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1、2019 年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I 课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性 文 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1.已知f(x)为定义在 R 上的奇函数，当XA0时，f(x)=2x+m则f(2)=_.解析：因为f(x)为 R 上的奇函数，所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得 m=1,则 f(2)=f(2)=(2 2 1)=3.答案：3 x 2._ (xx 南京三模)已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，当x0时，f(x)=2 2,则不 等式f(x 1)W2的解集是.解析：偶函数f(x)在0,+)上单调递增，且 f(2)=2.所以 f(x 1)2,即卩
2、f(|x 1|)f(2)，即|x 1|0 时，f(x)=边+1,则当x0 时，f(x)=x+1,所以当x0,f(x)=f(x)=(X+1),即 x0 ax x+,xv0(a,b R)为奇函数，则 f(a6.（xx 南通一调）若函数f（x）=1 +b)=2.设f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0W xwi时，f(x)=2x(1 x)，则f 解析：因为f(x)是周期为 2 的奇函数,解析：法一：因为函数 f(x)为奇函数,f 1=f f 2=f 1 1-b=a 1+2,0 2 b=2a 2+2.,Z|a=1,解得 b=2,_ 经验证a=1,b=2 满足题设条件，所以 f(a+b)=f(1)=1.
3、法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，由题意知,当x0,二次函数的图象顶点坐标为 当xv0,二次函数的图象顶点坐标为(一 1,a),b =一 1 2，b2 解得 a=1,b=2,经验证a=1,b=2 满足题设条件,所以 f(a+b)=f(1)=1.答案：1 二保咼考，全练题型做到咼考达标 3 1.(xx 苏锡常镇调研)已知函数 f(x)=x+2x，若 f(1)+f(Iog3)0(a0 且 a 1),则实数a的取值范围是 解析：由函数 f(x)的解析式易得，该函数为奇函数且在定义域 R 上是单调增函数，故 f(1)+f(Iog3)0 1 I 1,，即 f(Iog3)f(
4、1)=f(1)，即 Iog3 1=log a.所以 ja 3a 1 0 v av 1,解得 0 v av 1 或a 3.答案：(0,1)U(3,+s)所以f I=f 1 2 尸一 f 1 1 2=2.答案：2 3.定义在 R 上的奇函数y=f(x)在(0,+)上递增，且f 1=0,则满足f(x)0 的 x的集合为 所以 f(x)0 时，x2 或2x0 的x的集合为 X2x2 答案：氷一云x-x x 4.(xx 泰州期末)设f(x)是 R 上的奇函数，当 x 0 时，f(x)=2+In 4,记f(n 5)，则数列an的前 8 项和为 _.解析：数列an的前 8 项和为 f(4)+f(3)+f(3
5、)=f(4)+(f(3)+f(3)+(f(2)+f(2)+(f(1)+f(1)+f(0)=f(4)=f(4)=24+|n4=16.答案：16 5.(xx 徐州高三年级期中考试)已知函数f(x)=ex e-x+1(e为自然对数的底数)，若 f(2x 1)+f(4 x2)2，则实数x的取值范围为 _.解析：令g(x)=f(x)1=ex e-x，则g(x)为奇函数，且在 R 上单调递增.因为f(2x 1)+f(4 x2)2，所以 f(2x 1)1+f(4 x2)10,即 g(2x 1)+g(4 x2)0,所以 g(2x 2 2 1)g(x 4)，即 2x 1x 4,解得 x(1,3).答案：(1,3
6、)6._ (xx 镇江中学测试)已知奇函数f(x)在定义域 R上是单调减函数，若实数a满足f(2|2a 7)+f(2眾)0,贝U a的取值范围是 .解析：由 f(2|2a1|)+f(2 2)0，可得 f(2|2a 1|)f(2 2)因为 f(x)为奇函数，所以f(2|2a1|)f(2 2)因为f(x)在定义域 R 上是单调减函数，所以 2|2a1|2.2，即|2 a 3 1 5 1|3，解得-a 的解集为-上单调递减，所以f(x)在(0,+8)上单调递减，且f(2)=f(2)=0，所以当x1 时，f(x)0 的解集为(1,2);当x1 时，f(x)0 的解集为(一 2,0)U(1,2)x 一
7、1 答案：(2,0)U(1,2)&已知f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)=1 x，则f(1),g(0),g(1)之间的大小关系是 _.解析：在f(x)g(x)=匕i中，用一x替换x,得 f(x)g(x)=2x,由于f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(x)=f(x),g(x)=g(x),因此得一f(x)g(x)=2x.x x x x 2 2 2+2 f(x)=2，g(x)=2，十口 3 5 于疋 f(1)=4，g(0)=1,g(1)=4，故 f(1)g(0)g(1).答案：f(1)g(0)g(1)2 a 9.(xx 通州中学检
8、测)已知函数f(x)=x+-(x丰0,a R).x(1)判断函数f(x)的奇偶性；若f(x)在区间2,+8)上是增函数，求实数 a的取值范围.2 解：(1)当a=0 时，f(x)=X(XM 0)为偶函数；当 a0 时，f(x)丰 f(x),f(x)工一f(x),所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.a(2)f(x)=2x子，要使f(x)在区间2,)上是增函数，只需当x2时，f(x)0 恒成立，a 3 解析:占0,可得 x1,f x 0 0在2,+)上恒成立，则 aW2x 16,+s)恒成立.故若f(x)在区间2,+)上是增函数，则实数 a的取值范围为(一R,16.|-x+2x,x0,10.已知
9、函数f(x)=0,x=0,是奇函数.x+mx x0(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1,a 2上单调递增，求实数 a的取值范围.解：(1)设 x0,2 2 所以 f(x)=(x)+2(x)=x 2x.又f(x)为奇函数，所以f(x)=f(x),_ 2 2 于是 x 1,结合f(x)的图象(如图所示)知弋 a 20 时，f(x)=x+-,且当 x 3,1时，nw f(x)f(x)max,所以m-n的最小值是f(x)max f(x)min，又由偶函数的图象关于 y轴对称知，当X 4 3,1时，函数的最值与 x 1,3时的最值相同，又当 x0 时，f(x)=x+-，在1,2上 递减，在2
10、,3上递增，且f(1)f(3),所以 f(x)max f(x)min=f(1)f(2)=5 4=1.答案：1 2 设函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x有f|+x=-f 3 x成立.(1)证明y=f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)=2,求 f(2)+f(3)的值；若g(x)=x+ax+3,且y=|f(x)|g(x)是偶函数，求实数 a的值.f 2扬+x片-f(x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数，且 T=3 是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以f(0)=0,且 f(1)=f(1)=2,又 T=3 是 y=f(x)的一个周期，所以 f(2)+f(3)=f(1)+f(0)=2+0=2.(3)因为y=|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|=|f(x)|=|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3 为偶函数，即g(x)=g(x)恒成立，于是(x)+a(x)+3=x+ax+3 恒成立.于是 2ax=0 恒成立，所以a=0.且 f(x)=f(x)，知 f(3+x)=f