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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-3.2 双曲线的简单性质 A 组 基础巩固 1若双曲线错误!错误!1(a0)的离心率为 2，则a等于(）A2 B.错误!C。错误!D1 解析:c2a23，错误!错误!4，得a1。答案：D 2已知双曲线错误!错误!1(a0，b0）的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆（x2）2y23 相切,则双曲线的方程为(）A.错误!错误!1 B。错误!错误!1 C。错误!y21 Dx2错误!1 解析：利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解 由双曲线的渐近线ybax与圆（x2)2y23 相切可知错误!解得错误!故所求双曲线的方程为x2错误!1.答案：D 学必求
2、其心得，业必贵于专精 -2-3已知双曲线错误!错误!1(a0，b0）的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且F1PF22PF1F2，则该双曲线的离心率为（）A.21 B.错误!1 C.2 D.3 解析：由题设知F1PF2PF1F290.又F1PF22PF1F2，所以PF1F230。不妨设P（c，d）（d0),则PF2d,PF12d，|F1F2|错误!d。从而 2aPF1PF2|2ddd，2c|F1F2错误!d,故e错误!错误!错误!。答案：D 4若双曲线经过点(6,错误!)，且渐近线方程是y错误!x，则这条双曲线的方程是（）A.错误!错误!1 B。错误
3、!错误!1 C。错误!y21 D。错误!错误!1 解析：设双曲线的方程为y2错误!(0），将(6，错误!)代入该方程可得的值 答案：C 5已知双曲线错误!y21，则其渐近线方程是_，离心学必求其心得，业必贵于专精 -3-率e_.解析：因为a24，b21,所以c25.即a2，c5.e错误!.将错误!y21 中右边的“1”换为“0”，可解出渐近线方程 答案：y错误!x 错误!6已知直线l与双曲线C:x2y22 的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则 AOB的面积为_ 解析:由题意得双曲线的渐近线方程为yx,设A(x1，x1)，B(x2,x2)，则AB的中点坐标为
4、错误!，错误!2错误!22，即x1x22，SAOB错误!|OA|OB|错误!错误!x1|错误!x2|x1x22。答案:2 7已知双曲线错误!错误!1（a0，b0）的一条渐近线方程是y 3x,它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_ 解析:由双曲线x2a2y2b21(a0,b0）的一条渐近线方程为y错误!x得错误!错误!，b 错误!a.学必求其心得，业必贵于专精 -4-抛物线y216x的焦点为F(4，0），c4。又c2a2b2，16a2(错误!a）2，a24，b212。所求双曲线的方程为错误!错误!1。答案:错误!错误!1 8根据下列条件求双曲线的标准方程（1）过点P(3，5
5、），离心率为2；(2)与椭圆错误!错误!1 的公共焦点，且离心率e错误!.解析：(1）若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为错误!错误!1（a0，b0）e错误!，错误!2，即a2b2.又双曲线过点P(3，错误!），则错误!错误!1,由，得a2b24，双曲线的标准方程为x24错误!1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为y2a2错误!1（a0，b0）同理a2b2，错误!错误!1，学必求其心得，业必贵于专精 -5-由，得a2b24(舍去)综上，双曲线的标准方程为错误!错误!1.（2)椭圆错误!错误!1 的焦点坐标为（4,0）和(4,0），设双曲线的标准方程为错误!错误!1（a0，b0
6、）,则c4，e错误!错误!，a3，b2c2a27，所求双曲线的标准方程为错误!错误!1。9设双曲线错误!错误!1 的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求AFB的面积 解析：双曲线错误!错误!1 的右顶点为A（3，0）,右焦点F（5,0）,一条渐近线为y错误!x，则BF所在直线为y错误!(x5）,由错误!，得B（错误!，错误!)，SAFB错误!|AF|yB错误!.B 组 能力提升 学必求其心得，业必贵于专精 -6-1已知双曲线C：x29错误!1 的两条渐近线分别是l1,l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1的距离是 3,则点M到渐近线l2的距离
7、是()A.错误!B1 C.3613 D3 解析：双曲线C:x29错误!1 的渐近线方程为 2x3y0，设M（x1，y1)为双曲线C上一点,则错误!错误!1，即 4x错误!9y错误!36，点M到两条渐近线的距离之积为错误!错误!错误!错误!为常数，所以当点M到渐近线l1的距离是 3 时，点M到渐近线l2的距离是错误!3错误!,选 A.答案:A 2已知等边三角形ABC中，D，E分别是CA,CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式不正确的是()Ae2e12 Be2e12 Ce2e12 D。错误!2 学必求其心得，业必贵于专精 -7-解析
8、：设三角形的边长为 2.由题意,可求得椭圆的离心率e1错误!，双曲线的离心率e2错误!，所以e1e22错误!,e1e22,e2e12，错误!2错误!2。故选 A。答案：A 3设双曲线错误!错误!1（a0，b0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点 若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为 _ 解析：根据两条直线垂直的条件，求出a，b之间的关系,进一步求出渐近线的斜率由题设易知A1(a，0）,A2(a,0），B错误!，C错误!.A1BA2C，错误!错误!1，整理得a B.渐近线方程为ybax,即yx,渐近线的斜率为1。答案：1 4在平面直角坐标系
9、xOy中，P为双曲线x2y21 右支上的一个动点，若点P到直线xy10 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_ 解析：先求双曲线的渐近线方程,再结合图形求c的最大值 所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线xy0 与直线x学必求其心得，业必贵于专精 -8-y10 的距离，此距离d错误!错误!.答案:错误!5已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为错误!,且过点（4，错误!)（1）求双曲线方程；（2)若点M（3，m)在双曲线上，求证：MF1MF2；（3）求F1MF2的面积 解析：（1）e错误!,可设双曲线方程为x2y2（0）过点(4，错误!),1610，即6.双曲线方程为x2y
10、26.(2)证明：易知F1(2错误!，0)，F2（2错误!，0）kMF1错误!，kMF2错误!.kMF1kMF2错误!错误!。点（3，m）在双曲线上，9m26，m23。故kMF1kMF21.即MF1MF2.（3)F1MF2的底F1F2|43,学必求其心得，业必贵于专精 -9-F1F2上的高hm错误!，SF1MF2错误!4错误!错误!6。6 如图,已知椭圆的离心率为错误!，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为 4(错误!1），一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C,D,其
11、中A,C在x轴的同一侧 (1)求椭圆和双曲线的标准方程（2）是否存在题设中的点P,使得错误!|错误!错误!错误!错误!？若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由 解析:（1)设椭圆的标准方程为错误!错误!1(ab0），半焦距为c.由题意，知椭圆的离心率为错误!错误!，得a错误!c.2a2c4(错误!1），a2错误!，c2，b2a2c24，椭圆的标准方程为错误!错误!1,椭圆的焦点坐标为（2，0）学必求其心得，业必贵于专精 -10-双曲线为等轴双曲线，且顶点是椭圆错误!错误!1 的焦点,该双曲线的标准方程为x24错误!1.（2）假设存在满足题意的点P。设P(x0，y0），则kPF1错误!,k
12、PF2错误!,点P在双曲线错误!错误!1 上,kPF1kPF21.设PF1的方程为yk（x2），则PF2的方程为y错误!（x2)，设A（x1，y1）,B（x2,y2），由错误!,得（2k21）x28k2x8k280，故x1x2错误!，x1x2错误!。错误!|错误!错误!错误!错误!错误!，同理错误!错误!错误!，由题知|错误!错误!|错误!|错误!|错误!|cosF1PF2，cosF1PF2错误!错误!错误!错误!错误!。错误!错误!错误!错误!|cosF1PF2，（2 x0)（2 x0)(y0）（y0)x022y20错误!错误!，又x20y错误!4，学必求其心得，业必贵于专精 -11-2(x204）错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，x错误!8，y错误!4,即存在点P（2错误!,2）满足题意