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1、 1 2013 年中考数学综合题复习（动点问题详细分层解析，尖子生首选资料）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。关键：动中求静。数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程,以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培
2、养学生解决问题的能力图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：(1）运动观点；（2）方程思想;（3）数形结合思想；(4）分类思想;(5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，
3、它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点 专题一:建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么，我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析。一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1）如图 1，在半径为 6,圆心角为 90的扇形
4、OAB 的弧 AB 上，有一个动点 P，PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为 G。（1）当点 P 在弧 AB 上运动时，线段 GO、GP、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PHx,GPy,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).(3）如果PGH 是等腰三角形，试求出线段 PH 的长.解:(1）当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变，于是线段 GO、GP、GH中，有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2132OP=2.（2)在 Rt POH 中,22236xPHOPOH，2362121xOHM
5、H。在 RtMPH中,.y=GP=32MP=233631x(0 x6）。（3)PGH 是等腰三角形有三种可能情况:2222233621419xxxMHPHMPH M N G P O A B 图 1 x y 2 GP=PH 时,xx233631,解得6x。经检验,6x是原方程的根,且符合题意.GP=GH 时，2336312 x,解得0 x。经检验,0 x是原方程的根,但不符合题意。PH=GH 时,2x。综上所述,如果PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为6或 2。二、应用比例式建立函数解析式 例 2 如图 2，在ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动。设 BD=,xC
6、E=y.（1）如果BAC=30,DAE=105，试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果BAC 的度数为,DAE 的度数为,当，满足怎样的关系式时，(1）中y与x之间的函数解析式还成立？试说明理由.解:（1)在ABC 中，AB=AC,BAC=30,ABC=ACB=75,ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105,DAB+CAE=75，又DAB+ADB=ABC=75，CAE=ADB,ADBEAC，ACBDCEAB，11xy,xy1.（2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=290,且函数关系式成立，290=，整理得290。当290时,函数解析式xy1成立。例 3（2005
7、年上海）如图 3（1),在ABC 中,ABC=90,AB=4，BC=3.点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆，与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E.作 EPED,交射线 AB 于点 P，交射线 CB 于点 F。(1）求证:ADEAEP。(2)设 OA=x,AP=y，求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域。（3）当 BF=1 时,求线段 AP 的长。解：（1）连结 OD.根据题意，得 ODAB,ODA=90,ODA=DEP。又由 OD=OE，得ODE=OED.ADE=AEP，ADEAEP。（2）ABC=90 ，AB=4,BC=3,AC=5.ABC=ADO=90
8、，OD BC,53xOD,54xAD,A E D C B 图 2 P D E A C B 3(2)O F O F P D E A C B 3(1)3 OD=x53，AD=x54。AE=xx53=x58.ADEAEP,AEADAPAE,xxyx585458.xy516(8250 x)。(3）当 BF=1 时,若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3（1），则 CF=4。ADE=AEP,PDE=PEC。FBP=DEP=90,FPB=DPE，F=PDE,F=FEC，CF=CE.5x58=4，得85x。可求得2y，即 AP=2。若 EP 交线段 CB 于点 F，如图 3（2),则 CF=2.
9、类似,可得 CF=CE.5x58=2，得815x。可求得6y,即 AP=6.综上所述,当 BF=1 时，线段 AP 的长为 2 或 6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4 如图,在ABC 中,BAC=90,AB=AC=22，A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动（与点 B、C不重合），设 BO=x，AOC 的面积为y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域。（2)以点 O 为圆心，BO 长为半径作圆 O，求当O 与A 相切时,AOC 的面积。解:(1)过点 A 作 AHBC,垂足为 H。BAC=90,AB=AC=22,BC=4，AH=21BC=2。OC=4x.AH
10、OCSAOC21，4xy(40 x）。（2)当O 与A 外切时,在 RtAOH 中，OA=1x，OH=x2,222)2(2)1(xx。解得67x.此时,AOC 的面积y=617674。当O 与A 内切时,在 RtAOH 中,OA=1x，OH=2x，222)2(2)1(xx。解得27x。此时，AOC 的面积y=21274.综上所述，当O 与A 相切时，AOC 的面积为617或21。专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关A B C O 图 8 H 4 FABCED系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形
11、的特殊位置.）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨.一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题 1（09 年徐汇区）如图,ABC中，10 ACAB，12BC，点D在边BC上，且4BD，以点D为顶点作BEDF,分别交边AB于点E，交射线CA于点F（1）当6AE时，求AF的长；(2）当以点C为圆心CF长为半径的C和以点A为圆心AE长为半径的A相切时，求BE的长；(3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，求BE的长 题型背景和区分度
12、测量点 本题改编自新教材九上相似形24。5（4)例六，典型的一线三角(三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题，当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系（相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题 区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，从而利用方程思想来求解 区分度性小题处理手法 1直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用 d=r 建立方程 2圆与圆的位置关系的存在性（相切问题)的处理方法：利用 d=Rr(rR）建立方程 3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解 解：（1）证明CDFEBDBE
13、CDBDCF,代入数据得8CF，AF=2（2）设 BE=x,则,10 ACd,10 xAE利用（1）的方法xCF32，相切时分外切和内切两种情况考虑:外切，xx321010,24x；内切,xx321010，17210 x100 x 当C和A相切时,BE的长为24或17210 （3）当以边AC为直径的O与线段DE相切时，320BE 类题 一个动点:09 杨浦 25 题(四月、五月）、09 静安 25 题、两个动点：09 闸北 25 题、09 松江 25 题、09 卢湾 25 题、09 青浦 25 题(二）线动问题 在矩形 ABCD 中,AB3，点 O 在对角线 AC 上，直线l过点 O，且与 A
14、C 垂直交 AD 于点 E.(1）若直线l过点 B，把ABE 沿直线l翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A重合，求 BC 的长;5 A B C D E O l A A B C D E O l F(2）若直线l与 AB 相交于点 F，且 AO41AC，设 AD 的长为x，五边形BCDEF 的面积为 S.求 S 关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；探索：是否存在这样的x,以 A 为圆心，以x43长为半径的圆与直线l相切,若存在,请求出x的值；若不存在，请说明理由 题型背景和区分度测量点 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理
15、三小块知识内容；当直线l沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二 区分度性小题处理手法 1找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法 2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方程 3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段。略解（1）A是矩形 ABCD 的对称中心ABAA21AC ABAB，AB3AC6 33BC (2)92xAC,9412xAO，)9(1212xAF，xxAE492 AF21AESAEFxx96)9(22，xxxS96)9(322 xxxS96812
16、7024 （333 x)若圆 A 与直线 l 相切，则941432xx，01x（舍去）,582x3582x不存在这样的x，使圆 A 与直线 l 相切 类题09 虹口 25 题（三）面动问题 如图,在ABC中，6,5BCACAB,D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.（1）试求ABC的面积；(2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长;（3）设xAD，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式,并写出定义域;（4)当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长 FGECABD 6 题型背景和区
17、分度测量点 例七,典型的共角相似三角形问题，试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当 D 点在 AB 边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF 边落在 BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段 AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二 区分度性小题处理手法 图3-5图3-4图3-3图3-2图3-1KFGEKFGEFGEUKFGEFGECAACACACACBDBDBDBDBD 1找到三角形与正方形的重
18、叠部分是解决本题的关键，如上图 3-1、3-2 重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况 2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图 3-3、3-4、35 用方程思想解决 3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解 解：（1）12ABCS。(2）令此时正方形的边长为a，则446aa，解得512a。(3）当20 x时，22253656xxy，当52 x时，2252452455456xxxxy。（4）720,1125,73125AD.类题 改编自09 奉贤 3 月考 25 题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”，去掉,同时加到第（3）题中.已知：在ABC中，AB=AC，B=3
19、0，BC=6,点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3,DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N (1）求证：BDMCEN；（2）设BD=x，ABC与DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式,并写出定义域（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心，BM为半径的圆与直线EF相切,如果存在,请求出x的值；如不存在,请说明理由 A B F D E M N C 7 例 1:已知O 的弦 AB 的长等于O 的半径，点 C 在O 上变化（不与 A、B)重合，求ACB 的大小。分析:点C的变化是否影响ACB的大小的变化呢？我们不妨将点C改变一下,如何
20、变化呢？可能在优弧 AB 上，也可能在劣弧 AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点 C 在优弧 AB 上变化时，ACB所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结 AO、BO，则由于AB=OA=OB,即三角形 ABC 为等边三角形，则AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出:ACB=21AOB=300，当点 C 在劣弧 AB 上变化时，ACB 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB 的一半,由AOB=600 得，优弧 AB 的度数为 3600600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=1500,因此，本题
21、的答案有两个,分别为 300 或 1500.反思:本题通过点 C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性.从而需要分类讨论.这样由点 C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式 1：已知ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，若32AB，求C 的大小。本题与例 1 的区别只是 AB 与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与上面一致，在三角形 AOB 中，232121sinOBABAOB,则06021AOB,即0120AOB，从而当点 C 在优弧 AB 上变化时，C 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，即060C，当点 C 在劣弧 AB 上变化时，C 所对的弧是优
22、弧 AB，它的大小为优弧AB 的一半，由AOB=1200 得，优弧 AB 的度数为 3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，因此060C或C=1200.变式 2:如图，半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A、B，若 AB=1，判断AOB 的大小是否会随点 A、B 的变化而变化，若变化,求出变化范围，若不变化,求出它的值。四边形 ABCD 的面积的最大值。解：（1）由于 AB=OA=OB,所以三角形 AOB 为等边三角形，则AOB=600,即AOB 的大小不会随点 A、B 的变化而变化。(2）四边形 ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形 AO
23、B 的面积为43，而三角 形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为)(212121BGAFBGOCAFOD，又由梯形 OBACOBACHGFEODCBAABCDO 8 的中位线定理得三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和EHBGAF)(21，要四边形 ABCD 的面积最大，只需 EH 最大，显然 EHOE=23，当 ABCD 时，EH=OE，因此 四边形 ABCD 的面积最大值为43+23=433。对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD 的周长的变化范围.变式 3:如图，有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块。三角形的两个顶点分 别为 A、B，另一个顶点 C 在半圆上,问怎
24、样截取才能使截出的三角形的面积最大?要求说明理由（广州市 2000 年考题）分析:要使三角形 ABC 的面积最大，而三角形 ABC 的底边 AB 为圆的直径为常量,只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CDAB 于点 D,连结CO,由于 CDCO，当 O 与 D 重合，CD=CO，因此，当 CO 与 AB 垂直时,即 C 为半圆弧 的中点时，其三角形 ABC 的面积最大。本题也可以先猜想，点 C 为半圆弧的中点时，三角形 ABC 的面积最大，故只需另选一个位置 C1（不与 C 重合），证明三角形 ABC 的面积大于三角形 ABC1 的面积即可。如图 显然三角形 ABC1 的面积=21AB
25、C1D,而 C1D C1O=CO,则三角形 ABC1 的面积=21ABC1D21ABC1O=三角形 ABC 的面积,因此，对于除点 C 外的任意点 C1，都有三角形 ABC1 的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点 C 为半圆中点时，三角形 ABC 面积最大.本题还可研究三角形 ABC 的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系.要三角形 ABC 的周长最大,AB 为常数，只需 AC+BC 最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACBC=AB2+4ABC 的面积,因此ABC 的面积最大时，AC+BC 最大，从而ABC 的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现
26、，解决动态几何问题的常见方法有:一、特殊探路，一般推证 例 2：如图,O1 和O2 内切于 A，O1 的半径为 3，O2 的半径为 2，点 P 为O1 上的任一点(与点 A 不重合），直线 PA 交O2 于点 C，PB 切O2 于点 B，则PCBP的值为（A）2 （B）3 （C）23 （D)26 分析：本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究,当点 P 满足 PBAB 时，可以通过计算得出OCBADABCOCDABC1OCO1O2PBA 9 PB=221322 BCAP=BPAB，因此 BC=62462288162822BPABBPAB，在三角形 BP
27、C 中,PC=36222 BCBP，所以,PCBP=3选（B）当然,本题还可以根据三角形相似得BPAPPCBP，即可计算出结论。作为一道选择题,到此已经完成，但如果是一道解答题,我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立.例 3:如图,在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=4，OABC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、A 重合。判断OEF 的形状，并加以证明。判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围,若不变化，求它的值.AEF 的面积是否随着
28、点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为 E、F 分别为 AB、AC 中点,显然有EOF 为等腰直角三角形。还可发现当点 E 与 A 无限接近时,点 F 与点 C 无限接近，此时EOF 无限接近AOC,而AOC 为等腰直角三角形,几种特殊情况都可以得出EOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE与OF相等吗?EOF为直角吗？能否证明.如果它们成立,便可以推出三角形 OFC 与三角形 OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，OCF=OAE，而 AE=CF,则OEAOFC,则 O
29、E=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，则EOF 为直角,故EOF 为等腰直角三角形。二、动手实践，操作确认 例 4)在O 中，C 为弧 AB 的中点，D 为弧 AC 上任一点（与 A、C 不重合）,则（A）AC+CB=AD+DB (B)AC+CBAD+DB （C)AC+CBAD+DB (D)AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量,得出结论（C）例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD，延长 CA 和 CD
30、与大圆分别交于点 B、E，则下列结论中正确的是(*）CO1O2PBADCBAEDCBAO FEOCBA 10 （A）ABDE （B）ABDE （C)ABDE（D）ABDE,的大小不确定 分析:本题可以通过度量的方法进行,选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形 OED 中，由于两边之差小于第三边,则 OEODDE，即 OB-OA3）.动点 M，N 同时从 B 点出发,分别沿 BA，BC 运动，速度是 1 厘米/秒。过 M 作直线垂直于 AB,分别交 AN，CD 于 P,Q。当点 N 到达终点 C 时，点 M也随之停止运动。设运动时间为 t 秒.（1)若 a=4 厘米,t
31、=1 秒，则 PM=厘米；(2）若 a=5 厘米,求时间 t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；（3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围;（4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN，梯形 PQDA,梯形 PQCN 的面积都相等？若存在,求 a 的值；若不存在,请说明理由.评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进,将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题（3）,解决此题的关键是运用相似三角形的性质用 t 的代数式表示 PM，进而
32、利用梯形面积相等列等式求出 t 与 a 的函数关系式，再利用 t 的范围确定的 a 取值范围.第（4)小题是题（3）结论的拓展应用,在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例 4）如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，它们分别从点 A、C 同时出发,沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动，过 E 作 EH 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 H；过 F 作 FG垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 G，连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH 围成的图形面积为 S1，AE、EB
33、、BA 围成的图形面积为 S2(这里规定：线段的面积为 0).E 到达 C,F 到达 A 停止。若 E 的运动时间为 x（s），解答下列问题：（1）当 0X （2)若 y 是 S1 与 S2 的和，求 y 与 x 之间的函数关系式；(图 10 为备用图）求 y 的最大值。解（1)以 E、F、G、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形 ABCD 的边长为 82，所以 AC=16,过 B 作BOAC 于 O，则 OB=89，因为 AE=x,所以 S2=4x，因为 HE=AE=x，EF=16-2x,所以 S1=x(162x)，当S1=S2 时，4x=x(162x),解得 x1=0（舍去）,x2=6，所
34、以当 x=6 时,S1=S2.(2)当 0 x8 时，y=x(162x）+4x=-2x2+20 x，当 8x16 时，AE=x,CE=HE=16-x，EF=16-2(16x)=2x16，所以 S1=(16x)(2x16）,所以 y=(16-x）（2x16)+4x=2x2+52x-256。当 0 x8 时，y=-2x2+20 x=2（x5）2+50，所以当 x=5 时,y 的最大值为 50.当 8x16 时，y=2x2+52x-256=-2(x-13）2+82,所以当 x=13 时，y 的最大值为 82。14 综上可得，y 的最大值为 82.评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值
35、问题。要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式,进而构建面积的函数表达式.本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用。专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2,1)，且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B。求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边
36、形，求 D 点的坐标;连接 OA、AB，如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由.分析：1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按 OB 为边和对角线两种情况 2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形.根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股
37、定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例 1 题图 图 1 OAByxOAByx图 2 15 yxEQPCBOA练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3(33)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为225 333yxx）（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存
38、在点Q，使得OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由(3）如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么?练习 2、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A在x轴上，点 C 在y轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由;（2)求直线 CE 与x轴交点 P 的坐标；(3)是否存在过点 D 的直线l，使直线l、直线 CE 与x轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与y
39、轴所围成的三角形相似？如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在,请说明理由.练 习3、在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中，已 知 二 次 函 数2(0)yaxbxc a的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边)，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为 1，且过点(2 3)，和(312)，（1）求此二次函数的表达式；(由一般式得抛物线的解析式为223yxx）（2)若直线:(0)l ykx k与线段BC交于点D(不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若O x y 练习 2 图 C B E
40、D A 16 不存在，请说明理由；(10)(3 0),(0 3)ABC，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明)，并写出此时点P的横坐标px的取值范围 练习 4（2009 广东湛江市）如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (1)求A、B、C三点的坐标（2）过点A作APCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积(3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则,请说明理由 练习 5、已知:如图,在平面直角坐标系中
41、，ABC是直角三角形,90ACB，点AC，的坐标分别为(3 0)A ，,(10)C，3tan4BAC（1）求 过 点AB，的 直 线 的 函 数 表 达 式;点(3 0)A ，,(10)C，,B(13)，3944yx（2）在x轴上找一点D，连接DB,使得ADB与ABC相似（不包括全等)，并求点D的坐标；(3）在（2)的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ,设APDQm,问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由 参考答案 例题、解：由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2 抛物线过原点，1)20(a02 O y C l x B A 1x
42、 练习 3 图 o C B A x 练习 4 图 P y A C O B x y 17 41a.抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2 如图 1，当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时，CD错误!OB，由1)2x(4102得4x,0 x21，B（4，0），OB4。D 点的横坐标为 6 将 x6 代入1)2x(41y2，得 y3，D（6，3）;根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D，使得四边形 ODCB 是平行四边形,此时 D 点的坐标为（2,3）,当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时，D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1）如图
43、 2,由抛物线的对称性可知：AOAB,AOBABO.若BOP 与AOB 相似，必须有POBBOABPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A点，显然 A（2,1)直线 OP 的解析式为x21y 由xx41x212,得6x,0 x21。P（6,3)过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2，PE3,PB134.PBOB,BOPBPO,PBO 与BAO 不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点.所以在该抛物线上不存在点 P,使得BOP 与AOB 相似。练习 1、解:(1）由已知可得：333755 30420ababc 解之得，25 3033abc，因而得,抛物线的解析
44、式为：225 333yxx （2）存在 EAOABPyx图 2 COABDyx图 1 18 设Q点的坐标为()mn，则225 333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC,则有3333nm，即225 3333333mmm 解之得，122 32mm，当12 3m 时，2n，即为Q点,所以得(2 3 2)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP，则有3333nm,即225 3333333mmm 解之得，123 33mm，当3m 时，即为P点,当13 3m 时，3n ，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似 Q点的坐标为(2 3 2)(3 33)，（3）在RtOCP中，因为3t
45、an3CPCOPOC所以30COP 当Q点的坐标为(2 3 2)，时，30BPQCOP 所以90OPQOCPBQAO 因此,OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形 又在RtOAQ中，因为3tan3QAQOAAO所以30QOA 即有30POQQOAQPBCOP 所以OPCPQBOQPOQA,又因为QPOPQAOA，30POQAOQ，所以OQAOQP 练习 2 O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A O x y C B E D P M G l N A 19 解：（1）OCD与ADE相似.理由如下：由折叠知,90CDEB，1290 ,139023.，又90CODDAE，OCDADE。（
46、2）3tan4AEEDAAD，设 AE=3t，则 AD=4t。由勾股定理得 DE=5t。358OCABAEEBAEDEttt。由(1）OCDADE，得OCCDADDE，845tCDtt，10CDt。在DCE中，222CDDECE,222(10)(5)(5 5)tt，解得 t=1。OC=8，AE=3,点 C 的坐标为（0,8），点 E 的坐标为(10,3）,设直线 CE 的解析式为y=kx+b，1038kbb，解得128kb，182yx,则点 P 的坐标为（16，0)。（3）满足条件的直线l有 2 条：y=2x+12，y=2x12.如图 2：准确画出两条直线。20 练习 3 解：（1）二次函数图
47、象顶点的横坐标为 1,且过点(2 3)，和(312)，,由1242393212.baabcab，解得123.abc，此二次函数的表达式为 223yxx （2）假设存在直线:(0)l ykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD，为顶点的三角形与BAC相似 在223yxx 中，令0y,则由2230 xx,解得1213xx，(10)(3 0)AB，令0 x，得3y(0 3)C，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点E 点B的坐标为(3 0)，点C的坐标为(0 3)，,点A的坐标为(10)，4345.ABOBOCOBC，22333 2BC 要使BODBAC或BDOBAC
48、,已有BB,则只需BDBOBCBA，或.BOBDBCBA 成立 若是，则有3 3 29 244BO BCBDBA 而45OBCBEDE，在RtBDE中,由勾股定理，得222229 224BEDEBEBD 解得 94BEDE(负值舍去）y x B E A O C D 1x l 21 93344OEOBBE 点D的坐标为3 94 4，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得3k 满足条件的直线l的函数表达式为3yx 或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx此时易知BODBAC，再求出直线BC的函数表达式为3yx 联立33yxyx ，求得点D的坐标为3 94
49、 4，若是,则有3 42 23 2BO BABDBC 而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理,得222222(2 2)BEDEBEBD 解得 2BEDE（负值舍去)321OEOBBE 点D的坐标为(12)，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得2k 满足条件的直线l的函数表达式为2yx 存在直线:3l yx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合）,使得以BOD，为顶点的三角形与BAC相似,且点D的坐标分别为3 94 4，或(12)，(3）设过点(0 3)(10)CE，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P 将点(10)E，的坐标代入3ykx中，求得3k 此直线的函数
50、表达式为33yx 22 设点P的坐标为(33)xx，,并代入223yxx,得250 xx 解得1250 xx，（不合题意，舍去)512xy，点P的坐标为(512)，此时，锐角PCOACO 又二次函数的对称轴为1x，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2 3)，当5px 时,锐角PCOACO；当5px 时，锐角PCOACO;当25px时,锐角PCOACO 练习四 解:（1）令0y，得210 x 解得1x 令0 x，得1y A(1,0)B(1,0)C(0,1)（2）OA=OB=OC=1 BAC=ACO=BCO=45 APCB，PAB=45 过点 P 作 PEx轴于E,则APE为等腰直角三角形 令 O