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1、生产与存储问题的数学模型 摘 要 在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。本文根据题中的条件针对如何满足市场需要的条件下,使总成本最小，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值。根据该题目我们可以建立一个目标函数：41)(miniiichw，其中ih为第i次的库存费用，ic为第i次的生产成本费用。在对目标函数进行规划，建立数
2、学模型求解。并对该模型进行分析。关键词：生产与存储；建模；动态规划；线性规划 THE MATHEMATICAL MODEL OF PRODUCTION AND STORAGE PROBLEMS ABSTRACT In a certain period of time,cost and inventory cost of production has been optimized index manufacturers are most concerned about.According to the questions of the conditions on how to meet the
3、needs of the market conditions,to minimize the total cost,using the method of multiobjective dynamic programming,establishes the optimization model of production and storage.We know that increase the production capacity can reduce the cost,but if the amount exceeds market demand,there will be a loss
4、 is caused due to the backlog of increased storage cost.On the contrary,if the production is reduced,although can reduce the storage cost,but it will increase production costs,will also cause the loss of.So we can find a production plan making production fee and storage cost of production and reach
5、a minimum value.According to the topic we can establish an objective function：41)(miniiichw，Where ih is the first i times the inventory cost,ic is i times the production the planning of the objective function,is established to solve the mathematical model.And the model analysis.Key words:Production
6、and storage；Modeling；dynamic programming；linear programming 目 录 1 问题的提出.1 2 问题的分析.1 3 问题假设.1 4 符号说明.2 5 模型的建立.2 模型的准备工作.2 建立模型.2 6 模型求解.3 7 模型验证及结果分析.8 参考文献.101 问题提出 某工厂要对一种产品制定今后四个时期的生产计划,据估计在今后四个时期内,市场对于该产品的需求量如表所示,假定该厂生产每批产品的固定成本为3(千元),若不生产为 0;每单位产品成本为 1(千元);每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6 个单位;每个时期末未售出的产
7、品,每单位需存储费(千元).还假定在第一个时期的初始储存量为0,第四个时期之末的库存量也为0.试问如何安排各个时期的生产与库存,才能在满足市场需要的条件下,使总成本最小.时期 1 2 3 4 需求(单位)2 3 2 4 2 问题分析 本题是典型的动态规划问题。要求制定一个在今后四个时期的生产计划，在满足市场需求的条件下，使总成本最少。此外，题目中的初始储存量和末储存量都为0。由题目可以建立一个动态规划的数学模型。3 问题假设 （1）每件产品每个时期的储存费用为常数；（2）每件产品的生产成本为常数；（3）库存容量满足每个时期的储存；4 符号说明 ix：第i时期的生产量 iy：第i时期的需求量 i
8、z：第i时期开始时的储存量（即iiyx i1izz）；初始储存量01z ic：第i时期的生产成本费用 ih：第i时期的储存费用 k：生产每批产品的固定成本 a：生产每单位产品的成本 b：每单位需存储费 m：每个时期能生产的上限 w：总成本 5 模型的建立 模型的准备工作 目标函数：41)(miniiichw 建立模型 设ix为第i时期的生产量，iy为第i时期的需求量，iz为第i时期结束时的储存量，有iiyx 1-iizz。ic为第i时期的生产成本费用，有iiaxkc0 时当时当00iixx。设ih为第i时期的储存费用，有)z(1-iiiiyxbh。则第i时期的总费用为iihc，故建立数学模型为
9、：用动态规划方法来求解，把它看作一个4阶段决策问题。令1iz为状态量，它表示第i个时期开始时的库存量；ix为决策量，它表示第i个时期的生产量。状态转移方程为：最优值函数)(iizf表示第i个时期状态为iz，采用最佳策略生产，从本时期到计划结束的生产和储存的最低费用。因此可写出顺序递推关系式为:其中),min(myziii。因为每个时期生产的上限为m；且因要满足市场需求，故第1-i个时期末的储存量1iz必须非负，即：所以有 iiixyz 从边界条件出发，利用上面的递推关系式，对每个i，计算出)(iizf中的iz在0到,min41iijjymy之间的值，最后求得的)0(1f即为所求的最小总费用。6
10、 模型求解 由题目可得每件产品的成本1a千元，生产每批产品的固定成本3k千元，每单位需存储费0.5b千元，每个时期能生产的上限6m个单位。带入模型得到：（1）4i时，有z4,6minz4,0max,4z04444x 4 4 0 4 4 7 0 7 7 4 1 3 3 6 0 6 6 3 2 2 2 5 0 5 5 2 3 1 1 4 0 4 4 1 4 0 0 0 0 0 0 0 即对于状态 X4的每个取值，都有唯一确定的决策变量 x4使得)(44zf最优（2）4i时，有z6,6minz2,0max,6z03333x 3 2 0 2 2 5 7 12 11 6 3 6 4 8 5 13 5 4
11、 6 11 0 11 1 1 1 4 7 11 10 5 2 6 3 7 5 12 4 4 5 10 0 10 2 0 0 0 7 7 7 0 1 6 2 6 5 11 3 4 4 9 0 9 3-1 0 6 0 1 5 5 10 2 4 3 8 0 8 4-2 0 1 5 6 6 0 1 4 2 7 0 7 5-3 0 4 0 1 6 0 6 6-4 0 2 0 2 2 6（3）2i时，有z9,6minz3,0max,9z02222x 2 3 0 3 3 6 11 17 16 5 4 10 5 9 7 16 6 17 7 12 6 18 8 19 9 15 2 17 1 2 2 5 11 1
12、6 14 3 3 10 4 8 7 15 5 16 6 11 6 17 7 18 8 14 2 16 2 2 1 1 1 4 11 15 11 0 2 10 3 7 7 14 4 15 5 10 6 16 6 17 7 13 2 15 3 0 0 0 11 11 0 1 10 2 6 7 13 3 14 4 9 6 15 5 16 6 12 2 14 4-1 0 10 8 0 2 3 1 5 7 12 2 13 3 8 6 14 4 15 5 11 2 13 5-2 0 1 7 8 8 0 1 12 2 7 6 13 3 14 4 10 2 12 6-3 0 8 8 0 1 6 6 12 2
13、13 3 9 2 11 7-4 0 2 6 8 8 0 1 12 2 8 2 10 8-5 0 8 8 0 1 7 2 9 9-6 0 3 2 5 5 0（4）1i时，有11,6min2,0max,0z11x 1 2 0 2 2 5 16 21 5 3 15 4 8 14 22 5 11 6 11 7 8 8 14 8 22 9 8 10 17 8 25 11 5 根据上表的计算，总时期的总体最优成本为5.20)0(1f(千元)按照上述计算过程进行逆推算，可得最优结果中各阶段的状态变量iz和决策变量ix如下表：时期i 产量ix 月初库存量iz 需求量iy 成本iich 1 5 0 2 2 0
14、3 3 0 3 6 0 2 11 4 0 4 4 0 7 模型分析 本文生产与存储的问题合理运用动态规划模型，动态规划作为本文的模型，是解决多阶段决策问题过程的一种数学方法。它能够把复杂问题简单化，即把多阶段决策问题改变成几个单阶段决策问题，来寻求最优解的方法。在另一方面，该模型能够在运用在经济学方面，如动态规划可以用来解决最优路径问题，仓库的库存问题，有限资源的分配问题，生产过程中的最优分配问题等等，因此动态规划能够在经济管理中起到很重要的作用 在本文中建立的数学模型只是一个简单地动态规划模型，在本论文中只是为了实现一个这样简单地动态规划模型的案例，在论文中，提出的假设问题只是在只有一种简单
15、数据的条件下来实现的，而在实际生产与存储过程中，却是十分复杂的，无论是前期的生产准备过程，还是后期的库存量、需求量、还有进行生产的劳动力等都不可能提供一个精确的数字，况且，实际过程中，会有更多的限制条件，在现实情况下，数学模型就会发生巨大的改变，而且相应的研究就就需要更加贴近实际、更加的深入，这种情况下，就需要在现实生活中收集更多的数据，这是在以后的研究方向要加强的地方 参 考 文 献 1 胡运权运筹学教程（第四版）M北京：清华大学出版社，2012：1-461.2 韩中庚实用运筹学模型、方法与计算M北京：清华大学出版社，2007：1-232.3 姜启源，谢金星，叶 俊编数学模型（第三版）M北京：高等教育出版社，2005：1-202.4 刘琼荪，何中市数学实验（第一版）M北京：高等教育出版社，：1-247.5 张明辉，王学辉等编着 最新应用详解M 北京：中国水利水电出版社，2001：1-180.