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1、2016 年高考浙江卷数学（理）试题 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.已知集合213,4,PxxQxxRR 则()PQR A2,3 B（2,3 C1，2)D(,21,)【答案】B【解析】根据补集的运算得 故选 B 2.已知互相垂直的平面，交于直线 l。若直线 m，n 满足,mn，则 Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C 3.在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域 200340 xxyxy 中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则AB=A22
2、 B4 C32 D6【答案】C【解析】如图PQR为线性区域，区域内的点在直线20 xy上的投影构成了线段 R Q，即AB，而 R QPQ，由3400 xyxy得(1,1)Q,由20 xxy得(2,2)R，22(1 2)(12)3 2 ABQR故选 C 4。命题“*xn ，RN，使得2nx的定义形式是 A*xn ，RN，使得2nx B*xn ，RN，使得2nx C*xn ，RN，使得2nx D*xn ，RN,使得2nx【答案】D【解析】的否定是,的否定是,2nx的否定是2nx故选 D 5。设函数2()sinsinf xxbxc,则()f x的最小正周期 A与 b 有关，且与 c 有关 B与 b
3、有关，但与 c 无关 C与 b 无关，且与 c 无关 D与 b 无关，但与 c 有关【答案】B 6。如图，点列An,Bn分别在某锐角的两边上，且1122,nnnnnnA AAAAAn*N，1122,nnnnnnB BBBBBn*N，(PQPQ表示点 与 不重合）。若1nnnnnnndA BSA B B，为的面积，则 AnS是等差数列 B2nS是等差数列 Cnd是等差数列 D2nd是等差数列【答案】A【解析】nS表示点nA到对面直线的距离（设为nh）乘以1nnB B长度一半，即112nnnnSh B B，由题目中条件可知1nnB B的长度为定值,那么我们需要知道nh的关系式,过1A作垂直得到初始
4、距离1h,那么1,nA A和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tannnnhhA A,其中为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan)2nnnnShA AB B，111111(tan)2nnnnShA AB B，作差后：1111(tan)2nnnnnnSSA AB B，都为定值，所以1nnSS为定值故选 A 7。已知椭圆 C1：22xm+y2=1（m1)与双曲线 C2：22xny2=1（n0)的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则 Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e21【答案】A【解析】由题意知2211 mn，即222mn，2221 22
5、2221111()(1)(1)mne emnmn，代入222mn,得212,()1mn e e故选A 8。已知实数 a，b，c A若a2+b+c+a+b2+c1，则 a2+b2+c2100 B若a2+b+c+a2+bc1，则 a2+b2+c2100 C若a+b+c2|+a+bc2|1，则 a2+b2+c2100 D若|a2+b+c|+a+b2c|1，则 a2+b2+c20），则 A=_,b=_【答案】2 1【解析】22cossin22sin(2)14xxx,所以2,1.Ab 11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】72 32【解析】几
6、何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为 4，2,2，所以体积为2(224)32，由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72 12.已知 ab1.若 logab+logba=52，ab=ba,则 a=,b=.【答案】4 2【解析】设log,1batt则,因为21522ttabt，因此22222,4.babbabbbbbba 13。设数列an的前 n 项和为 Sn.若 S2=4，an+1=2Sn+1，nN*,则 a1=,S5=.【答案】1 121 14.如图，在ABC 中，AB=BC=2，ABC=120.若平面 ABC 外的点 P 和线段
7、 AC 上的点 D，满足 PD=DA，PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 。【答案】12【解析】ABC中，因为2,120ABBCABC，所以30BADBCA.由余弦定理可得2222cosACABBCAB BCB 2222222cos12012 ，所以2 3AC。设ADx，则02 3t，2 3DCx。在ABD中,由余弦定理可得2222cosBDADABAD ABA 22222cos30 xx22 34xx.故22 34BDxx。在PBD中，PDADx，2PBBA.由余弦定理可得2222222(2 34)3cos2222PDPBBDxxxBPDPD PBx，所以30BPD。EDCBA
8、P 过P作直线BD的垂线，垂足为O.设POd 则11sin22PBDSBDdPD PBBPD,即2112 342sin3022xxdx,解得22 34xdxx.而BCD的面积111sin(2 3)2sin 30(2 3)222SCD BCBCDxx.设PO与平面ABC所成角为，则点P到平面ABC的距离sinhd.故四面体PBCD的体积211111sin(2 3)333322 34BcDBcDBcDxVShSdSdxxx 21(2 3)62 34xxxx.设222 34(3)1txxx，因为02 3x，所以12t。则2|3|1xt。（2)当32 3x时，有2|3|31xxt，故231xt.此时,
9、221(31)2 3(31)6ttVt 21 41 4()66tttt。由（1)可知，函数()V t在(1,2单调递减，故1 41()(1)(1)6 12V tV.综上，四面体PBCD的体积的最大值为12。15。已知向量 a、b,a=1，b=2，若对任意单位向量 e,均有|ae+be6,则 ab 的最大值是 【答案】12【解析】221|(ab)|a|b|6|ab|6|a|b|2a b6a b2eee，即最大值为12 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16。（本题满分 14 分）在ABC 中，内角 A，B,C 所对的边分别为 a，b，c.已知 b
10、+c=2a cos B。（I）证明：A=2B；(II）若ABC 的面积2=4aS，求角 A 的大小.【试题分析】（I）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinsin,再判断的取值范围，进而可证2 ;（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sinCcos，再利用三角形的内角和可得角的大小 (II）由24aS 得21sinC24aab,故有 1sinsinCsin2sincos2，因sin0，得sinCcos 又，C0,，所以C2 当C2时，2；当C2 时，4 综上，2 或4 17.(本题满分 15 分)如图，在三棱台ABCDEF中,平面BCFE 平面 ABC,=90ACB,BE=EF=FC=1
11、,BC=2，AC=3。（I）求证：EF平面 ACFD;(II）求二面角 B-ADF 的平面角的余弦值。【试题分析】(I）先证FC ，再证FC，进而可证F 平面CFD；（II）方法一：先找二面角DF 的平面角，再在RtQF中计算,即可得二面角DF 的平面角的余弦值；方法二:先建立空间直角坐标系,再计算平面C 和平面的法向量，进而可得二面角DF 的平面角的余弦值 （II)方法一：过点F作FQ ，连结Q 因为F 平面C，所以F ，则 平面QF,所以Q 所以，QF是二面角DF 的平面角 在RtC 中，C3，C2，得3 13FQ13 在RtQF中，3 13FQ13，F3,得3cosQF4 所以,二面角D
12、F 的平面角的余弦值为34 18。（本小题 15 分)已知3a，函数 F（x)=min2|x1|,x22ax+4a2，其中 minp,q=,ppqq pq.，(I)求使得等式 F（x）=x22ax+4a2 成立的 x 的取值范围;（II）（i)求 F（x)的最小值 m(a）；（ii）求 F（x）在区间0，6上的最大值 M（a）。【试题分析】（I）分别对1x 和1x 两种情况讨论 F x，进而可得使得等式 2F242xxaxa成立的x的取值范围；（II)（i）先求函数 21f xx，2242g xxaxa的最小值,再根据 F x的定义可得 F x的最小值 m a；（ii)分别对02x和26x两种
13、情况讨论 F x的最大值，进而可得 F x在区间0,6上的最大值 a （II）(i）设函数 21f xx，2242g xxaxa,则 min10f xf,2min42g xg aaa，所以，由 F x的定义知 min1,m afg a，即 20,32242,22am aaaa(ii)当02x时，Fmax0,22F 2xf xff，当26x时，Fmax2,6max 2,348max F 2,F 6xg xgga 所以，348,342,4aaaa 19.(本题满分 15 分）如图，设椭圆2221xya（a1)。(I)求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a、k 表示）；（II)若任意以点
14、A(0，1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围。【试题解析】(I）设直线1ykx被椭圆截得的线段为,由22211ykxxya得 2222120a kxa kx,故 10 x，222221a kxa k 因此 22212222111a kkxxka k （II）假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点,Q，满足 Q 记直线，Q的斜率分别为1k，2k,且1k，20k，12kk 20.（本题满分 15 分）设数列 na满足112nnaa，n（I）证明：1122nnaa，n；（II）若32nna，n,证明:2na,n【试题分析】(I）先利用三角形不等式得1112nnaa，变形为111222nnnnnaa,再用累加法可得1122nnaa，进而可证1122nnaa；（II)由（I)可得11222nmnmnaa,进而可得3224mnna,再利用m的任意性可证2na （II）任取n，由（I)知，对于任意mn，1121112122222222nmnnnnmmnmnnnnmmaaaaaaaa 11111222nnm 112n，故 11222mnnnmaa 11132222mnnm 3224mn 从而对于任意mn,均有