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1、 第1页（共39页）初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点：1.基本定义：全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两
2、个三角形全等.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等.4.角平分线：画法：性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题：一选择题（共 1
3、4 小题）1使两个直角三角形全等的条件是（）A一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条边对应相等 2如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ADFCBE 的是（）AA=C BAD=CB CBE=DF DADBC 第2页（共39页）3如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）ASSS BSAS CAAS DASA 4到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条中线的交点 B三条高的交点 C三条边的垂直平分线的交点 D三条角平分线的交点 5如
4、图，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为（）A20 B30 C35 D40 6如图，直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A1 处 B2 处 C3 处 D4 处 7如图，AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB 于点 E，SABC=7，DE=2，AB=4，则 AC 长是（）A3 B4 C6 D5 8如图，在ABC 和DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEC，不能添加的一组条件是（）ABC=EC，B=E BBC=EC，AC=DC CBC=DC，A=D DB=E，第3页（共39页）A
5、=D 9如图，已知在ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分ABC，交 CD 于点 E，BC=5，DE=2，则BCE 的面积等于（）A10 B7 C5 D4 10要测量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如图所示），可以说明EDCABC，得 ED=AB，因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定EDCABC 最恰当的理由是（）A边角边 B角边角 C边边边 D边边角 11如图，ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将ABC 分为三个三
6、角形，则 SABO：SBCO：SCAO等于（）A1：1：1 B1：2：3 C2：3：4 D3：4：5 12尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB 于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP 由作法得OCPODP 的根据是（）ASAS BASA CAAS DSSS 13下列判断正确的是（）A有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 第4页（共39页）B有两边对应相等，且有一角为 30的两个等腰三角形全等 C有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D有两角和一边对应相等的两个三角形全等 14如图，
7、已知1=2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；C=D；B=E其中能使ABCAED 的条件有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二填空题（共 11 小题）15如图，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点 D到线段 AB 的距离是 cm 16如图，ABC 中，C=90，AD 平分BAC，AB=5，CD=2，则ABD 的面积是 17如图为 6 个边长等的正方形的组合图形，则1+2+3=18如图，ABCDEF，请根据图中提供的信息，写出 x=19如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事
8、的办法是带 去玻璃店 第5页（共39页）20 如图，已知 ABCF，E 为 DF 的中点，若 AB=9cm，CF=5cm，则 BD=cm 21在数学活动课上，小明提出这样一个问题：B=C=90，E 是 BC 的中点，DE 平分ADC，CED=35，如图，则EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 度 22如图，ABCADE，B=100，BAC=30，那么AED=度 23如图所示，将两根钢条 AA，BB的中点 O 连在一起，使 A A，BB可以绕着点 O 自由转动，就做成了一个测量工具，则 AB的长等于内槽宽 AB，那么判定OABOAB的理由是 24 如图，在四边形
9、ABCD 中，A=90，AD=4，连接 BD，BDCD，ADB=C 若P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 第6页（共39页）25如图，ABC 中，C=90，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，GMB=A，BGMG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H若 MH=8cm，则 BG=cm 三解答题（共 15 小题）26已知：如图，C 为 BE 上一点，点 A，D 分别在 BE 两侧，ABED，AB=CE，BC=ED求证：AC=CD 27 已知：如图，OP 是AOC 和BOD 的平分线，OA=OC，OB=OD 求证：AB=CD 28已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB
10、于点 E，DFAC 于点 F，求证：DE=DF 29如图，C 是 AB 的中点，AD=BE，CD=CE求证：A=B 第7页（共39页）30已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=DC，CF 平分BCD，DFAB，BF 的延长线交 DC 于点 E求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE 31如图，已知，EC=AC，BCE=DCA，A=E；求证：BC=DC 32如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F，G 分别是 BD，BE上的点，BF=BG，延长 CF 与 DG 交于点 H（
11、1）求证：CF=DG；（2）求出FHG 的度数 33已知，如图，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，D为 AB 边上一点求证：BD=AE 第8页（共39页）34如图，点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC、CD 上的点，且 BM=CN，AM 交 BN 于点 P（1）求证：ABMBCN；（2）求APN 的度数 35如图，四边形 ABCD 中，E 点在 AD 上，其中BAE=BCE=ACD=90，且BC=CE，求证：ABC 与DEC 全等 36如图，ABC 和ADE 都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D 在同一条直线上求证：BD=CE 37我
12、们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AB=CB，AD=CD对角线 AC，BD 相交于点 O，OEAB，OFCB，垂足分别是 E，F求证 OE=OF 第9页（共39页）38如图，在ABC 中，ACB=90，CEAB 于点 E，AD=AC，AF 平分CAB 交CE 于点 F，DF 的延长线交 AC 于点 G 求证：（1）DFBC；（2）FG=FE 39 如图：在ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF 的延长线上截取 CG=AB，连接 AD、AG（1）求证：AD=AG；（2）AD 与 AG 的位置关系如
13、何，请说明理由 40如图，已知ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1s 后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q
14、第一次在ABC的哪条边上相遇？第10页（共39页）第11页（共39页）初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析 一选择题（共 14 小题）1（2013西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故 A 选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B 选项错误；C、
15、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故 C 选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用 SAS 证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故 D 选项正确 故选：D【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有 ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等 2（2013安顺）如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ADFCBE 的是（）AA=C BAD=CB CBE=DF DADBC【分析】求出 AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可【解答】解：AE=
16、CF，AE+EF=CF+EF，AF=CE，A、在ADF 和CBE 中 ADFCBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据 AD=CB，AF=CE，AFD=CEB 不能推出ADFCBE，错误，故本选 第12页（共39页）项正确；C、在ADF 和CBE 中 ADFCBE（SAS），正确，故本选项错误；D、ADBC，A=C，在ADF 和CBE 中 ADFCBE（ASA），正确，故本选项错误；故选 B【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS 3（2014 秋江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据
17、所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）ASSS BSAS CAAS DASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形 故选 D【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键 4（2007中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条中线的交点 B三条高的交点 C三条边的垂直平分线的交点 D三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形
18、的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点【解答】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点 故选：D【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项 第13页（共39页）为 C 5（2011呼伦贝尔）如图，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为（）A20 B30 C35 D40【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可【解答】解：ACBACB，ACB=ACB，即ACA+ACB=BCB+ACB，ACA=BCB，又BCB=30 ACA=
19、30 故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解 6（2000安徽）如图，直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A1 处 B2 处 C3 处 D4 处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点 把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处 故选：D 第14页（共39页）【点评】本题考查
20、了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解 7（2014遂宁）如图，AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB 于点 E，SABC=7，DE=2，AB=4，则 AC 长是（）A3 B4 C6 D5【分析】过点 D 作 DFAC 于 F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据 SABC=SABD+SACD列出方程求解即可【解答】解：如图，过点 D 作 DFAC 于 F，AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB，DE=DF，由图可知，SABC=SABD+SACD，42+
21、AC2=7，解得 AC=3 故选：A 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键 8（2013铁岭）如图，在ABC 和DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEC，不能添加的一组条件是（）第15页（共39页）ABC=EC，B=E BBC=EC，AC=DC CBC=DC，A=D DB=E，A=D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可【解答】解：A、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，B=E 可利用 SAS 证明ABCDEC，故此选项不合题意；B、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，AC=DC 可利用 SSS 证明ABC
22、DEC，故此选项不合题意；C、已知 AB=DE，再加上条件 BC=DC，A=D 不能证明ABCDEC，故此选项符合题意；D、已知 AB=DE，再加上条件B=E，A=D 可利用 ASA 证明ABCDEC，故此选项不合题意；故选：C【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 9（2015湖州）如图，已知在ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分ABC，交 CD 于点 E，BC=5，DE=2，则BCE
23、 的面积等于（）A10 B7 C5 D4【分析】作 EFBC 于 F，根据角平分线的性质求得 EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可【解答】解：作 EFBC 于 F，BE 平分ABC，EDAB，EFBC，EF=DE=2，SBCE=BCEF=52=5，故选 C【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键 10（1998南京）要测量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如图所示），可以说明EDCABC，得 ED=AB，因此测得 ED
24、的长就是 AB 的长，第16页（共39页）判定EDCABC 最恰当的理由是（）A边角边 B角边角 C边边边 D边边角【分析】由已知可以得到ABC=BDE，又 CD=BC，ACB=DCE，由此根据角边角即可判定EDCABC【解答】解：BFAB，DEBD ABC=BDE 又CD=BC，ACB=DCE EDCABC（ASA）故选 B【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的 11（2017石家庄模拟）如图，ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将ABC 分为三个三角形，则 SAB
25、O：SBCO：SCAO等于（）A1：1：1 B1：2：3 C2：3：4 D3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是 20，30，40，所以面积之比就是 2：3：4【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选 C 故选 C【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的 12（2009鸡西）尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于
26、点 P，作射线 OP 由作法得OCPODP 的根据是（）第17页（共39页）ASAS BASA CAAS DSSS【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出OCP 与ODP 的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合 SSS 判定方法要求的条件，答案可得【解答】解：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA，OB 于 C，D，即 OC=OD；以点 C，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点 P，即 CP=DP；在OCP 和ODP 中，OCPODP（SSS）故选：D【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：A
27、AA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 13（2002河南）下列判断正确的是（）A有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B有两边对应相等，且有一角为 30的两个等腰三角形全等 C有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D有两角和一边对应相等的两个三角形全等【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对比选项进行分析【解答】解：A、只有两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才能成立；B、30角没有对应关系，不能成立；C、如果这个角是直角，此时就不成立了；
28、D、符合全等三角形的判断方法：AAS 或者 ASA 故选 D【点评】本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断 14（2006十堰）如图，已知1=2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；C=D；B=E其中能使ABCAED 的条件有（）第18页（共39页）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】1=2，BAC=EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边【解答】解：已知1=2，AC=AD，由1=2 可知BAC=EAD，加AB=AE，就可以用 SAS 判定ABCAED；加C=D，就可以用 ASA 判定ABCAED；加B=
29、E，就可以用 AAS 判定ABCAED；加BC=ED 只是具备 SSA，不能判定三角形全等 其中能使ABCAED 的条件有：故选：B【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加 二填空题（共 11 小题）15（2006芜湖）如图，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点 D 到线段 AB 的距离是 3 cm 【分析】求 D 点到线段 AB 的距离，由于 D 在BAC 的平分线上，只要求出 D 到AC 的距离 CD 即可，由已知可用 BC 减去 BD
30、 可得答案【解答】解：CD=BCBD，=8cm5cm=3cm，C=90，D 到 AC 的距离为 CD=3cm，AD 平分CAB，D 点到线段 AB 的距离为 3cm 故答案为：3【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用 CD 是 D 点到线段 AB 的距离是正确解答本题的关键 16（2013邵东县模拟）如图，ABC 中，C=90，AD 平分BAC，AB=5，CD=2，则ABD 的面积是 5 第19页（共39页）【分析】要求ABD 的面积，有 AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ABD 的高就是 CD 的长度，所以高是 2，则可求得面积
31、【解答】解：C=90，AD 平分BAC，点 D 到 AB 的距离=CD=2，ABD 的面积是 522=5 故答案为：5【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质 注意分析思路，培养自己的分析能力 17（2016 秋宁城县期末）如图为 6 个边长等的正方形的组合图形，则1+2+3=135 【分析】观察图形可知1 与3 互余，2 是直角的一半，利用这些关系可解此题【解答】解：观察图形可知：ABCBDE，1=DBE，又DBE+3=90，1+3=90 2=45，1+2+3=1+3+2=90+45=135 故填 135 【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意1 与3 互余，2 是直
32、角的一半，特别是观察图形的能力 18（2013柳州）如图，ABCDEF，请根据图中提供的信息，写出 x=20 第20页（共39页）【分析】先利用三角形的内角和定理求出A=70，然后根据全等三角形对应边相等解答【解答】解：如图，A=1805060=70，ABCDEF，EF=BC=20，即 x=20 故答案为：20【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键 19（2009杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店 【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角
33、，根据三角形全等的判定方法，即可求解【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据 ASA 来配一块一样的玻璃应带去 故答案为：【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法 20（2015 秋西区期末）如图，已知 ABCF，E 为 DF 的中点，若 AB=9cm，CF=5cm，则 BD=4 cm 【分析】先根据平行线的性质求出ADE=EFC，再由 ASA 可求出ADECFE，根据全等三角形的性质
34、即可求出 AD 的长，再由 AB=9cm 即可求出 BD 的长【解答】解：ABCF，第21页（共39页）ADE=EFC，AED=FEC，E 为 DF 的中点，ADECFE，AD=CF=5cm，AB=9cm，BD=95=4cm 故填 4【点评】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单 21（2009 秋南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：B=C=90，E 是 BC 的中点，DE 平分ADC，CED=35，如图，则EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 35 度 【分析】过点 E 作 EFAD，证明ABEAFE，再求得CDE=9035
35、=55，即可求得EAB 的度数【解答】解：过点 E 作 EFAD，DE 平分ADC，且 E 是 BC 的中点，CE=EB=EF，又B=90，且 AE=AE，ABEAFE，EAB=EAF 又CED=35，C=90，CDE=9035=55，即CDA=110，DAB=70，EAB=35 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 22（2012 秋合肥期末）如图，ABCADE，B=100，BAC=30，那么AED=50 度 第22页（共39页）【分析】先运
36、用三角形内角和定理求出C，再运用全等三角形的对应角相等来求AED【解答】解：在ABC 中，C=180BBAC=50，又ABCADE，AED=C=50，AED=50 度 故填 50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等是需要识记的内容 23（2015 秋蒙城县期末）如图所示，将两根钢条 AA，BB的中点 O 连在一起，使 A A，BB可以绕着点 O 自由转动，就做成了一个测量工具，则 AB的长等于内槽宽 AB，那么判定OABOAB的理由是 SAS 【分析】已知二边和夹角相等，利用 SAS 可证两个三角形全等【解答】解：OA=OA，OB=OB，AOB=AOB，OA
37、BOAB（SAS）所以理由是 SAS【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难 24（2011河南）如图，在四边形 ABCD 中，A=90，AD=4，连接 BD，BDCD，ADB=C若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 4 【分析】根据垂线段最短，当 DP 垂直于 BC 的时候，DP 的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出ABD=CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由 AD 的长可得 DP 的长【解答】解：根据垂线段最短，当 DPBC 的时候，DP 的长度最小，BDCD，即BDC=90，又
38、A=90，第23页（共39页）A=BDC，又ADB=C，ABD=CBD，又 DABA，BDDC，AD=DP，又 AD=4，DP=4 故答案为：4【点评】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键在于确定好 DP 垂直于 BC 25（2015鄂尔多斯）如图，ABC 中，C=90，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，GMB=A，BGMG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H若 MH=8cm，则 BG=4 cm 【分析】如图，作 MDBC 于 D，延长 DE 交 BG 的延长线于 E，构建等腰BDM、全等三角形BED 和MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的
39、对应边相等得到：BE=MH，所以 BG=MH=4【解答】解：如图，作 MDBC 于 D，延长 MD 交 BG 的延长线于 E，ABC 中，C=90，CA=CB，ABC=A=45，GMB=A，GMB=A=22.5，BGMG，BGM=90，GBM=9022.5=67.5，GBH=EBMABC=22.5 MDAC，BMD=A=45，BDM 为等腰直角三角形 BD=DM，而GBH=22.5，GM 平分BMD，而 BGMG，BG=EG，即 BG=BE，MHD+HMD=E+HMD=90，MHD=E，GBD=90E，HMD=90E，第24页（共39页）GBD=HMD，在BED 和MHD 中，BEDMHD（A
40、AS），BE=MH，BG=MH=4 故答案是：4 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的性质 三解答题（共 15 小题）26（2008北京）已知：如图，C 为 BE 上一点，点 A，D 分别在 BE 两侧，ABED，AB=CE，BC=ED求证：AC=CD 【分析】根据 ABED 推出B=E，再利用 SAS 判定ABCCED 从而得出AC=CD【解答】证明：ABED，B=E 在ABC 和CED 中，ABCCED AC=CD【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考
41、数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显 27（2007北京）已知：如图，OP 是AOC 和BOD 的平分线，OA=OC，OB=OD 求证：AB=CD 第25页（共39页）【分析】根据角平分线的性质得出AOP=COP，BOP=DOP，从而推出AOB=COD，再利用 SAS 判定其全等从而得到 AB=CD【解答】证明：OP 是AOC 和BOD 的平分线，AOP=COP，BOP=DOP AOB=COD 在AOB 和COD 中，AOBCOD AB=CD【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质判定两个三角形全等的一般方法有：S
42、SS、SAS、ASA、AAS、HL本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等 28（2014黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB 于点 E，DFAC于点 F，求证：DE=DF 【分析】连接 AD，利用 SSS 得到三角形 ABD 与三角形 ACD 全等，利用全等三角形对应角相等得到EAD=FAD，即 AD 为角平分线，再由 DEAB，DFAC，利用角平分线定理即可得证【解答】证明：连接 AD，在ACD 和ABD 中，ACDABD（SSS），EAD=FAD，即 AD 平分EAF，DEAE，DFAF，DE=DF 第26页（共39页）【点评】此题考查了全等三角形的判定与性
43、质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 29（2013常州）如图，C 是 AB 的中点，AD=BE，CD=CE求证：A=B 【分析】根据中点定义求出 AC=BC，然后利用“SSS”证明ACD 和BCE 全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可【解答】证明：C 是 AB 的中点，AC=BC，在ACD 和BCE 中，ACDBCE（SSS），A=B【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质 30（2008重庆）已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=DC，CF 平分BCD，DFAB，B
44、F 的延长线交 DC 于点 E求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE 【分析】（1）由 CF 平分BCD 可知BCF=DCF，然后通过 SAS 就能证出BFCDFC（2）要证明 AD=DE，连接 BD，证明BADBED 则可 ABDFABD=BDF，又 BF=DFDBF=BDF，ABD=EBD，BD=BD，再证明BDA=BDC 则可，容易推理BDA=DBC=BDC 第27页（共39页）【解答】证明：（1）CF 平分BCD，BCF=DCF 在BFC 和DFC 中，BFCDFC（SAS）（2）连接 BD BFCDFC，BF=DF，FBD=FDB DFAB，ABD=FDB ABD=FBD ADB
45、C，BDA=DBC BC=DC，DBC=BDC BDA=BDC 又BD 是公共边，BADBED（ASA）AD=DE 【点评】这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度 31（2013珠海）如图，已知，EC=AC，BCE=DCA，A=E；求证：BC=DC 【分析】先求出ACB=ECD，再利用“角边角”证明ABC 和EDC 全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可【解答】证明：BCE=DCA，BCE+ACE=DCA+ACE，第28页（共39页）即ACB=ECD，在ABC 和EDC 中，ABCEDC（ASA），BC=DC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角
46、ACB=ECD 是解题的关键，也是本题的难点 32（2013大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F，G分别是 BD，BE 上的点，BF=BG，延长 CF 与 DG 交于点 H（1）求证：CF=DG；（2）求出FHG 的度数 【分析】（1）在CBF 和DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得DHF=CBF=60，从而求解【解答】（1）证明：在CBF 和DBG 中，CBF
47、DBG（SAS），CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB=DFH，又BCF 中，CBF=180BCFCFB，DHF 中，DHF=180BDGDFH，DHF=CBF=60，FHG=180DHF=18060=120 第29页（共39页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键 33（2013内江）已知，如图，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，D 为 AB 边上一点求证：BD=AE 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出ACE=BCD，然后利用“边角边”证明ACE 和BCD 全等
48、，然后根据全等三角形对应边相等即可证明【解答】证明：ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），BD=AE【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键 34（2014内江）如图，点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC、CD 上的点，且 BM=CN，AM 交 BN 于点 P（1）求证：ABMBCN；（2）求APN 的度数 第30页（共39页）【分析】（1）利用正五边形的性质得出 AB
49、=BC，ABM=C，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出BAM+ABP=APN，进而得出CBN+ABP=APN=ABC 即可得出答案【解答】（1）证明：正五边形 ABCDE，AB=BC，ABM=C，在ABM 和BCN 中，ABMBCN（SAS）；（2）解：ABMBCN，BAM=CBN，BAM+ABP=APN，CBN+ABP=APN=ABC=108 即APN 的度数为 108 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键 35（2015通辽）如图，四边形 ABCD 中，E 点在 AD 上，其中BAE=BCE
50、=ACD=90，且 BC=CE，求证：ABC 与DEC 全等 第31页（共39页）【分析】根据同角的余角相等可得到3=5，结合条件可得到1=D，再加上 BC=CE，可证得结论【解答】解：BCE=ACD=90，3+4=4+5，3=5，在ACD 中，ACD=90，2+D=90，BAE=1+2=90，1=D，在ABC 和DEC 中，ABCDEC（AAS）【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL 36（2013铜仁市）如图，ABC 和ADE 都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D 在同一条直线上求证：BD