圆轴扭转的切应力与强度计算变形几何关系优秀PPT.ppt

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1、第5章 扭 转 与 剪 切 第5章 扭 转 与 剪 切 5.1 扭转的概念与实例扭转的概念与实例 5.2 外力偶矩与扭矩外力偶矩与扭矩 5.3 圆轴扭转的切应力与强度计算圆轴扭转的切应力与强度计算 5.4 圆轴扭转变形与刚度计算圆轴扭转变形与刚度计算 5.5 剪切与挤压的好用计算剪切与挤压的好用计算 思索与练习思索与练习 第5章 扭 转 与 剪 切 5.1 扭转的概念与实例扭转的概念与实例 5.1.1 扭转的概念扭转的概念 图 5.1 第5章 扭 转 与 剪 切 其变形特点是：杆件的随意两横截面绕轴线产生相对转动，但杆的轴线位置和形态保持不变。这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆件称为轴。第

2、5章 扭 转 与 剪 切 5.1.2 受扭圆轴实例受扭圆轴实例 图 5.2 第5章 扭 转 与 剪 切 图 5.3 第5章 扭 转 与 剪 切 5.2 外力偶矩与扭矩外力偶矩与扭矩 5.2.1 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 在在工工程程中中，作作用用于于圆圆轴轴上上的的外外力力偶偶矩矩一一般般不不是是干干脆脆给给出出的的，通通常常给给出出的的是是圆圆轴轴所所需需传传递递的的功功率率和和转转速速。因因此此，须须要要了了解解功功率、率、转速和外力偶矩三者之间的关系，转速和外力偶矩三者之间的关系，即即 式中,M作用于轴上的外力偶矩,单位:Nm；P轴所传递的功率,单位:kW；n轴的转速,单位:r/mi

3、n。说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；轴上输出力偶矩是阻力偶矩，其转向与轴的转向相反。第5章 扭 转 与 剪 切 【例例5.1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min，试计算此传动轴传递的外力偶矩。解解 由公式(5.1)计算得 第5章 扭 转 与 剪 切 图 5.4 第5章 扭 转 与 剪 切 由力偶平衡条件可知：m-m截面上必需有一个内力偶矩与外力偶矩1平衡，此内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，T的单位为Nm。由m=0得 若取m-m横截面的右端部分为探讨对象，画出受力图,如图5.4(c)所示。可求得m-m横截面上的扭矩T，明显，T与T大小相等，方向

4、相反，即为作用与反作用关系。由m=0得T+2-M3=0 T=M3-M2(M1=M3-M2)第5章 扭 转 与 剪 切 图 5.5 第5章 扭 转 与 剪 切 5.2.3 扭矩图扭矩图 通通常常圆圆轴轴上上各各横横截截面面上上的的扭扭矩矩是是不不相相同同的的。为为了了直直观观地地表表示示圆圆轴轴上上扭扭矩矩的的作作用用状状况况，把把圆圆轴轴的的轴轴线线作作为为x轴轴（横横坐坐标标轴轴），以以纵纵坐坐标标轴轴表表示示扭扭矩矩T，这这种种用用来来表表示示圆圆轴轴横横截截面面上上扭扭矩矩沿沿轴线方向变更状况的图形称为扭矩图。轴线方向变更状况的图形称为扭矩图。第5章 扭 转 与 剪 切【例5.2】绘出图

5、5.6(a)所示的悬臂梁的扭矩图。图 5.6 第5章 扭 转 与 剪 切 解解(1)计算梁上各段横截面上的扭矩。因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段,如图5.6（b）所示。由平衡方程T1-500=0 得T1=500 Nm AB段：如图5.6（c）所示。T2+2000-500=0T2=-1500 Nm (2)绘制扭矩图如图5.6(d)所示。第5章 扭 转 与 剪 切 【例例5.3】已知一传动轴如图5.7(a)所示，主动轮A上输入功率为15 kW，B、C轮为输出轮，输出轮B上输出功率为10 kW，轴的转速为n=1000 r/min。试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出扭矩图。解解(1)计算外力偶矩

6、M。方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反 第5章 扭 转 与 剪 切(2)计算扭矩T。由图5.7(b)可得 T1+MA=0 T1=-MA=-143.24Nm 由图5.7(c)可得 T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75Nm 第5章 扭 转 与 剪 切 (3)绘制扭矩图如图5.7(d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩最大，其值为-143.24 Nm。图 5.7 第5章 扭 转 与 剪 切 5.3 圆轴扭转的切应力与强度计算圆轴扭转的切应力与强度计算 5.3.1 变形几何关系变形几何关系 取取一一等等截截面面圆圆轴轴，在在其其表表面面上上作作出出两两条条平平行行于于轴轴线线的的纵

7、纵向向线线aa、bb,两两条条圆圆周周线线11、22，如如图图5.8(a)所所示示。再再在在圆圆轴轴的的两两端端分分别别作作用用一一个个外外力力偶偶M，使使杆杆件件发发生生扭扭转转变变形形。由由图图5.8(b）可可以以看看到到以以下下变变形形现现象象：各各圆圆周周线线的的形形态态、大大小小、间间距距保保持持不不变变，只只绕绕轴轴线线作作相相对对转转动动；各各纵纵向向线线倾倾斜斜了了一一个个相相同同的的角度角度，由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形。由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形。第5章 扭 转 与 剪 切 由以上分析可知：圆轴受扭转变形后，其横截面大小和形态不变，由此可导

8、出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于相邻横截面的间距不变，因此横截面上无正应力作用。但因为相邻横截面发生绕轴线的相对转动，所以横截面上必定有垂直于半径方向的切应力。切应力用符号表示。在圆轴上取一微段dx，放大后如图5.8(c)所示，右截面相对于左截面转过了一个角度d，半径由O2B转至O2C位置，纵向线AB倾斜角度达到AC位置，A点的切应变为 第5章 扭 转 与 剪 切 那么，距轴线为的随意一点的切应变为 对于给定的横截面，d/dx为常量。故由（5.2）式可知，横截面上随意一点的切应变与该点到圆心的距离成正比。第5章 扭 转 与 剪 切 图5.8第5章 扭 转 与 剪 切 5.3.2 横截面

9、上的切应力横截面上的切应力 由剪切胡克定律可得=G,即（5.3）式中，G为材料的切变模量，其数值可由试验测得，常用单位为GPa。为截面上离轴心距离为的各处切应力。第5章 扭 转 与 剪 切 （5.3）式表明：横截面上随意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径垂直，可以证明横截面上随意一点的切应力计算公式为=T/Ip。式中Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按公式计算:实心圆截面：空心圆截面：因此，实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布可用图5.9表示。第5章 扭 转 与 剪 切 图 5.9 第5章 扭 转 与 剪 切 由上图可知：在圆轴横截面上，当=0时，=0；当=R时，即圆轴横截面

10、上边缘上点的切应力为最大值max，且切应力沿半径方向呈线性增长。其最大切应力max为（5.4）明显，Wp=Tp/R。上式中,Wp为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。对于如图5.10所示的实心圆轴，其抗扭截面系数Wp为 第5章 扭 转 与 剪 切 图5.10第5章 扭 转 与 剪 切 对于如图5.11所示的空心圆轴，其抗扭截面系数Wp为 图 5.11 其中=d/D。第5章 扭 转 与 剪 切 5.3.3 强度计算强度计算 圆圆轴轴扭扭转转的的强强度度条条件件为为：圆圆轴轴危危急急截截面面上上的的最最大大切切应应力力小小于于或等于材料的许用切应力或等于材料的许用切应力,即即 max。对于等截面圆轴

11、有对于等截面圆轴有 第5章 扭 转 与 剪 切 【例例5.4】一阶梯圆轴如图5.12(a)所示，轴上受到外力偶矩M1=6 kNm，M2=4 kNm，M3=2kNm，轴材料的许用切应力=60 MPa，试校核此轴的强度。解解 (1)绘制扭矩图如图5.12(b)所示。(2)校核AB段的强度。则强度足够。(a)第5章 扭 转 与 剪 切(3)校核BC段的强度。(b)则强度足够。第5章 扭 转 与 剪 切 图5.12第5章 扭 转 与 剪 切 【例例5.5】某机器传动轴由45号钢制成，已知材料的=60MPa，轴传递的功率P=16 kW，转速n=100 r/min，试确定其直径。解解(1)计算外力偶矩和扭

12、矩。(2)计算轴的直径。第5章 扭 转 与 剪 切 【例5.6】如图5.13所示的联轴器中，轴材料的许用切应力=40MPa，轴的直径d=30mm。套筒材料的许用切应力=20 MPa，套筒外径D=40mm。试求此装置的许可载荷。图 5.13 第5章 扭 转 与 剪 切 解解 (1)按轴的扭转强度求许可载荷。第5章 扭 转 与 剪 切 (2)按套筒的扭转强度求许可载荷。取两者之中的较小值，此装置的许可扭矩为72.44Nm。第5章 扭 转 与 剪 切 5.4 圆轴扭转变形与刚度计算圆轴扭转变形与刚度计算 5.4.1 扭转变形扭转变形 圆圆轴轴扭扭转转时时的的变变形形接接受受两两个个横横截截面面之之间

13、间的的相相对对转转角角来来表表示示。对对于于长长度度为为L，扭扭矩矩为为T，且且截截面面大大小小不不变变的的等等截截面面圆圆轴轴，其其变变形计算公式为形计算公式为 对于直径变更的圆轴(阶梯轴)，或者扭矩分段变更的等截面圆轴，必需分段计算相对转角，然后计算代数和。第5章 扭 转 与 剪 切 5.4.2 刚度条件刚度条件 圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角max不超过许用的单位长度扭转角。即 式中的单位为/m。精密机器的轴:=0.250.50(/m)。一般传动轴:=0.501.00(/m)。要求不高的轴:=1.002.5(/m)。第5章 扭 转 与 剪 切 【例5.7】汽车传动轴输入的力

14、偶矩M=1.5kNm，直径d=75mm，轴的许用扭转角=0.50/m，材料的切变模量G=80 GPa，试校核此传动轴的刚度。解解(1)计算扭矩。此传动轴横截面上的扭矩为T=M=1.5kNm。(2)计算Ip。第5章 扭 转 与 剪 切 (3)校核轴的刚度。故此传动轴刚度足够。第5章 扭 转 与 剪 切 5.5 剪切与挤压的好用计算剪切与挤压的好用计算 5.5.1 剪切与挤压的概念剪切与挤压的概念 如图5.14(a)所示铆钉联接，在被联接的物体上作用有等值、反向的力F，此时铆钉的受力特点是：铆钉受到一对等值、反向、作用线平行且相距很近的外力作用，如图5.14(b)所示。其变形特点是：沿两个方向相反

15、的力作用线之间的截面发生相对错动，这种变形称为剪切变形,如图5.14(c)所示。产生相对错动的面称为剪切面,作用在剪切面上的内力称为剪力，用Fs表示。第5章 扭 转 与 剪 切 图 5.14 第5章 扭 转 与 剪 切 5.5.2 好用计算好用计算 (1)剪切好用计算。剪切好用计算。工工程程中中，通通常常近近似似地地认认为为剪剪切切面面上上的的切切应应力力是是匀匀整整分分布布的的，所以剪切面上的切应力计算公式为所以剪切面上的切应力计算公式为 公式中A为受剪切面的面积。剪切强度条件：剪切应力不超过材料的许用切应力。即 第5章 扭 转 与 剪 切 (2)挤压的好用计算。工程中近似地把挤压面上的挤压

16、应力也看成是匀整分布的。挤压应力bs的计算公式为 挤压强度条件：挤压应力不超过材料的许用挤压应力。即 公式中 Fbs为挤压力，Abs为受挤压面积。当挤压面为圆柱面时，Abs等于通过圆柱直径的剖面面积,Abs=dh。如图5.15所示。第5章 扭 转 与 剪 切 图 5.15 第5章 扭 转 与 剪 切 【例例5.8】如如图图5.16所所示示齿齿轮轮与与轴轴通通过过B型型一一般般平平键键联联接接。已已知知轴轴径径d=70mm，键键的的尺尺寸寸为为bhl=20mm12 mm100 mm，传传 递递 转转 矩矩 T=2 kNm，材材 料料 许许 用用 应应 力力 bs=100MPa，=60 MPa,试

17、校核此键联接。试校核此键联接。解解(1)校核键联接的剪切强度。校核键联接的剪切强度。剪力：剪力：则剪切强度够。第5章 扭 转 与 剪 切(2)校核键联接的挤压强度。则挤压强度够。所以此键联接强度足够。第5章 扭 转 与 剪 切 图5.16第5章 扭 转 与 剪 切 思思 考考 与与 练练 习习 5.1 减速箱中，高速轴直径大还是低速轴直径大？为什么？5.2 若将圆轴的直径增大一倍，其他条件不变，则max和max各有何变更?5.3 在强度条件相同的状况下，空心轴为什么比实心轴省料？5.4 试画出练习5.4图中横截面上与T对应的切应力分布图。第5章 扭 转 与 剪 切 练习5.4图 第5章 扭 转

18、 与 剪 切 5.5 练习5.5图示一传动轴，转速n=200r/min，轮A为主动轮，输入功率P=60k，轮B、C、D均为从动轮，输出功率分别为PB=20kW，PC=15 kW，PD=25 kW。试画出该轴的扭矩图；若将轮A和轮C位置对调，试分析对轴的受力是否有利？练习5.5图 第5章 扭 转 与 剪 切 5.6 一空心圆轴，外径D=40mm，内径d=20mm，轴上受力偶矩M=300Nm，材料的许用切力=60MPa，试校核此轴的强度。5.7 某实心圆轴转速n=960r/min，传递功率P=5.5kW,材料许用切应力=40MPa，试设计此轴的直径。5.8 某传动轴的直径d=60mm，转速n=30

19、0r/min，材料的许用切应力=50 MPa，试求该轴的许可功率。5.9 练习5.9图示出了圆轴AB所受的外力偶矩Me1=800Nm，Me2=1200 Nm，Me3=400 Nm，l2=2l1=600mm，G=80MPa，=50 MPa，=0.25/m。试设计轴的直径。第5章 扭 转 与 剪 切 练习5.9图 第5章 扭 转 与 剪 切 5.10 练习5.10图示出了螺栓受拉力F作用，已知材料的许用切应力和许用拉应力的关系为=0.6。试求螺栓头高度h的合理比例。练习5.10图 第5章 扭 转 与 剪 切 5.11 练习5.11图示出的铆钉联接中，已知拉力F=20kN，板的厚度为20mm，铆钉的直径d=12mm。铆钉材料的许用切应力=80MPa，许用挤压应力bs=200MPa。试校核此铆钉联接的强度。练习5.11图