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1、【解析版】专题2.7二次函数的应用(2)抛物型问题姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分100分,试题共24题,其中选择10道、填空8道、解答6道答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2020濮阳模拟)小明以二次函数y2x24x+8的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若AB4,DE3,则杯子的高CE为()A14B11C6D3【分析】首先由y2x24x+8求出D点的坐标为(1,6),然
2、后根据AB4,可知B点的横坐标为x3,代入y2x24x+8,得到y14,所以CD1468,又DE3,所以可知杯子高度【解析】y2x24x+82(x1)2+6,抛物线顶点D的坐标为(1,6),AB4,B点的横坐标为x3,把x3代入y2x24x+8,得到y14,CD1468,CECD+DE8+311故选:B2(2019秋武昌区校级期中)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m若水面再下降1.5m,水面宽度为()mA4.5B2C2D2【分析】以AB所在直线为x轴,以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,由待定系数法求得二次函数的解析式,然后由题意得关于x的一元二次方程,解得
3、x的值,用较大的x值减去较小的x值即可得出答案【解析】如图,以AB所在直线为x轴,以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则由题意可知A(2,0),B(2,0),C(0,2),设该抛物线的解析式为yax2+2,将B(2,0)代入得:0a4+2,解得:a抛物线的解析式为yx2+2,若水面再下降1.5m,则有1.5x2+2,解得:x()2,水面宽度为2m故选:D3(2019秋汾阳市期末)如图,某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面3米,则水流下落点B离墙的距离OB是()A2.5米B3米C3
4、.5米D4米【分析】根据题意可以求得抛物线的解析式,从而可以求得点B的坐标,本题得以解决【解析】由题意可得,抛物线的顶点坐标为(1,3),设抛物线的解析式为:ya(x1)2+3,2.25a(01)2+3,解得a0.75,y(x1)2+3,当y0时,(x1)2+30,解得,x11,x23,点B的坐标为(3,0),OB3,答:水流下落点B离墙距离OB的长度是3米故选:B4(2020山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面1.5m的高处以
5、20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A23.5mB22.5mC21.5mD20.5m【分析】根据题意,可以得到h与t的函数关系式,然后化为顶点式,即可得到h的最大值,本题得以解决【解析】由题意可得,h5t2+20t+1.55(t2)2+21.5,因为a50,故当t2时,h取得最大值,此时h21.5,故选:C5(2020绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为()A4米B5米C
6、2米D7米【分析】根据题意,可以画出相应的抛物线,然后即可得到大孔所在抛物线解析式,再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式,将x10代入可求解【解析】如图,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可得MN4,EF14,BC10,DO,设大孔所在抛物线解析式为yax2,BC10,点B(5,0),0a(5)2,a,大孔所在抛物线解析式为yx2,设点A(b,0),则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为ym(xb)2,EF14,点E的横坐标为7,点E坐标为(7,),m(xb)2,x1b,x2b,MN4,|b(b)|4m,顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y(xb)2,大孔水面宽度为20米,当x10时,y,
7、(xb)2,x1b,x2b,单个小孔的水面宽度|(b)(b)|5(米),故选:B6(2019秋北京期末)小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”,从最低点开始旋转一圈,她离地面的高度y(米)与旋转时间x(分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画经测试得出部分数据如表根据函数模型和数据,可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是()x(分)13.514.716.0y(米)156.25159.85158.33A32分B30分C15分D13分【分析】利用二次函数的性质,由题意,最值在自变量大于2.66小于3.23之间,由此不难找到答案【解析】最值在自变量大于13.5小于14.7之间,所以最接近摩天轮转一圈的时
8、间的是15230分钟故选:B7(2020永康市模拟)已知物体下落时间t与下落距离x成以下关系:xgt2,其中g与纬度的关系如图若一只熊掉进一个洞深为19.664m的洞,下落时间刚好为2s,这只熊最有可能生活在哪个纬度附近()A10B45C70D90【分析】由题意可知,熊掉进一个洞深为19.664m的洞,则x19.664,t2s,代入xgt2,解得g的值,再与图象比较即可得出答案【解析】若一只熊掉进一个洞深为19.664m的洞,下落时间刚好为2s,x19.664,t2s,代入xgt2,得:19.664g22g9.832,由图可知g9.83058时,纬度为80,9.832比9.83058略大,这只
9、熊最有可能生活在纬度为90附近故选:D8(2020长春模拟)某广场有一个小型喷泉,水流从垂直于地面的水管OA喷出,OA长为1.5m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上,某方向上抛物线路径的形状如图所示,落点B到O的距离为3m建立平面直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系yax2+x+c(a0),则水流喷出的最大高度为()A1米B米C2米D米【分析】由题意可得,抛物线经过点(0,1.5)和(3,0),把上述两个点坐标代入二次函数表达式,可求出a和c的值,则抛物线的解析式可求出,再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度【解析】由题意可得,抛
10、物线经过点(0,1.5)和(3,0),把上述两个点坐标代入二次函数表达式得:,解得:,函数表达式为:yx2+x,(x1)2+2,a0,故函数有最大值,当x1时,y取得最大值,此时y2,答:水流喷出的最大高度为2米故选:C9(2020裕华区校级一模)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示下列结论:小球在空中经过的路程是40m;小球运动的时间为6s;小球抛出3秒时,速度为0;当t1.5s时,小球的高度h30m其中正确的是()ABCD【分析】可直接由函数图象中的信息分析得出答案;可由待定系数法求得函数解析式,再将t1.5s代入计算,即可作
11、出判断【解析】由图象可知,小球在空中达到的最大高度为40m,则小球在空中经过的路程一定大于40m,故错误;由图象可知,小球6s时落地,故小球运动的时间为6s,故正确;小球抛出3秒时达到最高点,即速度为0,故正确;设函数解析式为ha(t3)2+40,将(0,0)代入得:0a(03)2+40,解得a,函数解析式为h(t3)2+40,当t1.5s时,h(1.53)2+4030,正确综上,正确的有故选:C10(2020江汉区校级一模)如图,隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成,长方形的长OA是12m,宽OC是4m按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用yx2+bx+c表示在抛物线型拱壁上需要安装两
12、排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m那么两排灯的水平距离最小是()A2mB4mC4 mD4m【分析】根据长方形的长OA是12m,宽OC是4m,可得顶点的横坐标和点C的坐标,即可求出抛物线解析式,再把y8代入解析式即可得结论【解析】根据题意,得OA12,OC4所以抛物线的顶点横坐标为6,即6,b2,C(0,4),c4,所以抛物线解析式为:yx2+2x+4(x6)2+10当y8时,8(x6)2+10,解得x16+2,x262则x1x24所以两排灯的水平距离最小是4故选:D二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2020长春模拟)如图,一
13、个涵洞的截面边缘是抛物线形现测得当水面宽AB1.6m时,涵洞顶点与水面的距离是2.4m这时,离开水面1.5m处,涵洞的宽DE为【分析】根据此抛物线经过原点,可设函数关系式为yax2根据AB1.6,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,那么B点坐标应该是(0.8,2.4),利用待定系数法即可求出函数的解析式,继而求出点D的坐标及ED的长【解析】抛物线yax2(a0),点B在抛物线上,将B(0.8,2.4),它的坐标代入yax2(a0),求得a,所求解析式为yx2再由条件设D点坐标为(x,0.9),则有:0.9x2,解得:x,所以宽度为,故答案为:12(2018秋桃城区校级期中)廊桥是我国古老的文化遗
14、产,如图是某座抛物线形的廊桥示意图已知抛物线的函数表达式为yx2+10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是8米【分析】令y8,即yx2+108,求出x值,进而求解【解析】令y8,即yx2+108,解得:x4,则EF4(4)813(2019秋巴南区校级月考)汽车在高速公路刹车后滑行的距离y(米)与行驶的时间x(秒)的函数关系式是y3x2+36x,汽车刹车后,会继续向前滑行直至静止,那么汽车静止前2秒内滑行的距离是12米【分析】求出滑行的最大时间,进而求解【解析】y3x2+36x3(x6)2+108,x6(秒)时,汽车静止,此时
15、滑行了108(米),故当x4(秒)时,y3x2+36x96(米),故汽车静止前2秒内滑行的距离是1089612(米),故答案为1214(2020长春模拟)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)近似满足函数关系yax2+bx+c(a0)如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为15米【分析】将点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)分别代入函数解析式,求得系数的值;然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案【
16、解析】根据题意知,抛物线yax2+bx+c(a0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9),则,解得:,所以x15(m)故答案为:1515(2019秋建湖县期末)如图,有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口,隧道入口处的底面宽度为8m,两侧距底面4m高处各有一盏灯,两灯间的水平距离为6m,则这个隧道入口的最大高度为9.1m(精确到0.1m)【分析】由题意可知各点的坐标,A(4,0),B(4,0),D(3,4),又由抛物线的顶点在y轴上,即可设抛物线的解析式为yax2+c,然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式,继而求得这个门洞的高度【解析】建立如图所示的平面直角坐标系由
17、题意可知各点的坐标,A(4,0),B(4,0),D(3,4)设抛物线的解析式为:yax2+c(a0),把B(4,0),D(3,4)代入,得,解得,该抛物线的解析式为:yx2,则C(0,)m9.1m故答案为:9.116(2020李沧区模拟)如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端A点安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高,高度为5m,水柱落地处离池中心距离为9m,则水管的长度OA是m【分析】设抛物线的表达式为:ya(xh)2+k(x3)2+5,将点(9,0)代入上式求出a,进而求解【解析】设抛物线的表达式为:ya(xh)2+ka(x3)2
18、+5,将点(9,0)代入上式并解得:a,故抛物线的表达式为:y(x3)2+5,令x0,则y,即OA,故答案为17(2020长春模拟)如图,在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB,水管的顶端B处有一个喷水孔,喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C,高度为3m,水柱落地点D离池中心A处3m,则水管AB的长为2.25m【分析】以池中心为原点,竖直安装的水管为y轴,与水管垂直的为x轴建立直角坐标系,设抛物线的解析式为ya(x1)2+3,将(3,0)代入求得a值,从而确定二次函数的解析式,代入x0时得到的y值即为水管的长【解析】以池中心为原点,竖直安装的水管为y轴,与水管垂直的为x
19、轴建立直角坐标系由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高,高度为3m,则设抛物线的解析式为:ya(x1)2+3,代入(3,0)求得:a(x1)2+3将a值代入得到抛物线的解析式为:y(x1)2+3(0x3);令x0,则y32.25故水管AB的长为2.25m故答案为:2.2518(2018秋富裕县期末)如图,是某公园一圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管OA1.25m,A处是喷头,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,水落地后形成一个圆,圆心为O,直径为线段CB建立如图所示的平面直角坐标系,若水流路线达到最高处时,到x轴的距离为2.25m,到y轴的距离为1m,则水落地后形成的圆的直径CB5m【分
20、析】设y轴右侧的抛物线解析式为:ya(x1)2+2.25,将A(0,1.25)代入,求得a,从而可得抛物线的解析式,再令函数值为0,解方程可得点B坐标,从而可得CB的长【解析】设y轴右侧的抛物线解析式为:ya(x1)2+2.25点A(0,1.25)在抛物线上1.25a(01)2+2.25解得:a1抛物线的解析式为:y(x1)2+2.25令y0得:0(x1)2+2.25解得:x2.5或x0.5(舍去)点B坐标为(2.5,0)OBOC2.5CB5故答案为:5三、解答题(本大题共6小题,共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2020顺德区三模)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成长
21、方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m(1)建立适当的坐标系,求出表示抛物线的函数表达式;(2)一大型货车装载设备后高为7m,宽为4m如果隧道内设双向行驶车道,那么这辆货车能否安全通过?【分析】(1)根据抛物线在坐标系中的特殊位置,可以设抛物线的解析式为yax2+8,再把B(8,6)代入,求出a的值即可;(2)隧道内设双行道后,求出纵坐标与7m作比较即可【解析】(1)如图,以AA1所在直线为x轴,以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,根据题意得A(8,0),B(8,6),C(0,8),设抛物线的解析式为yax2+8,把B(8,6)代入,得:64a+86,
22、解得:a抛物线的解析式为yx2+8(2)根据题意,把x4代入解析式yx2+8,得y7.5m7.5m7m,货运卡车能通过20(2019秋西城区校级期中)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分一名运动员起跳后,他的飞行路线如图所示,当他的水平距离为15m时,达到飞行的最高点C处,此时的竖直高度为45m,他落地时的水平距离(即OA的长)为60m,求这名运动员起跳时的竖直高度(即OB的长)【分析】利用待定系数法确定抛物线的解析式后求得与y轴的交点即可确定本题的答案【解析】设抛物线的解析式为ya(xh)2+k,根据题意得:抛物线的顶点坐标为(15,45),ya(
23、x15)2+45,与x轴交于点A(60,0),0a(6015)2+45,解得:a,解析式为y(x15)2+45,令x0得:y(015)2+4540,点B的坐标为(0,40),这名运动员起跳时的竖直高度为40米21(2019秋德城区校级期中)如图,隧道的截面由抛物线和矩形构成,AB8m,BC2m,隧道的最高点P位于AB的中点的正上方,且与AB的距离为4m(1)建立如图所示的坐标系,求图中抛物线的解析式;(2)若隧道为单向通行,一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过?请说明理由【分析】(1)由顶点坐标(4,6)和点A的坐标,即可求解;(2)令y4,则有,解得:,即可求解【解析】(1)由题意可知,
24、抛物线的顶点坐标(4,6),设抛物线的方程为ya(x4)2+6,又因为点A(0,2)在抛物线上,所以有2a(04)2+6所以因此有:;(2)令y4,则有,解得:,货车可以通过22(2020市南区一模)如图,某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚,现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系,已知遮阳棚的高度y(m)与地面水平距离x(m)之间的关系式可以用yx2+bx+c表示,且抛物线经过B(2,),C(5,)请根据以上信息,解答下列问题:(1)求抛物线的函数关系式;(2)求遮阳棚跨度ON的长;(3)现准备在抛物线上一点E处,安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固(点F,G分别在x轴,y
25、轴上,且EGx轴,EFy轴),现有库存10米的钢材是否够用?【分析】(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式,即可求解;(2)yx2x,令y0,解得:x2(舍去)或8,即可求解;(3)构建二次函数,求出二次函数的最大值,即可判断【解析】(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,故抛物线的表达式为:yx2x;(2)yx2x,令y0,解得:x2(舍去)或8,故ON8;(3)设点E(x,x2x),由题意得:GE+EFxx2x(x)20,GE+EF的最大值为,10,故现有库存10米的钢材够用23(2019秋溧阳市期末)如图,某足球运动员站在点O处练习射门将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(
26、点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系yat2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m(1)a,c;(2)当足球飞行的时间为多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(3)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?【分析】(1)由题意得:函数yat2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),代入函数的表达式即可求出a,c的值;(2)利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地
27、面的最大高度;(3)把x28代入x10t得t2.8,把t2.8代入解析式求出y的值和2.44m比较大小即可得到结论【解析】(1)由题意得:函数yat2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),解得:,抛物线的解析式为:yt2+5t,故答案为:,;(2)yt2+5t,y(t)2,当t时,y最大4.5,当足球飞行的时间s时,足球离地面最高,最大高度是4.5m;(3)把x28代入x10t得t2.8,当t2.8时,y2.82+52.82.252.44,他能将球直接射入球门24(2020绍兴)如图1,排球场长为18m,宽为9m,网高为2.24m,队员站在底线O点处发球,球从点O的正上方1.9
28、m的C点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为2.88m,即BA2.88m,这时水平距离OB7m,以直线OB为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如图2(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线),求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围)并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由(2)若球过网后的落点是对方场地号位内的点P(如图1,点P距底线1m,边线0.5m),问发球点O在底线上的哪个位置?(参考数据:取1.4)【分析】(1)求出抛物线表达式;再确定x9和x18时,对应函数的值即可求解;(2)当y0时,y(x7)2+2.880,解得:x19或5(舍去5),求出PQ68.4,即可求解【解析】(1)设抛物线的表达式为:ya(x7)2+2.88,将x0,y1.9代入上式并解得:a,故抛物线的表达式为:y(x7)2+2.88;当x9时,y(x7)2+2.882.82.24,当x18时,y(x7)2+2.880.460,故这次发球过网,但是出界了;(2)如图,分别过点O,P作边线的平行线交于点Q,在RtOPQ中,OQ18117,当y0时,(x7)2+2.880,解得:x19或5(舍去5),OP19,而OQ17,故PQ68.4,98.40.50.1,发球点O在底线上且距右边线0.1米处22