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1、 20192020 学年上学期 2017 级 第五次双周练数学试卷 命题人：高三数学命题组 考试时间：2020 年 1 月 9 日 一选择题（60 分）i 已知集合24,2,1,0,2,1AaBa，若2AB，则实数a满足的集合为()A1 B 1 C1,1 D iii为虚数单位，复数2i1z 在复平面内对应的点的坐标为（）A1 1，B1 1，C11，D11，iii等比数列 na各项均为正数，若121,1,28nnnaaaa则 na的前 6 项和为()A1365 B63 C6332 D13651024 iv已知定义在 R 上的函数|()21x mf x（m 为实数）为偶函数，记0.5log3af，
2、2log 5bf，(2)cfm则 a，b，c 的大小关系为()Aabc Bacb Ccab Dcba v 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标下图为国家统计局发布的 2016 年至 2019 年第 3 季度我国工业产能利用率的折线图 在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2017 年第二季度与 2016 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2016 年第二季度与 2016 年第一季度相比较据上述信息，下列结论中正确的是（）A2016 年第三季度环比有所提高 B2017 年第一季度同比有
3、所提高 C2018 年第三季度同比有所提高 D2019 年第一季度环比有所提高 vi下列说法正确的是()A命题“00,1x，使201 0 x ”的否定为“0,1x，都有2 1 0 x ”B命题“若向量a与b的夹角为锐角，则0a b”及它的逆命题均为真命题 C命题“在锐角ABC中，sincosAB”为真命题 D命题“若20 xx，则0 x 或1x”的逆否命题为“若0 x 且1x ，则20 xx”vii如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为 1，则该三棱锥的体积为()A4 B163 C8 D83 viii 在正方体1111ABCDABC D中，点 E 是棱11BC的中点，点
4、F 是线段1CD上的一个动点有以下三个命题：异面直线1AC与1BF所成的角是定值；三棱锥1BAEF的体积是定值；直线1AF与平面11BCD所成的角是定值 其中真命题的个数是()A3 B2 C1 D0 ix如图，点F是抛物线28yx的焦点，点A，B分别在抛物线28yx及圆22(2)16xy的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则ABF的周长的取值范围是（）A(2,6)B(6,8)C(8,12)D(10,14)x 已 知()f x是 定 义 在(0,)上 的 单 调 函 数，且 对 任 意 的(0,)x，都 有2()log3f f xx，则方程()()2f xfx的解所在的区间是（）A（0，12
5、）B（1,12）C（1，2）D（2，3）xi定义在R上函数 f x满足 fxf x，且对任意的不相等的实数12,0,x x 有 12120f xf xxx成立，若关于x的不等式 2ln3232ln3fmxxffmxx在 1,3x上恒成立，则实数m的取值范围是（）A1ln6,126e B1ln3,126e C1ln3,23e D1ln6,23e xii已知函数46()4sin 2,0,63f xxx，若函数()()3F xf x的所有零点依次记为123,nx x xx，且123nxxxx，则1231222nnxxxxx=()A12763 B445 C455 D14573 二填空题（20 分）xi
6、ii设,x y满足条件2010 xyxyy，则23xy的最小值为_ xiv已知非零向量,m n满足4|3|mn，若(4)nmn 则,m n夹角的余弦值为_ xv 在平面四边形ABCD中，2AB，2BC，ACCD，ACCD，则四边形ABCD的面积的最大值为_.xvi已知三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4 的等边三角形，三棱锥PABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为_.三解答题（70 分）xviiABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知ABC的面积为3cos6b bcaC.（1）求A；（2）若1,3bc，求cos2C的值 xviii如
7、图，在四棱台1111ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，111112AAABAB，60ABC，1AA 平面ABCD（1）若点M是AD的中点，求证：1/C M平面11AA B B；（2）（理科）棱BC上是否存在一点E，使得二面角1EADD的余弦值为13？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由（文科）若点E是棱BC的中点，求直线1EC与平面1C MD所成角的余弦值。xix设各项均为正数的数列 na的前n项和为nS，满足21441,nnaSnnN且2514,a a a恰好是等比数列 nb的前三项（1）求数列 na、nb的通项公式；（2）记数列 nb的前n项和为nT,若对任意的*nN，3(
8、)362nTkn恒成立，求实数k的取值范围 xx已知平面直角坐标系内的动点 P 到直线1:2lx 的距离与到点(1,0)F的距离比为2（1）求动点 P 所在曲线 E 的方程；（2）设点Q为曲线 E 与y轴正半轴的交点，过坐标原点 O 作直线l，与曲线 E 相交于异于点Q 的不同两点,M N，点 C 满足2OCOQ，直线MQ和NQ分别与以 C 为圆心，CQ为半径的圆相交于点 A 和点 B，求 QAC 与 QBC 的面积之比的取值范围 xxi设函数21()ln,22xf xaxaR.（1）若函数()f x在区间 1,e（2.71828e 为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a的取值范围；（2）
9、若 在 1,e（2.71828e 为 自 然 对 数 的 底 数）上 存 在 一 点0 x，使 得 200001122xaf xxx成立，求实数a的取值范围.选考题 请考生从以下两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。（12分）xxii在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为cossinxtyt（t 为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:2cosC，曲线2:cos3C.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线12,C C分别相交于异于原点的点 M，N，求|
10、MN的最大值。xxiii已知函数()2f xxax (1)当3a 时，求不等式()3f x 的解集；(2)若()4f xx的解集包含 1,2，求a的取值范围 高三年级第五次双周练数学答案 iD iiC iiiB 解：等比数列 na各项均为正数，且2128nnnaaa，228nnna qa qa，228qq，可得 q=2 或 q=-4(舍去)，616(1)(1)aqSq=63 iv B解：f（x）为偶函数；m0；f（x）2x1；f（x）在0，+）上单调递增，并且 af（|0.5log3|）f（2log 3），bf（2log 5），cf（2）；02log 322log 5；acb vC viD v
11、ii D 解：三棱锥的直观图如图 D-ABC,viii B 以 A 点为坐标原点，AB,AD,1AA所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,可得1AC=(1,1,1),1B F=(t-1，1，-t)，可得11AC B F=0,可得正确；由三棱锥1BAEF的底面1ABE面积为定值，且1CD/1BA,可得正确；可得 1AF=(t，1，-t)，平面11BCD的一个法向量为n=（1，1，1），可得1cos,AF n不为定值可得错误 ix C FAB的周长246ABABAFABBFxxxx，由抛物线28yx及圆22216xy可得交点的横坐标为 2，2 6Bx （，），6812Bx，故选 C
12、.xC xiB 结合题意可知 f x为偶函数,且在0,单调递减,故 2ln3232ln3fmxxffmxx可以转换为 2ln33fmxxf对应于 1,3x恒成立,即2ln33mxx 即02ln6mxx对 1,3x恒成立；即ln6ln22xxmmxx且对 1,3x恒成立 令 lnxg xx,则 1 ln1,xgxex在上递增,在,3e上递减,所以 max1g xe 令 26ln5ln,0 xxh xhxxx,在 1,3上递减，所以 min6ln33h x.xii C 函数()4sin 26f xx，令262xk得1,23xkkZ，即()f x的对称轴方程为1,23xkkZ.()f x的最小正周期
13、为46,03Tx剟.当30k 时，可得463x，()f x在460,3上有 31 条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数()4sin 26f xx与3y 的交点有 31 个，且交点12,x x关于3对称，23,xx关于56对称，即1331232025292,2,26623xxxxxx，将以上各式相加得：1233031232xxxxx 25892(25889)4556663，故选 C.xiii 2 xiv 13 xv 310 设ACx,则在ABC 中,由余弦定理有2244 2cos64 2cosxBB,所以四边形ABCD面积2112 2sin2sin32 2cos10sin()322SBxBBB
14、 ,所以当sin()1B 时,四边形ABCD面积有最大值310 xvi 803 依题意，记三棱锥PABC的外接球的球心为 O，半径为 R，点 P 到平面ABC的距离为 h，则由21131643343P ABCABCVShh得4 33h.又PC为球 O 的直径，因此球心 O 到平面ABC的距离等于12 323h，又正ABC的外接圆半径为4 32sin603ABr，因此2222 32033Rr.所以三棱锥PABC的外接球的表面积为28043R.xvii（1）3；（2）4 37.解：（1）由题设得13sincos26abCb bcaC 即3 sincosaCbcaC 由正弦定理得3sin sinsi
15、nsinsin cosACBCAC，因为BA C所以3sin sinsin cossinCACAC 由于sin0C 所以1sin62A 又0A，故3A（2）在 ABC 中，由余弦定理及13bc，3A 有2222cos7abcbcA，故7a 由13sincos26bcAb bcaC，得1cos2 7C ，因此213cos22cos114CC 。xviii 解：（1）证明：连接1B A,由已知得，11/BCBC AD，且1112BCAMBC 所以四边形11ABC M是平行四边形，即11/C M B A，又1C M 平面11AAB B，1B A平面11AAB B，所以1C M/平面11AA B B（
16、2）（理科）取BC中点Q，连接AQ因为ABCD是菱形，且60ABC，所以ABC是正三角形，所以AQBC即AQAD，由于ABC是正三角形，所以，分别以AQ,AD,1AA为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系,如图0 0 0A，10 01A，1011D，3,0,0Q 假设点E存在，设点E的坐标为30，11，30AE，1011AD，设平面1AD E的法向量nxyz，则100n AEn AD即300 xyyz，可取,3,3n 平面1ADD的法向量为3 0 0AQ，所以，231cos,336AQ n，解得：32 又由于二面角1EADD大小为锐角，由图可知，点 E 在线段 QC 上，所以32，即312CE
17、 。（文科）77 xix ()11(1)3(13)331132nnnnbqTq，1333()3622nkn对*nN恒成立，243nnk对*nN恒成立，-9 分，xx【答案】（1）；（2）.解：（1）设动点 P 的坐标为，由题意可得，整理，得：，即为所求曲线 E 的方程；（2）（解法一）由已知得：，即圆 C 方程为 由题意可得直线 MQ，NQ 的斜率存在且不为 0 设直线MQ的方程为，与联立得：,所以，同理，设 NQ 的方程为，与联立得：,所以 因此 由于直线 过坐标原点，所以点与点 关于坐标原点对称 设，所以，又在曲线 上，所以，即 故，由于，所以，（解法二）由已知得：，即圆 C 方程为 由题
18、意可得直线 MQ，NQ 的斜率存在且不为 0 设直线 MQ 的方程为，则点 C 到 MQ 的距离为 所以,于是，设直线 NQ 的方程为，同理可得：,所以 由于直线 l 过坐标原点，所以点 M 与点 N 关于坐标原点对称 设，所以，又在曲线 上，所以，即 故，由于，所以，xxi（1）|1a a 或212ea（2）21(,2),1ee.（1）2()axafxxxx，其中1,ex.当1a时，()0fx恒成立，()f x单调递增，又 10f，函数()f x在区间1,e上有唯一的零点，符合题意.当2ae时，()0fx恒成立，()f x单调递减，又 10f，函数()f x在区间1,e上有唯一的零点，符合题
19、意.当21ea时，1 xa时，()0fx，()f x单调递减，又 10f，()(1)0faf，函数()f x在区间1,a有唯一的零点，当eax 时，()0fx，()f x单调递增，当 0f e 时符合题意，即21022ea，212ea时，函数()f x在区间1,a上有唯一的零点；a的取值范围是21|12ea aa或.（2）在1,e上存在一点0 x，使得 200001122xaf xxx成立，等价于00001ln0axaxxx在1,e上有解，即函数1()lnag xxaxxx在1,e上的最小值小于零.2222211(1)(1)()1aaxaxaxxag xxxxxx，当1ae 时，即1ae 时，
20、()g x在1,e上单调递减，所以()g x的最小值为()g e，由 10ag eeae可得211eae，2111eee，211eae；当1 1a 时，即0a 时，()g x在1,e上单调递增，所以()g x的最小值为 1g，由 11 10ga 可得2a；当11ae 时，即01ae 时，可得()g x的最小值为1g a，0ln(1)1a，0ln(1)aaa，1(1)1ln(1)2ln(1)211ag aaaaaaaaa，所以10ga不成立.综上所述：可得所求a的取值范围是21(,2),1ee.xxii【答案】()2213022xyxy；()3。（）极坐标方程cos3可化为13cossin22
21、所以213cossin22，将222cos,sin,xyxy代入上式可得2213022xyxy，所以曲线2C的直角坐标方程为2213022xyxy.（）不妨设0，点,M N的极坐标分别为 12,，由2cos，得到12cos 由3cos，得到2cos3 所以12MN 332coscoscossin33223sin，因0，所2333，所以5326，即时，MN取得最大值3 xxiii【答案】(1)x|x4 或 x1；(2)3，0.解：（1）当 a3 时，f（x）25,2 1,2325,3xxxxx 当 x2 时，由 f（x）3 得2x53，解得 x1；当 2x3 时，f（x）3 无解；当 x3 时，由 f（x）3 得 2x53，解得 x4.所以 f（x）3 的解集为x|x1 或 x4 （2）f（x）|x4|x4|x2|xa|.当 x1，2时，|x4|x2|xa|（4x）（2x）|xa|2ax2a，由条件得2a1 且 2a2，解得3a0，故满足条件的实数 a 的取值范围为3，0