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1、文档 第一部分 小学数学 第一章 数与代数 第一节 数的认识 一、基础知识（一）整数：1.整数的读法和写法 例：“3121700”读作：三百一十二万一千七百 2.整数的近似数“四舍五入”3.整数的运算 加法：减法：乘法：除法：四则混合运算：4.自然数：5.数的整除：整数 a 除以整数 b(b0），除得的商是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a。如果数 a 能被数 b（b0）整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数（或 a 的因数）。倍数和约数是相互依存的。个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除。个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整
2、除。一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除。一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。一个数的末两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除一个数的末三位数能被 8（或 125）整除，这个数就能被 8（或 125）整除。偶数、奇数 一个数，如果只有 1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。注意：1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的
3、形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。文档 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。公约数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1 和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。（二）小数：1.小数的读法和写法:2.小数的分类：纯小数、带小数 有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数；无限小数：小
4、数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限.循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。（三）分数：1.分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2.分数的分类 真分数：假分数：带分数：3.约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分
5、母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。4.百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。（四）常见的量 1.时间 2.长度 3.面积 4.体积 5.容积 6.质量 文档 二、能力训练 1一个九位数，最高位是是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被 2 和 3 整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作_，读作_。2.三个连续奇数的和是 645。这三个奇数中，最小的奇数是_。3.在一条长 50 米的
6、大路两旁，每隔 5 米栽一棵树（两端都要栽），一共可栽_棵树。4.被减数减去减数，差是 0.4，被减数、减数与差的和是 2，减数是_。5.两个数的积是 45.6，一个因数扩大 100 倍，另一个因数缩小到原来的101,积是_。6.74的分数单位是_，它含有_个这样的单位，它的倒数是_。7.73的分子加上 12，要使分数的大小不变，分母应加上_。8.一个三位小数，保留两位小数取近似值后是 5.60，这个三位小数最小是_，最大是_。9.5 是 8 的_%，8 是 5 的_%，5 比 8 少_%，8 比 5多_%。10.自然数按因数的个数分，可以分为（）.A.奇数和偶数 B.素数和合数 C.奇数、偶
7、数和 1 D.素数、合数、0 和 1 11.已知 a+b=5，（a、b 均为自然数），则 a 和 b 两个数的最大公因数是（）。A.5 B.b C.a D.1 12.分数单位是 1/11 的最大真分数和最小假分数的和是（）。A21/11 B.2 C.20/11 D.1 13.下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（）。A.质数与合数 B.奇数与偶数 C.质数与质数 D.偶数与偶数 14.把 210 分解质因数是（）。A.21027351 B.2102521 C.2103527 D.210=25211 15.两个奇数的和（）。A.是奇数 B.是偶数 C.可能是奇数，也可能是偶数 D.一定不是奇数
8、 16.一个合数至少有（）个约数。A.1 B.2 C.3 D.4 17.有 4、5、7、8 这四个数，能组成（）组互质数。A.3 B.4 C.5 D.6 18.四位数“3AA1”是 9 的倍数，则 A=_。19.能同时被 2，3，5 整除的最大三位数是_。20.所有能被 3 整除的两位数的和是_。文档 三、拓展提高 1.在 10 以内任意选两个不同的素数，就可以写一个分数，其中最小的是_。2.如果 A 和 B 是自然数，并且 AB=5.那么 A 和 B 的最小公倍数是_，5 是_的因数。3.两个素数的和是 31，这两个素数的积是_。4.将循环小数3.102和0.215转换成分数。5.有三十个数
9、：1.64,1.64+130，1.64+230，1.64+2830，1.64+2930，如果取每个数的整数部分（例如：1.64 的整数部分是 1,1.64+1130的整数部分是 2）。并且将这些的整数相加，那么它们的和是多少？6.设一个五位数abcad，其中d-b=3，若这个数能被 11 整除，则 a 的范围是_，c=_。7.能同时被 2,5,7 整除的最大五位数是_。8.六位数 X2010Y 能被 88 整除，则 X、Y 的取值分别为多少？A.X=9，Y=4 B.X=7，Y=4 C.X=9，Y=8 D.X=8，Y=4 9.有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和
10、与梨数之和都是偶数，最少要把这些苹果和梨分成_堆。10.有两个容器，一个容量为 27 升，一个容量为 15 升，如何利用他们从一桶油中倒出6 升油来？文档 要 点 回 顾 文档 第二节 比与比例 一、基础知识 1.比的意义和性质（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项（比的后项不能是零）。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分
11、数值。（2）比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本性质。（3）求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。（4）比例尺 数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。2.比例的意义和性质（1）比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质 在比例里，
12、两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3.正比例和反比例（1）成正比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示 y/x=k(一定）（2）成反比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示 xy=k(一定)文档
13、 二、能力训练 1.在比例中，两个内项的积是 6，其中一个外项是23，另一个外项_。2.如果 y=5x，那么 x 和 y 成_比例。3.一幅地图上用 5 厘米表示实际距离 20 千米，这幅地图的比例尺是_。4.1.2 千克250 克化成最简整数比是_，比值是_。5.一个三个角形三个内角度数的比是 141，这是一个_三角形。6.如果 7x=8y，那么 xy=_。7.男生人数比女生多 20，则女生人数与男生人数的比是_，女生比男生少_。8.已知甲数的 1/6 相当于乙数的 1/5，那么甲数的一半相当于乙数的_。9把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量（）A成正比例 B成反比例 C不成比例
14、10和一定，加数和另一个加数（）A成正比例 B成反比例 C不成比例 11在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（），成反比例关系是（）A汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数 B汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 C汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数 三、拓展提高 1.把 280 棵树苗栽在两块长方形地上，一块长 15 米，宽 8 米；另一块长 12 米，宽 4米，如按面积大小分配栽种，这两块地分别要栽多少棵？2.配制一种农药，其中药与水的比为 1150。要配制这种农药 755 千克，需要药和水各多少千克？有药 3 千克，能配制这种农药多
15、少千克？如果有水 525 千克，要配制这种农药，需要放进多少千克的药？文档 要 点 回 顾 文档 第三节 计算和巧算 一、基础知识 1.运算定律（1）加法交换律：a+b=b+a。（2）加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)。（3）乘法交换律：ab=ba。（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)。（5）乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。（6）减法的性质：a-b-c=a-(b+c)。2.运算顺序（1）小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。（2）分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。（3）没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。（4）有
16、括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（5）第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。（6）第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。二、能力训练 1.有 13 个自然数，小红计算它们的平均数精确到百分位是 12.56，老师说最后一个数字写错了，那么正确的答案应该是_。2.直接写出得数：（1）1145_ （2）8.50.01=_（3）0.199-0.1=_ （4）9(0.27)10_（5）27.25427.254=_ （6）7779+11137=_（7）10.625=_ （8）51289_ 3.计算下列各题：（1）123+234+345+456+567+678 （2）7
17、89788788-788789789 文档 （3）1627+270 1825 （4）0.88812573+9993 （5）67896789-67906788 三、拓展提高 1.（1）111111 2 3 42 3 4 53 4 5 667 8 97 8 9 10 （2）333.1 2 3 42 3 4 517 18 1920 文档 2.（1）11111111111111(1)()(1)()23423452345234 （2）111111111111111111213141213141511121314151213141 要 点 回 顾 文档 第二章 空间与图形 第一节 平面图形 一、基础知识
18、1长方形（1）特征：（2）计算公式：c=2(a+b)；s=ab。2正方形（1）特征：（2）计算公式：c=4a，s=a。3三角形（1）特征：（2）计算公式：s=ah/2。（3）分类：按角分 锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：按边分 不等边三角形：等腰三角形：等边三角形：4平行四边形（1）特征：（2）计算公式：s=ah。5梯形（1）特征：（2）计算公式：s=(a+b)h/2 6圆（1）圆的认识 圆心：半径：直径：（2）圆的画法：（3）圆的周长：C=d，C=2r（d 是直径，r 是半径）文档 （4）圆的面积：s=r2 7扇形（1）扇形的认识：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆
19、上 AB 两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”。(2)扇形面积计算公式：2360n r。8环形(1)特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。(2)计算公式：s=(R-r）。9轴对称图形 特征：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。正方形有 4 条对称轴，长方形有 2 条对称轴。等腰三角形有 2 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。菱形有 4 条对称轴，扇形有一条对称轴。二、能力训练 1.一个平行四边形底缩小 10 倍，高扩大 10 倍，这个平行四边形的面积()。A.
20、大小与原来相等 B.缩小 10 倍 C.扩大 10 倍 D.扩大 100 倍 2.将一个长方形拉成一个平行四边形（四条边长度不变），它的面积()。A.比原来小 B.比原来大 C.与原来相等 D.无法比较 3.两个完全一样的直角三角形，不可能拼成一个（）。A.梯形 B.正方形 C.三角形 D.平行四边形 4.在面积为 42 平方米的平行四边形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（）。A.21 B.30 C.14 D.42 5.周长都相等，（）的面积最大。A.正方形 B.长方形 C.圆 D.一样大 6.面积都相等，（）的周长最大。A.正方形 B.长方形 C.圆 D.三角形 7.下列叙述中，正确
21、的是()A只有一组对边平行的四边形是梯形 B矩形可以看作是一种特殊的梯形 C梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角 D梯形的对角互补 8等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的 3 倍，则底角的度数是()A30和 150 B45和 135 C60和 120 D都是 90 9菱形和矩形一定都具有的性质是（）文档 A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D每条对角线平分一组对角 10下列说法正确的是（）A对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D对角线相等的四边形是菱形 三、拓展提高 1.将一个平行四边形拼成一个长方形，面
22、积_，周长_；将一个平行四边形拉成一个长方形，面积_，周长_。（填“增大”或者“减小”）A变大 B.变小 C.不变 D.无法比较 2.能拼成一个平行四边形的两个三角形必须具备()。A.面积相等 B.形状相同 C.完全一样 D.任意两个均可 3.周长相等的一个正方形，一个长方形，一个平行四边形，()面积最大。A.正方形 B.长方形 C.平行四边形 D.无法比较 4.把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的()总是相等的。A.高 B.面积 C.上、下底的和 D.无法确定 5.一个三角形和一个平行四边形底相等，面积也相等，如果平行四边形的高是 6 厘米，那么三角形的高是()厘米。A.6 B.
23、3 C.12 D.18 6.一个梯形的上底长 36dm，如果补上一块底为 64dm，面积为 64dm2的三角形，就变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是()。A.200dm2 B.136dm2 C.272dm2 D.68dm2 要 点 回 顾 文档 第二节 空间图形 一、基础知识（一）长方体 1特征：2.计算公式：s=2(ab+ah+bh)，V=sh，V=abh（a 表示长，b 表示宽，h 表示高）。（二）正方体 1.特征：2.计算公式：S 表=6a，v=a（a 表示棱长）。（三）圆柱 1.圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高。2.计算公式
24、：S 表=S 侧+S 底2，V=sh/3。（四）圆锥 1.圆锥的认识：2.计算公式：V=sh/3。二、能力训练 1.一个正方体的底面周长与高分别与一个圆柱体的底周长和高相等，那么体积比较（）A.正方体大 B.圆柱体大 C.两者一样大 D.无法判断 2.一个圆锥的底面半径和高都扩大 2 倍，体积扩大了（）A12 倍 B.8 倍 C.4 倍 D.6 倍 3.一个底面积为 24 平方厘米的圆锥体和一个棱长为 4 厘米的正方体的体积相等，圆锥的高是（）。A.3 厘米 B.4 厘米 C.8 厘米 D.12 厘米 4.圆柱底面直径是圆锥底面直径的 1/2，如果高相等，那么圆锥的体积是圆柱体积的（）A.13
25、 B.16 C.34 D.43 5.把一个棱长 2 分米的正方体锯成两个长方体，表面积总和（）。文档 A.不变 B.增加 4 平方分米 C.增加 8 平方分米 D.不一定 要 点 回 顾 文档 第三章 统计与可能性 一、基础知识（一）统计：1.条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出各种数量的多少。2.折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。3.扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，
26、用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。4.平均数：中位数：众数：（二）可能性：随机事件的概率 二、能力训练 1.从标有 1，2，3，4 的四张卡片中任抽一张。（1）抽到卡片“1”的可能性是_。（2）抽到卡片“2”、“4”的可能性是_。（3）抽到数字小于 4 的卡片的可能性是_。2.口袋里有大小相同的 6 个球，1 个红球，2 个白球，3 个黄球，从袋中任意摸出一个球。（1）摸出什么颜色的球的可能性最大，是多少？（2）摸出什么颜色的球的可能性最小，是多少？（3）摸出不是红球的可能性是多少？3.盒子装有 15 个球，分别写着 115 各数。如果摸到是 2
27、 的倍数，小刚赢，如果摸到不是 2 的倍数，小强赢。（1）这样约定公平吗？为什么？（2）小强一定会输吗？文档 4.某商品举行促销活动，前 100 名的购买者可以抽奖，一等奖 20 个，二等奖 30 个，三等奖 50 个。（1）这次抽奖活动，中奖的可能性是_。（2）第一个人抽奖中一等奖可能性是_，中二等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_。（3）抽奖到一半，已经有 8 人中一等奖，15 人中二等奖，24 人中三等奖。这里李明第51 个抽奖，中一等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_，中三等奖的可能性是_。5.下面记录的是五（3）班第 1 组女生的一次跳远成绩。（单位：m）2.83 3.32 2.
28、75 3.17 2.58 2.65 3.24 3.29 3.41 3.26 2.98 3.52（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？（3）如果 2.80m 以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？6.8 个数的平均数是 2.1，前 3 个数的平均数为 2.6，后 4 个数的平均数为 1.4，第四个数是多少？要 点 回 顾 文档 第四章 实践与综合应用 一、基础知识 1.归一问题 含义：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题 数量关系：总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份
29、的数量 另一总量（总量份数）所求份数 解题思路：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。2.归总问题 含义：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。数量关系：1 份数量份数总量 总量1 份数量份数 总量另一份数另一每份数量 解题的思路和方法：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。3.和差问题 含义：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。数量关系：大数（和差）2 小数（和差）2 解题思路和方法：简单的题目可以直接套用公式；复杂的
30、题目变通后再用公式。4.和倍问题 含义：已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。数量关系：总和（几倍1）较小的数 总和较小的数较大的数 较小的数几倍较大的数 解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。5.差倍问题 含义：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。数量关系：两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数 解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。6.倍比问题 含义：有两个已知的同类量，其中一个量是另一
31、个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。数量关系：总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 解题思路与方法：先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。7.相遇问题 含义：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。数量关系：相遇时间总路程（甲速乙速）文档 总路程（甲速乙速）相遇时间 解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。8.追及问题 含义：两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢
32、些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。数量关系：追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间 解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。9.植树问题 含义：按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。数量关系：线形植树 棵数距离棵距1 环形植树 棵数距离棵距 方形植树（端点不植树）棵数距离棵距4 三角形植树（端点不植树）棵数距离棵距3 面积植树 棵数面积（棵距行距）解题思路和方法：先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。10.年龄问题 含义：这类问题是根据题目的内容
33、而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。数量关系：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。11.行船问题 含义：行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。数量关系：（顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速 顺水速船速2逆水速逆水速水速2
34、逆水速船速2顺水速顺水速水速2 解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。12.列车问题 含义：这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。数量关系：火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速 火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。13.时钟问题 含义：就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。数量关系：分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为1112。通常按追及问题来对
35、待，也可以按差倍问题来计算。解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式。文档 14.盈亏问题 含义：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。数量关系：一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差 如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差 参加分配总人数（大亏小亏）分配差 解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。15.工程问题 含义：工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常
36、不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率 工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式。16.正反比例问题 含义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量
37、就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。数量关系：判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。解题思路和方法：解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。17.按比例分配问题 含义：所谓按比例分配，就是把一个数按照
38、一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。数量关系：从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和 解题思路和方法：先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。18.百分数问题 含义：百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表
39、示“量”，而文档 百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。数量关系：掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量 标准量比较量百分数 解题思路和方法：一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数原来基数100%合格率合格产品数产品总数100%出勤率
40、实际出勤人数应出勤人数100%出勤率实际出勤天数应出勤天数100%缺席率缺席人数实有总人数100%发芽率发芽种子数试验种子总数100%成活率成活棵数种植总棵数100%出粉率面粉重量小麦重量100%出油率油的重量油料重量100%废品率废品数量全部产品数量100%命中率命中次数总次数100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人数参加考试人数100%19.“牛吃草”问题 含义：“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。数量关系：草总量原有草量草每天生长量天数 解题思路和方法：解这类题的关键是求出草每天的生长量。20.鸡兔同笼问题 含
41、义：这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。数量关系：第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有 鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有 鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）解题思路和方法：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。
42、这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。21.方阵问题 文档 含义：将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数 空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数）内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4 解题思路和方法：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。2
43、2.商品利润问题 含义：这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。数量关系：利润售价进货价 利润率（售价进货价）进货价100%售价进货价（1利润率）亏损进货价售价 亏损率（进货价售价）进货价100%解题思路和方法：简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。23.存款利率问题 含义：把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。数量关系：年（月）利率利息本金存款年（月）数100%利息本金存款年（月
44、）数年（月）利率 本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）数 解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。二、能力训练 1.东西两城相距 75 千米，小东从东向西而走，每小时 6.5 千米；小希从西向东而走，每小时走 6 千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走 15 千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东行；遇见了小东又折回向西而行；再遇见小希又折回向东行，这样往返一直到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米？文档 2.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以
45、吃多少天？3.甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3筐，两车原来各装苹果多少筐？4.甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？5.粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？文档 6.凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？7.甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点
46、 3 千米处相遇，求两地的距离。8.兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？9.孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。文档 10.一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏
47、路灯？11.甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？12.甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 10 小时；乙船逆水行同样一段距离需15 小时，返回原地需多少时间？13.一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥用了 58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？文档 14.四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？15.修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得
48、延长 4 天。这条路全长多少米？16.学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？17.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？文档 18.修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？19.学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有48 人，
49、三班有 45 人，三个班各植树多少棵？20.从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的12，二儿子分总数的13，三儿子分总数的19，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。21.红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？文档 22.一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5天可以把草吃完？23.一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12 个人淘水，3 小时可以淘完；如果只有 5 人淘水，要 10 小时才能淘完。求 17 人几
50、小时可以淘完？24.有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问大小和尚各多少人？25.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是 28 人，这队学生共多少人？文档 26.某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜 10%，甲店按 30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵 6 元，求乙店的定价。27.李大强存入银行 1200 元，月利率 0.8%，到期后连本带利共取出 1488 元，求存款期多长。28.银行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28%，五年期 9%。如果甲乙二人同