xf在点)1(,1(f处的切线方程；（）求函数)(xf的极值。16。（本题满分 8 分）电视连续剧人民的名义自 2017 年 3 月 28 日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位。我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了 600人，得到结果如下：其中图 1 是非常喜欢人民的名义这部电视剧
7、的观众年龄的频率分布直方图；表 1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数.观看方式 年龄（岁)电视 网络)45,15 150 250 北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -4-65,45 120 80 表 1 求：(）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替,求非常喜欢人民的名义这部电视剧的观众的平均年龄；（)根据表 1，通过计算说明我们是否有 99的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？)(02kKP 0.50 0.40 0。25 0.15 0.10 0.05 0。025 0。010 0.005 0.001 0k 0.455 0。708 1.323 2.072 2.706 3。84
8、1 5。024 6.635 7。879 10.828 附：)()()()(22dbcadcbabcadnK 17.（本题满分 8 分）已知数列na的前 n 项和为nS，且满足naSnn 2，求数列na的通项公式.勤于思考的小红设计了下面两种解题思路,请你选择其中一种,并将其补充完整.思路 1：设 n 的值为 1，根据已知条件,计算出:1a_,2a_,3a_。猜想:na_。用数学归纳法证明，证明过程如下：当 n1 时，_,猜想成立。假设)(*Nkkn时，猜想成立,即ka_.那么，当1 kn时，由已知naSnn 2,得1kS_.又kaSkk 2，两式相减并化简,得1ka_（用含 k 的代数式表示)
9、。所以，当1 kn时,猜想也成立。根据和,可知猜想对任何k*N都成立.思路 2:设 n 的值为 1，根据已知，计算出 a1_.由已知naSnn 2，写出1nS与1na的关系式：1nS_。两式相减，得1na与na的递推关系式：1na_.整理：11na_.发现：数列1na是首项为_，公比为_的等比数列。得出：数列1na的通项公式1na_，进而得到na_。18.（本题满分 9 分)为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行。根据王老师从 2017 年 3 月到 2017 年 5 月的出行情况统计可知,王老师每次出行北京市东城区高二
10、数学下学期期末考试试题 理 -5-乘坐地铁的概率是 0。4，骑共享单车的概率是 0.6，乘坐地铁单程所需的费用是 3 元,骑共享单车单程所需的费用是 1 元，记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为 X 元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的。()求 X 的分布列和数学期望 E（X）；（）已知王老师在 2017 年 6 月的所有工作日(按 22 个工作日计）中共花费交通费用 110 元，请判断王老师 6 月份的出行规律是否发生明显变化,并依据以下原则说明理由.原则：设 a 表示王老师某月平均每个工作日出行的费用，若5)(|)(|XDXEa，则有 95%以上的把握认为王老师该月的出
11、行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化。（注:niiipXExXD12)()(19。(本题满分 9 分）已知函数)(xfRaxax),1(ln。（)求)(xf的单调区间；（）若对任意的),0(x，都有22)(axf，求实数 a 的取值范围。20。(本题满分 9 分)已知随机变量的取值为不大于 n 的非负整数值，它的分布列为 0 1 2 n P 0p 1p 2p np 其 中,2,1,0(ip,n)满 足:1,0ip,且210ppp1np,定 义 由生 成 的 函 数2210)(xpxppxfnnxp,令)()(xfxg。（)若由生成的函数32412141)(xxxxf，求)2(P的值;（)求
12、证：随机变量的数学期望),1()(gE的方差2)1()1()1()(gggD；niipEiD02)()(）（）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和,此时由生成的函数记为)(xh,求 h（2）的值.北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -6-【试题答案】一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分,共 24 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C B C D B 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 4 分，共 24 分）题号 9 10 11 12 13 14 答案 i2 0 1.6 1 108（0，5）;（2,1），（2,1)或者（1，2)，(1
13、，2）等 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分）15。（本题满分 9 分)解：（)xxxfxxxf23)(,1)(223，1 分 则123)1(,1)1(ff，3 分 则函数)(xf在点)1(,1(f处的切线方程为1y1x，化简得xy。4 分(）令023)(2xxxf,解得32,020 xx。5 分 当 x 变化时，)(),(xfxf 的变化情况如下表：x)0,(0)32,0(32),32()(xf 0 0 )(xf 单调递增 1 单调递减 2723 单调递增 7 分 因此，当0 x时，)(xf有极大值,并且极大值为1)0(f；当32x时，)(xf有极小值，并且极小值为2723)32(
14、f。9 分 16。（本题满分 8 分）解：（）平均年龄为 4115.06020.05040.04010.03015.020 x。4 分（）根据列联表中的数据，利用公式可得 K2的观测值 200400330270)25012080150(6002k27.2711300。6 分 635.627.27k,北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -7-有 99把握认为观看该剧的方式与年龄有关.8 分 17.（本题满分 8 分）解：思路 1：11a，1 分 32a，2 分 73a,3 分 12 nna,4 分 11211a，5 分 12 kka，6 分)1(211kaSkk，7 分 1211kka。
15、8 分 思路 2：11a，1 分)1(211naSnn，2 分 121nnaa，3 分)1(211nnaa，4 分 2，5 分 2,6 分 nna21,7 分 12 nna.8 分 18.（本题满分 9 分)解：（）依题意，X 可能的取值是 2，4，6，因此 X 的分布列为 X 2 4 6 P 0.36 0.48 0.16 由此可知，X 的数学期望为 6.316.0648.0436.02)(XE。5 分（）判断：有 95%以上的把握认为王老师该月的出行规律与 35 月的出行规律相比有明显变化。6 分 理由如下:6 月共有 22 个工作日,共花费交通费用 110 元,平均每天出行的费用52211
16、0a(元）。7 分 北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -8-又92.116.0)6.36(48.0)6.34(36.0)6.32()(222XD.8 分 则592.14.1|6.35|)(|XEa。则有 95 以上的把握认为王老师该月的出行规律与 35 月的出行规律相比有明显变化。9 分 19。（本题满分 9 分）解:(）)0(11)(xxaxaxxf，1 分 当0a时,0)(xf恒成立，则)(xf在),0(上单调递增；2 分 当0a时,令0)(xf，则ax10，则)(xf在区间)1,0(a上单调递增，在区间),1(a上单调递减。4 分（）方法 1：当0a时，因为220)1(af,所
17、以不会有22)(),0(axfx。5 分 当0a时，由（)知，)(xf在),0(上的最大值为 1ln)11()1ln()1(aaaaaaf.6 分 所以22)(),0(axfx等价于221ln)1(aaaaf，即01ln aa。7 分 设)1(ln1ln)(xxxxxg，由（）知，)(xg在),0(上单调递增,又0111ln)1(g,所以01ln aa的解为1a，8 分 故22)(),0(axfx时，实数 a 的取值范围是),1 .9 分 方法 2:22)(),0(axfx，等价于12lnxxa，5 分 令12ln)(xxxg，则2)1(1ln1)(xxxxg,6 分 令1ln1)(xxxh,
18、则22)1(11)(xxxxxh.因为当0)(),0(xhx恒成立,所以)(xh在),0(上单调递减。7 分 北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -9-又011ln1)1(h,可得)(xg和)(xg在),0(上的情况如下:x（0，1)1),1()(xg 0 )(xg 单调递增 单调递减 所以)(xg在),0(上的最大值为11121ln)1(g,8 分 因此)(),0(xgax等价于1)1(ga，故22)(),0(axfx时,实数 a 的取值范围是),1 。9 分 20。（本题满分 9 分)解：（）21)2(P。2 分（）由于210210)(pppEnpn，xppxfxg212)()(1
19、nnxnp,所以)1()(gE.4 分 由的方差定义可知 ninininiiiiipiEpEpipEiD0000222)(2)()()(ninininiiiiipiEpEpipii20002)(2)()1(niiEEEpii222)(2)()()1(niiEEpii22)()()1(niiggpii22)1()1()1(。由于xppxg212)(1nnxnp,xppxg32232)(2)1(nnxpnn,32232)1(ppgniinpiipnn2)1()1(,所以2)1()1()1()(gggD。6 分(）方法 1：投掷一枚骰子一次，随机变量的生成的函数为)(61)(65432xxxxxxx
20、f，7 分 北京市东城区高二数学下学期期末考试试题 理 -10-投掷骰子两次生成的函数为265432)(61)(xxxxxxxh，8 分 所以44121)2(2h.9 分 方法 2：的取值为 2，3，4，5，6，7,8,9，10，11，12，7 分 则的分布列为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 8 分 则1098765432363364365366365364363362361)(xxxxxxxxxxh1211361362xx，则36)1024102476851232019280321241(4)2(h 44193969.9 分