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1、 高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题 高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题 第一部分：椭圆 1 椭圆的概念 在平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P为线段；(3)若 ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 性 范围 axa bxb 质 byb aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2
2、(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率 eca(0,1)a，b，c 的关系 c2a2b2 第二部分：双曲线 1 双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a0，c0：(1)当 ac 时，P 点不存在 2 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形 性 质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点
3、A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线 ybax yabx 离心率 eca，e(1，)，其中 c a2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0)典型例题 例 8.命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a0)；命题乙：点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的()(A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件 (D)不充分也不必要条件 例 9.过
4、点(2，-2)且与双曲线1222 yx有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)12422yx (B)12422xy (C)14222yx (D)14222xy 例 10.双曲线221(1)xynn的两焦点为12,F F P在双曲线上,且满足1222PFPFn,则12FPF的面积为()()1A 1()2B ()2C ()4D 例 11.设ABC的顶点)0,4(A，)0,4(B，且CBAsin21sinsin，则第三个顶点 C 的轨迹方程是_.例 12.连结双曲线12222byax与12222axby(a0，b0)的四个顶点的四边形面积为1S，连结四个焦点的四边形的面积为2S，则21SS的最大值是_
5、 例 13.根据下列条件，求双曲线方程:与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(-3，32)；与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(3 2，2).例 14 设双曲线2212yx 上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）求直线 AB 方程；如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 是否共圆，为什么？第三部分：抛物线 1 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线 2 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py
6、(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 典型例题 例 15.顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线方程是()(A)x2=8y (B)x2=8y (C)y2=8x (D)y2=8x 例 16.抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是()(A)1716 (B)1516 (C)78 (D)0 例 17.过点 P(
7、0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有()(A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条 例 18.过抛物线2yax(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则11pq等于()(A)2a (B)12a (C)4a (D)4a 例 19.若点 A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P 点的坐标为()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(21，1)(D)(0，0)例 20.动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M的轨迹方
8、程是 .例21.过抛物线y22px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为 y1、y2，则 y1y2_.例 22.以抛物线xy23 的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_.例 23.过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的倾斜角的范围是 .例题答案 例 1.D 例 2.B 例 3.C.例 5.B.例 7.(3,4)或(-3,4)例 8.(1)1162522yx或1251622yx;(2)13622yx;(3)1922 yx或181922yx;(4)1422 yx或116422yx.例 9.12|PFPF2212|()42PFPFa 例 11.B
9、例 13.D 例 16.A 例 17.)2(112422xyx 例 18.12 例 19.221944xy;221128xy 例 20.直线 AB：y=x+1 设 A、B、C、D 共圆于OM，因 AB 为弦，故M 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又 CD 为弦，故圆心 M 为CD中 点。因 此 只 需 证CD中 点M满 足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由22112yxyx得：A（-1，0），B（3，4）又 CD 方程：y=-x+3 由22312yxyx 得：x2+6x-11=0 设 C（x3,y3），D（x4,y4），CD 中点 M（x0,y0）则340003,362xxxyx M（
10、-3，6）|MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102|MA|=|MB|=|MC|=|MD|A、B、C、D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心，102为半径的圆上 例 21.B(22,4282ppxpyy 即)例 22.B 例 23.B(过 P 可作抛物线的切线两条，还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求。)例 24.C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直 线 与抛物线相交所形成线段分别为p,q，则 p=q=|FK|1|2FKa而,112241()2apqpa 例 25.解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例 26.x2=8y 例 27.p2 例 28.223()94xy 例 29.660,arctanarctan,)22