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1、精品字里行间精品文档 成功是必须的 直线与方程小结与复习 一、【教学目标】重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系.难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决.能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力.教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用.自主探究点：1.由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；2能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；3能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题.考试点：两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目.易错点
2、：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错.易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件.拓展点：中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究.学法与教具 1.学法：讲练结合，自主探究 2 教具：多媒体课件，三角板 二、【知识梳理】精品字里行间精品文档 成功是必须的 二、【知识梳理】1 直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角 定义：当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 _ 与直线l _ 方向之间所成的角叫 做直线I的倾斜角.当直线I与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 _.倾斜角a的范围为 _.(2)直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角 a的 _ 叫做这条直线的斜
3、率，斜率常用小写字母 k表示，即 k=_，倾斜角是90 的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式：经过两点只(,yj,F2(x?,y2)(xx2)的直线的斜率公式为 k=_ 当x x2时,直线的斜率 _.(3)直线的倾斜角:-与斜率k的关系 当：为锐角时，：越大：二k越 _；当二为钝角时，:-越大二k越 _.2直线方程的五种基本形式 名称 几何条件 方程 局限性 点斜式 过点(X。，yo)，斜率为k 不含 的直线 精品字里行间精品文档 成功是必须的 斜截式 斜率为k，纵截距为b 不含 的直线 两点式 过两点门，）和（X2，y2）（X 式 X2,5平2）不含 的直线 截距式 横截距为a,纵截距为
4、 b（ab 鼻0）不含 和 的直线 一般式 A,B,C(A2+B2 式0)平面直角坐标系内的直线都适用 答案：1.（1）正向，向上，0:0：80；（2）正切值，tan；X21，不存在.（3）大，大.x2 yytXXixy 22 1-,1,Ax By C 二 0(A2 B2=0).y2-yi x2-x1 a b 垂直于x轴；垂直于x轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点.3.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线 h、I2，其斜率分别为k1、k2，则有I1/I2二 _.特别地，当直线的斜 率l1、|2都不存在时，|1与1 2 _.（2）两条直线垂直 如果两条直线斜率|1
5、、|2存在，设为k1、k2，则丄12二 _，当一条直线斜率为零，另一条 直线斜率不存在时，两直线 _.4.两直线相交 工Ax By G=0 交点：直线|1:Ax By=0和l2:A,x B2y C0的公共点的坐标与方程组 Ax B2y C2=0 的解-对应.相交二 方程组有 _，交点坐标就是方程组的解；平行二方程组 _；重合 u 方程组有 _.5.三种距离公式（）点 A,y1、B x2,y2 间的距离：AB=_ （2）点P x0,y0至煩线l:Ax By 0的距离：d 二 _ （3）两平行直线|1:Ax B,y C|0与l2:A?x B2y C 0（G=C2）间的距离为 d=_.6.直线中的对
6、称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称 直线以及直线关于点的对称直线呢？三、【范例导航】2.y-y =k(x-Xo)，y=kx b，精品字里行间精品文档 成功是必须的 当m=0时，由m 得 2 m-1 m2-8 2=0 mn=0 1两直线间的平行与垂直问题 例 1(1)已知两直线 11:x m2y 6=0,12:m2 x 3my 2m=0,若 l1/l2，求实数 m 的值；2(2)已知两直线l1:ax 2y 0和l2:x a-1 y a-1=0.若h _ l2，求实数a的值.【分析】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不
7、重合的两条直 线 l1 和 l2,hl2 二匕=k2,h _ l2：=率是多少一定要特别注意.(2)若直线l1和l2有斜截式方程l1:设 l1:Ax Ry G=0,l2:m=-1.故所求实数 m的值为0或-1.方法二：直线li:Aix Biy C0,I2:Ax，B2y，C2=0平行的等价条件是:AB2-AB=0且B1C2-BzG=0或AC?-AG=0，由所给直线方程可得：2.2 1 3m-m m-2=0 且 1 2m-6 m-2=0=m m-2m-3=0 且 m3=m=0或-1,故所求实数 m的值为0或-1.a(2)方法一：由直线 l1的方程知其斜率为 一，2 当a=1时，直线l2的斜率不存在
8、，l1与l2不垂直;2 故所求实数a的值为一.3 方法二：直线l1:Ax，B1y，C1=0,l2:A2x B2y C0垂直的等价条件是 2 2 由所给直线方程可得：a 1 2 a-1=0=a，故所求实数 a的值为一.3 3【设计意图】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关系 的问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二避免了分类讨论.变式训练：已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my1=0.试确定 m、n 的值，使(1)l1与12相交于点P m,-1；(2)I1/I2；h12，且h在y轴上的截距为T.Cm2-8 n=0
9、由题意得：，解得、2m _ m T=0 当m=0时，显然l1不平行于l2；ki k2-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜 y=kiX D，l2:y=k2x b2，则 h _ l2 二 K k2=1.Ax B2y C2=0.则：h _ l2：=A|B-|B2=0.l1:x 6=0,l2:x=0,l1/l2；,2m 2 2，l2:y x-3m 3【解答】(1)方法一:当 m 二=0时,当m=0 时，l1:y 1 2 6 x _ m m 亠 1 2-m 6 2 由 2 且-2 m2 3m m2 3 当a-1时，直线l2的斜率为 1 a-1 A A+B1B 0.(3)答案:(1)精品字里
10、行间精品文档 成功是必须的 m=4 亠 m-4 ，或 n=_2 n=2 即 m=4,n=2 时或 m=一4,n=2 时，lj/l2.(3)当且仅当 m 2 8 m=0,即 m=0 时，h _|2,又-n-1,n=8.8 即m=0,n=8时，h_|2且l1在y轴上的截距为-1.2、点到直线距离问题 例 2 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是 x y 一1二0,3x 一 y 4二0,且它的对角线的交点是 M(3,3),求这个平行四边形其他两边所在直线方程.【分析】因为斜率相等，所以其他两条直线可以设为 x y G=0,3x-y C2=0,然后利用点到直线的距离公式.【解答】：四边形 ABC
11、D 是平行四边形.AB/CD 设直线CD的方程为x亠y亠c,=0 由点M至煩线AB,CD的距离相等，得：|33二11二|3 3 C11 解得 q 二-11或 q 二-1(舍去).q=-11 同理，由点 M到直线AD,BC的距离相等，得：|3 3-3 4|3 3-3 g|-2-孑 G 16或(舍去).32 一1 2 亍 一1 2 g二-16因此，其他两边所在直线的方程是 x y-11=0,3x-y-16=0.【设计意图】本题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法简 化运算.变式训练：已知正方形的中心为点 M(-1,0)，条边所在 的直线的方程是x 3y-5=0
12、,求正方形其他三边所在直线的方程.【分析】本题先设与已知直线平行的直线为 x 3y-0,另两条都与已知直线垂直，设为 3x-y c2=0,然后利用点到直线的距离公式.C A O B 精品字里行间精品文档 成功是必须的 【解答】T 四边形 ABCD 是正方形 AD/BC精品字里行间精品文档 成功是必须的 由点M至煩线AD,BC的距离相等，得:3、三角形冋题 例 3.已知 ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所 在直线方程为x-2y-5=0.求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程.【分析】第一问主要是考查设、求直线 AC,熟练解答过程，
13、先设直线 AC为：2x y 0 然后代入点 A(5,1);第二问考查用先设、求点 B,然后与点C求出直线BC，或者设直线BC的点斜式方程，再结合中点坐标公式求出斜率 k.【解答】由题意，得直线 AC的方程为2x y-10.2x y 5=0 解方程组 y,得点C的坐标为(4,3).2x+y _11=0(2)解法一：设B(x0,y0),则M(西亍2也 F)于是有 y0+1 x0 5；5=0,即 2x0-y0-1=0 与冷-2丫0-5=0 联立，解得点 B 的坐标为(-1,-3).于是直线BC的方程为6x-5y-9=0.解法二：设直线 BC的方程为y-3二k(x-4)，即kx-y 3-4k=0.x-
14、2y-5=0 8k-11 k _ 3 解万程组i J 得x=-,y=-.Ikx-y-(4k-3)=0 2k-1 2k-1 因为点M是线段AB的中点，所以点 M的坐标是(坐兰，J).2k-1 2(2k-1)18k 16 k 4 6 把点M的坐标代入直线CM的方程，得-k 4-5=0 解得k二上.2k-1 2(2k-1)5 所以直线BC的方程为6x-5y-9=0.解法三：设 M(x,y)，则 B(2x-5,2y-1).因为点B在直线BH上，所以有2x-5-2(2y-1)-5=0,即x-2y-4=0.|(-1)3 0-5|厂32|(-1)3 0 c,|二 厂 32 AD _AB.直线 AB 的方程可
15、设为 3x-y c=0,由点M到直线AD,AB的距离相等|(-1)3 0-5|_|3(-1)-0$|综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是 3x-y 9=0,x 3y 1=0,3x-y3=0.精品字里行间精品文档 成功是必须的 x 2 y 4-0 解方程组g y-,得点M的坐标为(2,1)，点B的坐标为(1,3).2x y 5=0 所以直线BC的方程为6x _5y _9=0.【设计意图】本题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，利用两点求直线的方程，另外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点 B，就避免了考虑 斜率存在的问题，摆出事实，让学生
16、体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下基础 变式训练：在：ABC中，BC边上的高所在的直线方程为 x2y1=0，角A的平分线所在的直线方程为 y=0,若点B的坐标为(1,2)，求AC边上的垂直平分线.【分析】直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的 关系，或者利用点关于坐标轴对称，求出点【解答】A点在直线BC的高线上，又在角,x-2y 1=0 由,得 A(1,0)ly=所以kAB=1,而直线y=0是角A的平分线，所以AC边所在的直线方程为 y=-(X 1)又kBc二-2,所以BC边所在直线方程为 y-2=-2(x-1)由AC与BC的直
17、线方程联立可得 C(5,-6)所以AC边上的垂直平分线所在的直线方程为 x-y-5=0.4、最值问题 例 4.已知点 M(_3,5),N(2,15).在直线 l：3x-4y 4=0 上找一点P.使|PM|PN|最小，并求出最小值.【分析】本题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问 题的结合，由平面几何知，先作出与点 M关于丨对称的点M，连结NM，直线NM 与直线l的交点P 即为所求事实上，若点P是l上异于P的点，则|PM|PN PM|PN|NM|=|PM|PN|.【解答】设与 M(-3,5)关于l对称的点是M.x=0,得 ly=1-线段MM 交直线l于
18、Q(0,1).Q是MM的中点，.M 的坐标为(3,-3).连结NM 的直线方程为18x y-51=0.8 解方程组18x+y-51=0,得 3x 4y+4=0 小 L ly=3.B关于y=0对称的点 A的平分线上 所以 kAC=-1,:kl 弓 kMM _-3,4.MM 的方程为 y-5(x 3)，即 4x 3y-3=0.I 3x 一4 y+4=0 解方程组 j4x+3y-3=0 精品字里行间精品文档 成功是必须的 点 P 坐标为(8,3)此时，|PM|PN|=|PM|PN|NM|二(3-2)2(15-3)2=5.13.3【设计意图】本题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两
19、边之和大于第三边的问 题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使|PM|-|PN|最大.变式训练：函数y=Jx+1+Jx2 4x+8的最小值为 _ 【分析】本题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用,把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题，把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是 把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反，体现了数形结合的重要的数学思想.【解答】把y=.x2 1 x2-4x 8变形为 y=,(x 一 1)2(0 一 1)2,(x 一 2)2(0 一 2)2 Ux=1)2(0匚 1)2.(x匚2)2(0匚2)2 表示动点 P(x
20、,0)到两定点A(1,1)、B(2,2)的距离之和.作点A(1,1)关于x轴的称点A(1,-1)；|PA|PB 円 PA|PB|BA|.y-,(2-1)2-(2 1).函数 y 有最小值为.四、【解法小结】1 求直线方程直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择 最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性.(1)直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程.(2)待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所 求的直线方程，建立方程(组)，待定出其中的系数，从而求得直线
21、方程.2 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线 h、I2,hl2=匕二k2,h_l2二k1 k-1 若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一 定要特别注意.C.C 3.在运用两平行直线间的距离公式 d 1 2=时，一定要注意将两方程中的 x,y项系数化为分别相 等的系数.4 两直线平行时，直线可设为ax by c0,ax by c0,两直线垂直时，直线可设为 ax by c,=0,bx-ay=0，可以简化运算.五、【布置作业】必做题：1 已知直线 l1:k-3 x 4-k y 1=0与 l2:2 k-3 x-2y 3=0平行，则 k 的值是_ 2
22、.若直线l1:y二k x-4与直线l2关于点2,1对称，则直线l2恒过定点是-精品字里行间精品文档 成功是必须的 2 2 3.已知2x y 5=0,则.x y的最小值是 _.4设直线I经过点-1,1，则当点2,-1与直线l的距离最大时，直线I的方程为 _ 答案：1.3 或 5；2.0,2；3.5；4.3x_2y 5=0 选做题：1.已知直线 I:kx-y 1 2k=0 k R.(1)证明直线I过定点；(2)若直线I不经过第四象限，求 k的取值范围；(3)若直线I交x轴负半轴于 A，交y轴正半轴于B,求使|AOB面积最小时直线I的方程.2已知直线 I:2x-3y 0，点 A-1,-2.求：(1)
23、点A关于直线I的对称点A 的坐标；(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线I的对称直线 m 的方程；(3)直线I关于点A-1,-2对称的直线I 的方程.答案：1.(1)定点-2,1；(2)0,=；(3)x 2y，4=0.y+2 x+1 X 1 2-3 2 2x-3y 1=0 设直线m与直线I的交点为N，则由 得N 4,3.3x_2y_6=0 又 m经过点N 4,3,由两点式得直线 m的方程为9x-46y 02=0.(3)方法一 在I:2x-3y 1=0上任取两点，如 M 1,1,N 4,3，则M,N关于点A-1,-2 的对称点M:N均在直线丨上，易得M-3,-5,N-6,-7，再由两点式可得I
24、的方程为 2x-3y-9=0.方法二/I/I,设的方程为 2x-3y C=0 C=1,2+6+C I 2+6+1 点A(-1,-2到两直线I,I 的距离相等，由点到直线的距离公式得：-I-1，解 V22+32 V22+32 得 C=-9,I 的方程为 2x 3y 9=0.方法三 设P x,y为上任意一点，贝U P x,y关于点A-1,-2的对称点为P-2-x,-4-y,点 P 在直线 I 上，2 2 x-3-4 y 1=0，即 2x3y-9=0.【设计意图】复习课由于内容较多，难以把涉及全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以 灵活把握，有时间可以讲解，对称有两方面，主要学习以下两点
25、：（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题 2-1 33 X x=-3，解得：13 y-2 4 X 3 1=0 y 二 2 1 13 2.【解答】(1)设A x,y，由已知/33-A-,V 13 13)(2)在直线m上取一点，如 M 2,0，则M 2,0 c fb+O)3-I 关于直线I的对称点M 必在直线m，上.设对称点 2严 M a,b，则 1=0 2 2 口 21 a2:精品字里行间精品文档 成功是必须的 （2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题 六、【教后反思】1本教案的亮点是：在原教案的基础上，对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换教学内 容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法 的差别渗透相关点代入法，以及数形结合等思想方法 2本教案的不足是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显点关于线对称与线关于点对称问题，课堂 实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解