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1、第十一章第十一章 点的运动点的运动 11.1 描述点运动的矢径法描述点运动的矢径法11.2 直角坐标法直角坐标法11.3 自然法自然法11.1 描述点运动的矢径法描述点运动的矢径法一运动方程及轨迹一运动方程及轨迹 动动点点M对对定定点点O(参参考考体体内内的的连连体体点点)的的矢矢径径 ，可可作作为为动点矢量形式的位置参量动点矢量形式的位置参量(图图111)。例例如如在在雷雷达达定定位位中中，雷雷达达站站至至目目标标的的波波束束就就是是目目标标的的矢矢径径。动动点点运运动动时时矢矢径径r的的大大小小和和方方向向都都随随时时间间而而变变，成成为为时时间间t的的单单值值连连续续矢矢函数。函数。矢径
2、末端在参考空间中描绘出的曲线称为矢径末端在参考空间中描绘出的曲线称为矢端图矢端图。显然动点的。显然动点的轨迹轨迹(图图111中的曲线中的曲线L)就是动点矢径的矢端图，而式就是动点矢径的矢端图，而式(111)也就也就是以时间是以时间t为参数的点为参数的点M轨迹方程的矢量形式。另须注意，点的轨迹轨迹方程的矢量形式。另须注意，点的轨迹是与参考系空间固连的曲线因此轨迹也可以表征参考体。是与参考系空间固连的曲线因此轨迹也可以表征参考体。下一页返回11.1 描述点运动的矢径法描述点运动的矢径法二速度二速度 设动点设动点M沿其轨迹沿其轨迹L运动，在瞬时运动，在瞬时t和置分别是和置分别是M，M径分别径分别是是
3、r和和r(图图111)。矢径的变化量。矢径的变化量 r=r-r 称为动点在时间称为动点在时间t内的位移。点的位移是矢量，它由点的始末内的位移。点的位移是矢量，它由点的始末位置确定，与动点在两位置间行径的路径无关位置确定，与动点在两位置间行径的路径无关。比值比值r=t称为动点在时间内的平均速度称为动点在时间内的平均速度。t0时平均速时平均速度的极限定义为动点在瞬时度的极限定义为动点在瞬时t的速度，记为的速度，记为v下一页返回上一页11.1 描述点运动的矢径法描述点运动的矢径法 这个结果可以推广到一般矢量导数，即矢量的导数是一个新矢这个结果可以推广到一般矢量导数，即矢量的导数是一个新矢量，它表示矢
4、量端点在矢量图上运动的速度；其方向沿矢量图上对应量，它表示矢量端点在矢量图上运动的速度；其方向沿矢量图上对应点的切线。点的切线。速度的大小速度的大小v常称速率，其单位是常称速率，其单位是ms。三加速度三加速度 设动点设动点M沿其轨迹沿其轨迹L上运动，在瞬时上运动，在瞬时t和和t+t的位置和速度分的位置和速度分别是别是M、M，v、v(图图112(a)。在时间。在时间t内的速度改变量为内的速度改变量为v=v-v，比值，比值v/t 称为动点在称为动点在t时间内的平均加速度。当时间内的平均加速度。当t0时平均加速度的极限定义为动点在瞬时时平均加速度的极限定义为动点在瞬时t的加速度，记为的加速度，记为a
5、下一页返回上一页11.1 描述点运动的矢径法描述点运动的矢径法 即点的加速度（矢量）等于它的速度对时间的导数，或者等于即点的加速度（矢量）等于它的速度对时间的导数，或者等于它的矢径对时间的二阶导数。加速度大小的单位是它的矢径对时间的二阶导数。加速度大小的单位是m/s2。返回上一页11.2 直角坐标法直角坐标法一一.运动方程运动方程轨迹轨迹 动点动点M的矢径，在坐标系的矢径，在坐标系oxyz中的解析表达式为中的解析表达式为 r=xi+yj+zk3个直角坐标可以作为动点个直角坐标可以作为动点M的独立位置参数。的独立位置参数。点点M运动时，它们都是运动时，它们都是t的单值连续函数的单值连续函数这组方
6、程称为动点这组方程称为动点M的直角坐标形式的运动方程。的直角坐标形式的运动方程。下一页返回11.2 直角坐标法直角坐标法二二.速度速度 根据式（根据式（11-2）和（）和（11-4），点），点M的速度为的速度为 上式已考虑了各固定轴单位上式已考虑了各固定轴单位i,j,k不随时间而变、其对时间导数都不随时间而变、其对时间导数都为零的性质。为零的性质。另一方面，写出矢量另一方面，写出矢量v在坐标系在坐标系oxyz中的解析表达式中的解析表达式下一页返回上一页11.2 直角坐标法直角坐标法 即，点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于动点的即，点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于动点的
7、对应坐标对时间的导数。对应坐标对时间的导数。三三.加速度加速度进行与速度分析完全类似的过程，得出进行与速度分析完全类似的过程，得出下一页返回上一页11.2 直角坐标法直角坐标法 即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于动点即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于动点速度的对应投影对时问的导数；或者等于对应坐标的二阶导数。速度的对应投影对时问的导数；或者等于对应坐标的二阶导数。应当注意，由式应当注意，由式(111)(1110)看出，运动方程是点运动的看出，运动方程是点运动的基本描述。建立直角坐标形式运动方程的要点是：先确定原点和轴的基本描述。建立直角坐标形式运动方程的要点
8、是：先确定原点和轴的指向明确的直角坐标系；使动点处在独立坐标为正的一般位置；列写指向明确的直角坐标系；使动点处在独立坐标为正的一般位置；列写动点坐标的几何关系表达式；最后在此表达式中代入时间关系。这些动点坐标的几何关系表达式；最后在此表达式中代入时间关系。这些要点原则上适合任何形式要点原则上适合任何形式(如自然法，见后如自然法，见后)运动方程的建立。运动方程的建立。相反的问题是，已知点的速度、加速度，须求点的速度、运动方相反的问题是，已知点的速度、加速度，须求点的速度、运动方程及轨迹。这时须利用式程及轨迹。这时须利用式(1110)或或(118)写出动点的运动微分方程，写出动点的运动微分方程，并
9、利用初始条件作求积运算。具体问题，无论求导或求积，都应充分并利用初始条件作求积运算。具体问题，无论求导或求积，都应充分注意微积分知识的应用。注意微积分知识的应用。返回上一页11.3 自然法自然法一曲率半径一曲率半径密切面密切面 图图115所示空间曲线在相邻近两点所示空间曲线在相邻近两点M和和M处的切线分别是处的切线分别是MT、MT。两点间的弧长。两点间的弧长MM=S。曲率的倒数称为曲线在点曲率的倒数称为曲线在点M处的曲率半径，记为处的曲率半径，记为下一页返回11.3 自然法自然法 按此定义，密切面可以理解为点按此定义，密切面可以理解为点M处曲线的微小弧段处曲线的微小弧段ds(小到可以小到可以看
10、成平面曲线看成平面曲线)所在的平面，或者点所在的平面，或者点M处曲线的曲率圆所在的平面。显处曲线的曲率圆所在的平面。显 然，平面曲线在任一点的密切面都是该曲线所在平面本身。然，平面曲线在任一点的密切面都是该曲线所在平面本身。二自然轴系二自然轴系 如如图图116所示，通过曲线所示，通过曲线L上点上点M而与切线而与切线MT垂直的平面，称垂直的平面，称为曲线在点为曲线在点M的法面。法面与密切面的交线的法面。法面与密切面的交线MN称为主法线。法面内称为主法线。法面内与主法线垂直的直线与主法线垂直的直线MB称为副法线。称为副法线。在点在点M处曲线的切线、主法线和副法线组成一个空间标架，称为处曲线的切线、
11、主法线和副法线组成一个空间标架，称为点点M的自然轴系的自然轴系(图图116)下一页返回上一页11.3 自然法自然法三运动方程三运动方程 在动点在动点M的已知轨迹的已知轨迹L上选取一点作上选取一点作OS为原点，并取定曲线的正、为原点，并取定曲线的正、负向负向(图图117)。s可作为确定动点可作为确定动点M位置的参数，点位置的参数，点M沿已知轨迹运沿已知轨迹运动时，动时，s是时间是时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即 s=s(t)上式称为动点上式称为动点M的自然形式的运动方程。的自然形式的运动方程。四四.速度速度 设动点设动点M在瞬时在瞬时t的矢径为的矢径为r，弧坐标为，弧坐标为s(图图11
12、-7)。根据式（。根据式（11-2），点），点M的速度表示为的速度表示为下一页返回上一页11.3 自然法自然法五加速度五加速度由加速度的矢径法定义，考虑式由加速度的矢径法定义，考虑式(1113)，有，有其中须要讨论的是矢量导数其中须要讨论的是矢量导数现分析它的大小和方向。设沿切线现分析它的大小和方向。设沿切线MT的单位矢量为的单位矢量为,=-下一页返回上一页11.3 自然法自然法但但故有故有下一页返回上一页11.3 自然法自然法于是于是另一方面，加速度另一方面，加速度a在自然轴系中分解式写为在自然轴系中分解式写为比较式比较式(11-15)，（，（11-16），得），得这就是加速度在自然轴上的投影公式。这就是加速度在自然轴上的投影公式。返回上一页图图111返回图图111返回图图11-5返回图图11-6返回 图图11-7返回