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1、 环节三 等比数列的前 n 项和公式（2）引入新课 研究数列问题的思路：探究新知 思考：等比数列的前n项和公式是什么？答案：111111.11nnnnaqSaqaa qqqq，知识应用 例 1 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点,E F G H，作第 2 个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点,I J K L，作第 3 个正方形IJKL，依此方法一直继续下去（1）求从正方形ABCD开始，连续 10 个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？追问 1：如何求每个正方形的面积？答案：需要知道每个
2、正方形的边长 追问 2：每个正方形的边长之间有什么关系？答案：观察图形，列举 第 1 个正方形边长5cm；第 2 个正方形边长5 2cm2；第 3 个正方形边长5cm2；第 4 个正方形边长5 2cm4；设第k个正方形的边长为a，则第1k 个正方形的边长为22a 得到结论：设这 10 个正方形的边长构成数列 na，则数列 na是以5为首项，22为公比的等比数列 追问 3：每个正方形的面积之间有什么关系？答案：第 1 个正方形面积225=25cm；第 2 个正方形面积225 225=cm22；第 3 个正方形面积22525=cm24；第 4 个正方形面积225 225=cm48；设第k个正方形的
3、面积为2a，则第1k 个正方形的边长为222=222aaa 得到结论：设这 10 个正方形的面积构成数列 nb，则数列 nb是以25为首项，12为公比的等比数列 追问 4：怎么求连续 10 个正方形的面积之和？答案：这 10 个正方形的面积之和即为等比数列 nb的前 10 项和，等比数列求和公式有两种，根据题意我们选择第一种 具体计算一下：设正方形ABCD的面积为1b，后继各正方形的面积依次为23,nb bb，则125b，由于第1k个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以112kkbb因此 nb是以25为首项，12为公比的等比数列 设 nb的前n项和为nS则 1010101251212
4、55755011251212S 所以前 10 个正方形的面积之和为225575cm512（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？追问 1：当n无限增大时，所有这些正方形的面积之和如何表示？答案：12512112nnS 追问 2：nS的变化与什么量有关？答案：nS的变化与n有关 随着n的无限增大，根据指数函数的性质，12n将无限趋近于 0，112n无限趋近于 1 当n无限增大时，nS无限趋近于所有正方形的面积和123nbbbb而1251215011212nnnS，随着n的无限增大，12n将无限趋近于 0，nS将无限趋近于 50 所以，所有这些正方形的
5、面积之和将无限趋近于 50 这里用到了极限的思想，极限指的是在一定的变化过程中，总体逐渐稳定的一种变化趋势以及趋向的值 极限思想是近代数学的一种重要思想，我们要体会应用极限思想分析问题和解决问题 例 2 去年某地产生的生活垃圾为 20 万吨，其中 14 万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加 1.5 万吨为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起 5 年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到 0.1 万吨）追问 1：每年生活垃圾的总量之间有什么关系？去年：20 万吨 第一年：2020 5%20 1 5%万吨；
6、第二年：220 15%20 15%5%20 15%万吨；第三年：22320 15%20 15%5%20 15%万吨；第四年：33420 15%20 15%5%20 15%万吨；因此，从今年起每年生活垃圾的总量构成首项为20 1 5%，公比为1 5%的等比数列 追问 2：每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？去年：6 万吨 第一年：6 1.5万吨；第二年：(6 1.5)1 1.56 1.5 2 万吨；第三年：6 1.5 21.56 1.5 3万吨；第四年：6 1.5 31.5 6 1.5 4 万吨；因此从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成首项为6 1.5，公差为1.5的等差数列 经分析我们知道
7、，每年生活垃圾的总量构成数列20 1 5%nna 每年以环保方式处理的垃圾量构成数列61.5nbn 追问 3：怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？可以用nnab表示 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列 na，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 nb，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为nS（单位：万吨），则20 1 5%nna，6 1.5nbn，1122nnnSababab 12122220 1.0520 1.0520 1.057.5 96 1.520 1.051 1.057.56 1.51 1.052327420 1.05420.44nnnnnaaabbb
8、nnnnn 当5n 时，563.5S 所以从今年起 5 年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5 万吨 生态文明建设需要环保，环保是生态文明建设的重要组成部分在生活中我们需要节约资源，绿色环保和垃圾分类，通过计算我们了解到每年生产生活产生的垃圾是一个庞大的数字，处理垃圾是我们不得不面对的任务。我们要增强环保意识 方法提炼：本题是一个有关等差数列与等比数列前n项和公式的综合应用问题，我们可以根据实际问题情境，构建出两个数列等比数列 na与等差数列 nb，而与问题的解决直接相关的量每年以填埋方式处理的垃圾量可以用这两个数列的差构成的数列nnab来表示 于求n年内通过填埋方式处理的垃圾量，就转化为求数列nnab的前n项和 而要求这个陌生数列的和，则需要把它转化为我们已经掌握的等差数列与等比数列的求和问题，分组进行求和，从而获得问题的解答 课堂小结（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型尤其要注意公比与项数的选取；（2）根据实际问题，先分清等比数列和等差数列,再建立不同的数学模型；（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点