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1、电子科技大学二零零 五 至二零零 六 学年第 一 学期期 末 数学物理方法 课程考试题（分钟）考试形式：考试日期 2007 年 月 日 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷教师 一、填空（5*4=20 分）1、定解问题 的解为 2、确定下列本征值问题 的本征值 ，本征函数 3、贝塞尔方程：（式中 m 为整数）的通解为：。4、积分：0。二、长为 的杆，一端固定，另一端受力 F0 而伸长，求解放手后杆的振动。（15 分）解：定解问题为：（6 分）本题既有第一类边界条件，也有第二类边界条件，令 ，代入泛定方程分离变量得：，（2 分）时才有有意义的解 ，再利用边界条件得：，所以 将本征值
2、代入关于 T 的微分方程得：（2 分）所以 （2 分）利用初始条件 ，可得 再利用初始条件 ，可解得 （1 分）所以：（2 分）三、长为 的均匀细弦，两端固定于 处，弦中的张力为 T0，在 x=h 点处，以横向力 F0 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出其初始条件：（10 分）解：设弦在 x=h 处收到横向力作用后发生的位移为 y，则弦的初始位移如图所示：由两条直线的方程给出：（5 分）其中 y 为待求量，又设 h 的左右两边的弦中的张力分别为 T1,T2,由牛顿定律得：（5 分）其中的 T1,T2,a1,a2 均为辅助量，只要找出其和已知量及 h 的关系，并代入上式，就可求得 y.作微小
3、振动近似，可得：（2 分）所以可得：（3 分）四、求定解问题 （15 分）（每个公式 5 分）五、在上半空间 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题（10 分）【解】构建格林函数 满足 （3 分）根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为 即有 （3 分）为了把 代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式，需要先计算 即为 ，因为边界外法线方向 为负 z 轴方向（3 分）（3 分）代入（14.2.22）即得到 （3 分）六、（15 分）1、已知 P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=,将函数 按勒让德多项式 Pn(x)展开。解：令 （2 分）所以 （2 分）（1 分）2、利用特殊函数的有关性质，计算下列积分：解：（2 分）（1 分）（2 分）