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1、第三节第三节 非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组的概念非齐次线性方程组的概念非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组有解的条件称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组是系数矩阵是系数矩阵其中其中一、非齐次线性方程组齐次线性方程组对方程组的系数矩阵对方程组的系数矩阵A按列分块，记作按列分块，记作A=问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有 解时怎样求出其所有解？解时怎样求出其所有解？根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵与其行向量组、列向量
2、组的关系，不难得知如下与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下等价命题：等价命题：二、非齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组有解的条件（1 1）线性方程组）线性方程组 有解有解通常用通常用(4)来判断来判断(1)非齐次线性方程组有解得等价条件非齐次线性方程组有解得等价条件性质性质1 设设是是的任意两个解，的任意两个解，是对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组证明证明 性质性质2三、非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的性质：非齐次线性方程组解的性质：的任一解为的任一解为证明证明 的解的解,用用表示之，有表示之，有X-从而从而 X=若若 r（A）=r且已知且已
3、知是是的基础解系，的基础解系，是是是的某个已知解，则是的某个已知解，则的通解为的通解为是任意实数。是任意实数。其中其中对非齐次线性方程组对非齐次线性方程组定理定理解解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得对方程组的增广矩阵作初等行变换，得例例得到非齐次线性方程组的同解方程组为得到非齐次线性方程组的同解方程组为 令令 解得解得从而得到非齐次线性方程组的一个解从而得到非齐次线性方程组的一个解 对应齐次线性方程组的同解方程组为对应齐次线性方程组的同解方程组为令令分别取分别取从而得到齐次线性方程组的一个基础解系从而得到齐次线性方程组的一个基础解系为任意常数为任意常数.其中其中齐次线性方程组通解为齐次线性
4、方程组通解为非齐次线性方程组的通解为非齐次线性方程组的通解为例例 问方程组问方程组为何值时方程组有唯一解；无解；无穷多解为何值时方程组有唯一解；无解；无穷多解？解：解：方程组有无穷多解方程组有无穷多解方程组无解。方程组无解。所以所以 例例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是它的三个解向量，且是它的三个解向量，且为为3，已知，已知求该方程组的通解。求该方程组的通解。解解:设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组已知已知故有故有基础解系中应含基础解系中应含n-r=4-3=1个向量个向量非齐次线性方程组的通解为非齐次线性方程组的通解为例例求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：由题意应有：由题意应有：解：解：设有方程设有方程对系数矩阵施行初等行变换，有：对系数矩阵施行初等行变换，有：即所求方程组为：即所求方程组为：线性方程组线性方程组解的存在性解的存在性齐次线性方齐次线性方程组程组非齐次线性方非齐次线性方程组程组小小 结结线性方程组线性方程组解解 的的 结结 构构齐次线性方齐次线性方程组程组非齐次线性方非齐次线性方程组程组解的解的任意非零线性任意非零线性组合仍为其解组合仍为其解任一解可任一解可表示为一特解与表示为一特解与导出组的解之和导出组的解之和