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1、2021年广西北部湾经济区中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1（3分）（2021广西）下列各数是有理数的是（）AB2C33D02（3分）（2021广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）ABCD3（3分）（2021广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（）A14B13C12D234（3分）（2021广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面经测算，地球跟火星最远距离约400000000千
2、米，其中数据400000000科学记数法表示为（）A4109B40107C4108D0.41095（3分）（2021广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）A这一天最低温度是4B这一天12时温度最高C最高温比最低温高8D0时至8时气温呈下降趋势6（3分）（2021广西）下列运算正确的是（）Aa2a3a5B（a2）3a5Ca6a2a3D3a22aa27（3分）（2021广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（3，4）D（4，3）8（3分）（2021广西）如图，O的半径OB为4，OCAB于点D，BAC30，则OD的长是（
3、）A2B3C2D39（3分）（2021广西）函数y2x+1的图象不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10（3分）（2021广西）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（）Ay=3x-2y=2x+9By=3(x-2)y=2x+9Cy=3x-2y=2x-9Dy=3(x-2)y=2x-911（3分）（2021广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，
4、把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A，B，连接AA并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为（）A22B23C12D5312（3分）（2021广西）定义一种运算：a*b=a，abb，ab，则不等式（2x+1）*（2x）3的解集是（）Ax1或x13B1x13Cx1或x1Dx13或x1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）13（3分）（2021广西）要使分式1x-2有意义，则x的取值范围是 14（3分）（2021广西）分解因式：a24b2 15（3分）（2021广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45，看楼下荷塘D处的俯角为60，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为
5、 米（结果保留根号）16（3分）（2021广西）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是 17（3分）（2021广西）如图，从一块边长为2，A120的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 18（3分）（2021广西）如图，已知点A（3，0）
6、，B（1，0），两点C（3，9），D（2，4）在抛物线yx2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C，D当四边形ABCD的周长最小时，抛物线的解析式为 三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19（6分）（2021广西）计算：23（-12+1）（13）20（6分）（2021广西）解分式方程：xx+1=x3x+3+121（8分）（2021广西）如图，四边形ABCD中，ABCD，BD，连接AC（1）求证：ABCCDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，
7、AB5，求CE的长22（8分）（2021广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.74.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0整理数据：质量（kg）4.54.64.74.84.95.0数量（箱）217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc（1）直接写出上述表格中a，b，c的值（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分
8、析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？23（8分）（2021广西）【阅读理解】如图，l1l2，ABC的面积与DBC的面积相等吗？为什么？解：相等在ABC和DBC中，分别作AEl2，DFl2，垂足分别为E，FAEFDFC90，AEDFl1l2，四边形AEFD是平行四边形，AEDF又SABC=12BCAE，SDBC=12BCDFSABCSDBC【类比探究】如图，在正方形ABCD的右侧作等腰CDE，CEDE，AD4，连接AE，求ADE的面积解：过点E作EFCD于点F，连接AF
9、请将余下的求解步骤补充完整【拓展应用】如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD4，连接BD，BF，DF，直接写出BDF的面积24（10分）（2021广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x2+bx+c运动（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8
10、米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围25（10分）（2021广西）如图，在ABC中，ADBC于点D，BC14，AD8，BD6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DEx，连接BE（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围
11、）；（3）如图，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求OMN面积的最小值，并说明理由26（10分）（2021广西）如图，已知AD，EF是O的直径，AD62，O与OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，AFEOCD（1）求证：CD是O的切线；（2）若GF1，求cosAEF的值；（3）在（2）的条件下，若ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交O于点N，求ABNH的值2021年广西北部湾经济区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四
12、个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1（3分）（2021广西）下列各数是有理数的是（）AB2C33D0【解答】解：0是有理数故选：D2（3分）（2021广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）ABCD【解答】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是故选：C3（3分）（2021广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（）A14B13C12D23【解答】解：小明恰好在C出口出来的概率为13，故选：B4（3分）（2021广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面经测算，地
13、球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（）A4109B40107C4108D0.4109【解答】解：4000000004108，故选：C5（3分）（2021广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）A这一天最低温度是4B这一天12时温度最高C最高温比最低温高8D0时至8时气温呈下降趋势【解答】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8，最低气温是4，从0时至4时及14时至24时，这天的气温在逐渐降低，从4时至14时，这天的气温在逐渐升高，故A正确，B，D错误；这一天中最高气温与最低气温的差为12，故C错误；故选：A
14、6（3分）（2021广西）下列运算正确的是（）Aa2a3a5B（a2）3a5Ca6a2a3D3a22aa2【解答】解：Aa2a3a5，故此选项符合题意；B（a2）3a6，故此选项不合题意；Ca6a2a4，故此选项不合题意；D3a22a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意故选：A7（3分）（2021广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（3，4）D（4，3）【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（3，4）故选：B8（3分）（2021广西）如图，O的半径OB为4，OCAB于点D，BAC30，则OD的长是（）A2B3C2D3【解答
15、】解：连接OA，OCAB，BAC30，ACO903060，OAOC，AOC为等边三角形，OCAB，OD=12OC2，故选：C9（3分）（2021广西）函数y2x+1的图象不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：k20，图象过一三象限，b10，图象过第二象限，直线y2x+1经过一、二、三象限，不经过第四象限故选：D10（3分）（2021广西）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方
16、程组为（）Ay=3x-2y=2x+9By=3(x-2)y=2x+9Cy=3x-2y=2x-9Dy=3(x-2)y=2x-9【解答】解：设共有y人，x辆车，依题意得：y=3(x-2)y=2x+9故选：B11（3分）（2021广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A，B，连接AA并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为（）A22B23C12D53【解答】解：过点F作FHAD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：由折叠A与A对应易知：AOE90，EAO+AEO90，EAO+AGD90，AEOAGD，即FEHAGD，
17、又ADGFHE90，ADGFHE，EFAG=HFAD=ABAD=12=22，故选：A12（3分）（2021广西）定义一种运算：a*b=a，abb，ab，则不等式（2x+1）*（2x）3的解集是（）Ax1或x13B1x13Cx1或x1Dx13或x1【解答】解：由新定义得2x+12-x2x+13或2x+12-x2-x3，解得x1或x1故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）13（3分）（2021广西）要使分式1x-2有意义，则x的取值范围是x2【解答】解：当分母x20，即x2时，分式1x-2有意义故答案为：x214（3分）（2021广西）分解因式：a24b2（a+2b）（a2b
18、）【解答】解：a24b2（a+2b）（a2b）故答案为：（a+2b）（a2b）15（3分）（2021广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45，看楼下荷塘D处的俯角为60，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 （30103）米（结果保留根号）【解答】解：由题意可得，ADB60，ACB45，AB30m，在RtABC中，ACB45，ABBC，在RtABD中，ADB60，BD=33AB103（m），CDBCBD（30103）m，故答案为：（30103）16（3分）（2021广西）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选
19、手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是 89分【解答】解：小婷的综合成绩为8450%+9540%+9010%89（分），故答案为：89分17（3分）（2021广西）如图，从一块边长为2，A120的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 33【解答】解：连接AC、AE，如图，四边形ABCD为菱形，BAC=12BAD=1212060，ABAC，ABC为等边
20、三角形，圆弧与BC相切于E，AEBC，BECE1，AE=AB2-BE2=22-12=3，设圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2r=1203180，解得r=33，即圆锥的底面圆半径为33故答案为3318（3分）（2021广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（3，9），D（2，4）在抛物线yx2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C，D当四边形ABCD的周长最小时，抛物线的解析式为 y（x-2513）2【解答】解：过C、D作x轴平行线，作B关于直线y4的对称点B，过B作BECD，且BECD，连接AE交直线y9于C，过C作CDCD，交直线y4于D，如图：作图可知：四边形BE
21、CD和四边形CDDC是平行四边形，BECD，CDCD，且BEDP，CDCD，CDBE且CDBE，四边形BECD是平行四边形，BDEC，B关于直线y4的对称点B，BDBD，ECBD，AEAC+ECAC+BD，即此时AC+BD转化到一条直线上，AC+BD最小，最小值为AE的长度，而AB、CD为定值，此时四边形ABCD的周长最小，B（3，0）关于直线y4的对称点B，B（3，8），四边形BECD是平行四边形，C（3，9），D（2，4），E（2，13），设直线AE解析式为ykx+b，则0=k+b13=-2k+b，解得k=-133b=133，直线AE解析式为y=-133x+133，令y9得9=-133x+
22、133，x=-1413，C（-1413，9），CC=-1413-（3）=2513，即将抛物线yx2向右移2513个单位后，四边形ABCD的周长最小，此时抛物线为y（x-2513）2，故答案为：y（x-2513）2三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19（6分）（2021广西）计算：23（-12+1）（13）【解答】解：原式812（2）4（2）220（6分）（2021广西）解分式方程：xx+1=x3x+3+1【解答】解：去分母得：3xx+3x+3，解得：x3，检验：当x3时，3（x+1）0，分式方程的解为x321（8分）（2021广西）如图，四边形AB
23、CD中，ABCD，BD，连接AC（1）求证：ABCCDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB5，求CE的长【解答】（1）证明：ABCD，ACDCAB，在ABC和CDA中，B=DCAB=ACDAC=CA，ABCCDA（AAS）；（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：（3）解：由（1）知：ABCCDA，四边形ABCD的面积为20，SABCSCDA10，12ABCE10，AB5，CE422（8分）（2021广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前
24、，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.74.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0整理数据：质量（kg）4.54.64.74.84.95.0数量（箱）217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc（1）直接写出上述表格中a，b，c的值（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定
25、为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？【解答】解：（1）a20217316，分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c=4.7+4.82=4.75，a6，b4.7，c4.75；（2）选择平均数4.7，这2000箱荔枝共损坏了2000（54.7）600（千克）；（3）1020005（20005600）10.7（元），答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本23（8分）（2021广西）【阅读理解】如图，l1l2，ABC的面积与DBC的面积相等吗？为什么？解：相等在ABC和DBC中，分别作AEl2，DFl2，垂
26、足分别为E，FAEFDFC90，AEDFl1l2，四边形AEFD是平行四边形，AEDF又SABC=12BCAE，SDBC=12BCDFSABCSDBC【类比探究】如图，在正方形ABCD的右侧作等腰CDE，CEDE，AD4，连接AE，求ADE的面积解：过点E作EFCD于点F，连接AF请将余下的求解步骤补充完整【拓展应用】如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD4，连接BD，BF，DF，直接写出BDF的面积【解答】解：【类比探究】过点E作EFCD于点F，连接AF，四边形ABCD是正方形，ADCD4，ADC90，DECE，EFCD，DFCF=12CD2，ADCEF
27、D90，ADEF，SADESADF，SADE=12ADDF=12424；【拓展应用】如图，连接CF，四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，BDC45，GCF45，BDCGCF，BDCF，SBDFSBCD，SBDF=12BCBC824（10分）（2021广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x2+bx
28、+c运动（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y=-18x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：4=c8=-1842+4b+c，解得：b=32c=4，抛物线C2的函数解析式为：y=-18x2+32x+4；（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：-18m2+3
29、2m+4（-112m2+76m+1）1，整理得：（m12）（m+4）0，解得：m112，m24（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）C1：y=-112x2+76x+1=-112（x7）2+6112，当x7时，运动员到达坡顶，即-1872+7b+43+6112，解得：b352425（10分）（2021广西）如图，在ABC中，ADBC于点D，BC14，AD8，BD6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DEx，连接BE（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设ABE的面积为S
30、1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求OMN面积的最小值，并说明理由【解答】解：（1）设EFmBC14，BD6，CDBCBD1468，AD8，ADDC8，ADBC，ADC90，AC=2AD82，四边形EFGH是正方形，EHFGGHEFm，EHGFGH90，AHEFGC90，DACC45，AEHEAH45，GFCC45，AHEHx，CGFGx，3m82，m=823，EF=823（2）DEDFx，DADC8，AE
31、CF8x，EH=22AE=22（8x），EF=2DE=2x，y=S1S2=12(8-x)62x22(8-x)=3x，y=3x（0x8）（3）如图中，由（2）可知点P在y=3x上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P（3，3），当直线MNOP时，OMN的面积最小，此时OMON23，MON的面积的最小值=122323=626（10分）（2021广西）如图，已知AD，EF是O的直径，AD62，O与OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，AFEOCD（1）求证：CD是O的切线；（2）若GF1，求cosAEF的值；（3）在（2）的条件下，若ABC的平分
32、线BH交CO于点H，连接AH交O于点N，求ABNH的值【解答】（1）证明：四边形OABC是平行四边形，OCAB，DOCOAE，OAOE，OAEAEF，DOCAEF，EF是O的直径，EAF90，AFE+AEF90，AFE+DOC90，AFEOCD，OCD+DOC90，ODC90，ODCD，CD是O的切线；（2）连接DF，如图：AD是O的直径，ADF+DAF90，CD是O的切线，G+DAF90，ADFG，又DAFGAD，ADFAGD，AFAD=ADAG，AD62，GF1，AF62=62AF+1，解得AF8或AF9（舍去），在RtAEF中，AE=EF2-AF2=AD2-AF2=22，cosAEF=A
33、EEF=13；（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：EF是O直径，EAF90，OCAB，CKA90，即OKAF，EFAD62，AF8，FO32，FKAK4，RtOKF中，OK=FO2-FK2=2，G+OAF90，OFA+AEF90，且OAFOFA，GAEF，tanGtanAEF，即CKGK=AFAE，CKFK+GF=AFAE，即CK5=822，解得CK102，BH平分ABC，OCAB，CBHABHCHB，CHBCOA32，MHCKOKOMCH102-2-32-32=32，KHOK+OM+MH72，在RtAKH中，AH=AK2+KH2=42+(72)2=114，而MNHMFA=12MOA=12ABCABH，且MHNHAB，MNHHBA，ABNH=AHMH=11432=573