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1、第十三章 幂级数13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1求下列各幂级数的收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）； （15）；（16）解（1）由，故收敛半径,收敛域为（2）由 ，故收敛半径在，级数为，发散；在，级数为，由交错级数的Leibniz判别法，知其收敛，因而收敛域为（3），所以收敛半径由于，故在级数发散，因此收敛域为（4）由，知收敛半径在，级数为绝对收敛，故收敛域为.（5）由，故收敛半径在，级数，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为和，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数发散；同样，时，级数为，也可
2、拆成两部分，前一部分为，另一部分，前者发散，后者绝对收敛，因此级数发散，所以收敛区域是（6），所以级数的收敛半径是当时，级数为发散；当时，级数为收敛因此，收敛域为即.（7） ，所以收敛半径当时，级数为，由于，故由Raabe判别法，知级数发散；当时，级数为（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于，故单调下降，且由（用数学归纳法证之）及夹迫性知，由Leibniz判别法，知收敛，所以收敛域为（8），所以收敛半径由于，故级数在发散，因而收敛域为（9），所以在，级数为，由Leibniz判别法，知其收敛；在，级数为发散，故收敛域（10），所以在，由于，即级数一般项当n时不趋于0，因此级数发散
3、，故收敛域（11），因此在，级数为，因为级数一般项的绝对值为对一切成立，所以，即级数发散，因此收敛域为（12） 因为，所以而在，由于，故级数在均发散，因而收敛区间为（13）因为，所以又在，显然级数均发散，故收敛域为（14）由于，故，均绝对收敛，因而收敛半径，收敛域（15）因为（），所以，收敛域为（16），所以在，级数变为，故当时都收敛；时，收敛，而发散，时一般项不趋于0，均发散因此，当时，收敛域；时，收敛域为；而当时, 收敛域为2设幂级数的收敛半径为, 的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径：（1）；（2）；（3） 解（1）由题设，所以，故当,即时，级数绝对收敛，而当，即时，级数发散，因此级数的
4、收敛半径为（2）收敛半径必，而不定，需给出，的具体表达式才可确定，可以举出例子（3），所以收敛半径为，只有当中一个为0，另一个为时，不能确定，需看具体，来确定，可以是中任一数3设，求证：当时，有（1）收敛；（2）证明（1）=，而由于，故数列单调递减趋于0，级数的部分和数列有界，由Dirichlet判别法，级数收敛(2) 设的部分和为，则由Abel变换，有，所以，13.2 幂级数的性质1设当时收敛，那么当收敛时有，不论当时是否收敛证明 由于幂级数的收敛半径至少不小于，且该幂级数在收敛，因而该幂级数在一致收敛（Abel第二定理），因此该幂级数的和函数在连续，即又，由于当时收敛，故可逐项积分，即，即
5、，令取极限即有 2利用上题证明证明 ，故，而级数是收敛的，利用上题结论，就有3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）解（1）因为 ，所以当时，,即，且当时，级数收敛，由Abel第二定理，有（2）设，则，逐项积分，有，所以，即（3）设，则有，所以，（4）设，则，所以，（5） 设 ，由于，所以， ，故 （6）设，则，所以， ，则（在理解为极限值）（7）令, 则，所以，故，因此（在理解为极限值）（8），收敛半径，在，有，由于，故级数发散可得 ，（9）设，则有，所以，即，所以，（10）设，则有（逐项积分），所以，则4.求
6、下列级数的和：（1）；（2）解 （1）考虑级数，由于，逐项积分，所以，故有（2）设，则级数在绝对收敛，所以，因此，5证明：(1) 满足方程；(2) 满足方程解（1）对级数，由，故收敛半径，收敛域为，而采取用逐项求导得，即满足方程（2）级数收敛域为，设，通过逐项求导得， ，所以， ，即满足方程6设是幂级数在上的和函数，若为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项证明 由于，由是奇函数，即，得，故，有，故当为偶数时，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项同样，若为偶函数，即，得，故，有，当为奇数时，有，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的
7、项7设求证：（1）在连续，在内连续；（2）在点可导；（3）；（4）在点不可导；证明（1）由于，而级数收敛，由M判别法，知级数在一致收敛，而级数的每一项为幂函数在连续，故和函数在连续又级数的收敛半径为，因此在内，其和函数连续（2）幂级数在成为，由Leibniz判别法，知级数收敛，由Abel第二定理，幂级数在一致收敛，因而其和函数在右连续，因此存在，且（3）（4）因为，故在点不可导13.3函数的幂级数展式1利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin级数，并说明收敛区间（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（
8、14）解（1） （） （）（2），（3） ，（4） ，（5），（6） （） ，（7） （） （） （） ，（8） （） ， 所以， ，即（9） （且） ，（10）（） ，所以，在，由于，用Raabe判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为（11），（12），（13），（14） ，2利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin展开式：（1）；（2）；（3）解（1），（2），（3），3将下列函数在指定点展开为Taylor级数：（1）；（2）；（3）；（4）解（1），（2） ，（3）（），（4），4展开 为的幂级数，并推出解 ，所以，5试将展开成的幂级数解 令，则 ，因而有 ，6函数在区间内的各阶导数一致有界，即，对一切，有，证明：对内任意点与，有证明 由Taylor公式，有，其中，其中在与之间故在区间可以展成的幂级数，即，