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1、2020-2021中考数学专题复习一元二次方程组的综合题含答案解析 一、一元二次方程 1在等腰三角形 ABC 中，三边分别为 a、b、c，其中 4，若 b、c 是关于 x 的方程 x2（2k+1）x+4（k12）0 的两个实数根，求 ABC 的周长【答案】ABC 的周长为 10【解析】【分析】分 a 为腰长及底边长两种情况考虑：当 a=4 为腰长时，将 x=4 代入原方程可求出 k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出 ABC 的周长；当 a=4 为底边长时，由根的判别式=0 可求出 k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由 b+c=a 可得出
2、此种情况不存在综上即可得出结论【详解】当 a4 为腰长时，将 x4 代入原方程，得：2144 21402kk 解得：52k 当52k 时，原方程为 x26x+80，解得：x12，x24，此时 ABC 的周长为 4+4+210；当 a4 为底长时，（2k+1）2414（k12）（2k3）20，解得：k32，b+c2k+14 b+c4a，此时，边长为 a，b，c 的三条线段不能围成三角形 ABC 的周长为 10【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分 a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键 2解方程：2212xx6x9（）【答案】
3、124xx23，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得 2212xx3（）（）开平方，得 1 2xx3，或1 2xx3（）解得124xx23，3 1.735=59.5，1.780=136151 这家酒店四月份用水量不超过 m 吨（或水费是按 y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过 m 吨（或水费是按来计算的）则有 151=1.780+（80m）即 m280m+1500=0 解得 m1=30，m2=50 又 四月份用水量为 35 吨，m1=3035，m1=30 舍去 m=50 【解析】4沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区
4、”活动，据了解，某街道居民人口共有 7.5 万人，街道划分为 A，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过 A 社区居民人口数量的 2 倍（1）求 A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查 A，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有 1.2 万人知晓，B 社区有 1.5 万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为 m%，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了 2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求 m 的值【答案】（1）A 社区居民人口至少有 2.5 万人
5、；（2）m 的值为 50【解析】【分析】（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过 A 社区居民人口数量的 2 倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.592%，据此列出关于 m 的方程并解答【详解】解：（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，则 B 社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x2x，解得 x2.5 即 A 社区居民人口至少有 2.5 万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5（1+45m%）+1.5（1+45m%）（1+2m%）=7.592%，解得 m=50 答：m 的值为 50【点睛】本题考查了一元二
6、次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程 5某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的 4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到21344m 【答案】当13xm时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积矩形空地面积阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为 y，则由题意得 502302xy.即10yx 列方程:50304(10)1344x x 解得13x (舍)，213
7、x.当13xm时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心 6已知两条线段长分别是一元二次方程28120 xx的两根，（1）解方程求两条线段的长。（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。【答案】（1）2 和 6；（2）2 2；（3）83【解析】【分析】（1）求解该一元二次方程即可;（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；（3）设分为两段分别是x和6x，然后用勾股定理求出 x，最后求面积即可.【详解】解：（1）由题
8、意得260 xx，即：2x 或6x，两条线段长为 2 和 6；（2）由题意，可知分两段为分别为 3、3，则等腰三角形三边长为 2，3，3，由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：2231=2 2 此等腰三角形面积为12 2 22=2 2（3）设分为x及6x两段 22226xx 83x，2823xS，面积为83.【点睛】本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.7已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）xk22k0 有两个实数根 x1，x2（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使得 x1x2x12x220 成立？若
9、存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)当 k14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数 k，使得 x1x2x12x220 成立【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）2221420kkk，解得14k （2）由2212120 x xxx 得 2121230 x xxx（），由根与系数的关系可得：2121221,2xxkx xkk 代入得：22364410kkkk，化简得：210k，得1k.由于k的取值范围为14k，故不存在 k 使2212120 x xxx 8已知关于 x 的一元二次方程2211204
10、xmxm 1若此方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；2若此方程的两个实数根为1x，2x，且满足22212121184xxx xm，求 m 的值【答案】（1）m的最小整数值为4；（2）3m 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：22114 124mm 22218mmm 29m 方程有两个实数根 0，即290m 92m m的最小整数值为4（2）由根与系数的关系得：121xxm，212124x xm 由22212121184xxx xm得：22211121844mmm 13m，25m 92m 3m【点睛】本题考查了根的判别式和
11、韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.9阅读下面的例题，范例：解方程 x2|x|2=0，解：（1）当 x0 时，原方程化为 x2x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）（2）当 x0 时，原方程化为 x2+x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）原方程的根是 x1=2，x2=2 请参照例题解方程 x2|x10|10=0【答案】x1=4，x2=5【解析】【分析】分为两种情况：当 x10 时，原方程化为 x2x=0，当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，分别求出方程的解即可【详解】当 x10 时，原方程化为 x2x+1010=0，解得 x1=0（不合题意，舍去
12、），x2=1（不合题意，舍去）；当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，解得 x3=4，x4=5，故原方程的根是 x1=4，x2=5【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号 10某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46000 米2，施工队在绿化了 22000 米2后，将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为 20 米，宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道
13、（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2 米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成 x 米2，根据题意得：4600022000 x46000220001.5x=4 解得：x=2000，经检验，x=2000 是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米；（2）设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，（203x）（82x）=56 解得：x=2 或 x=263（不合题意，舍去）答：人行道的宽为 2 米 11关于 x 的一元二次方程(k-2)
14、x2-4x+2=0 有两个不相等的实数根(1)求 k 的取值范围；(2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x2-4x+k=0 与 x2+mx-1=0 有一个相同的根，求此时 m 的值【答案】（1）k4 且 k2.（2）m=0 或 m=83.【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于 k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的 k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的 k 的值，代入原方程，解方程求得 x 的值，然后把所得 x 的值分别代入方程 x2+mx-1=0 即可求得对应的 m 的值.详解：(1)一元二次方程(k-2)x2-4x+2=
15、0 有两个不相等的实数根，=16-8(k-2)=32-8k0 且 k-20.解得：k4 且 k2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将 k=3 代入原方程得：方程 x2-4x+3=0，解此方程得：x1=1，x2=3.把 x=1 时，代入方程 x2+mx-1=0，有 1+m-1=0，解得 m=0.把 x=3 时，代入方程 x2+mx-1=0，有 9+3m-1=0，解得 m=83.m=0 或 m=83.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)axbxca中，当=240bac时，方程有两个不相等的实数根；当=240bac时，方程有两个相等的实数根；=240bac时，方程没有实数根”是正确解
16、答第 1 小题的关键；（2）解第 2 小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.12某产品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种产品在未来 20 天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这 20 天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254yt（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的函数关系式；（2）这 20 天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的 20
17、 天中，每销售一件商品就捐赠a元（4a）给希望工程，通过销售记录发现，这 20 天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）2100mt；（2）在第 15 天时日销售利润最大，最大利润为 612.5元；（3）2.54a.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据 20 天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求 a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=kb94=3kb 解得
18、:k=-2,b=100 m关于t的函数关系式为:2100mt.（2）设前 20 天日销售利润为W元，由题意可知，1210025204Wtt 21151002tt 2115612.52t 102，当15t 时，612.5W最大.在第 15 天时日销售利润最大，最大利润为 612.5 元.（3）由题意得：1210025204Wtta 21152500 1002ta ta，对称轴为：152ta，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，且120t，15220a，2.5a，2.54a.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.13
19、如图，一艘轮船以 30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以 10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心 200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离 BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离 AB=300km（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）
20、经过 1515h就会进入台风影响区；（3）215小时【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知 AB=30010t，AC=40030t，当 BC=200 时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(30010t)2+(40030t)2=2002，整理得到：t230t+210=0，解得 t=1515，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）由（1）可知经过(15
21、15)h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15（1515）=215 h【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于 x 的等式是解题关键 14阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当 a0，b0 时：（ab）2=a2ab+b0 a+b2ab，当且仅当 a=b 时取等号 请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当 x0 时，x+1x的最小值为 当 x0 时，x+1x的最大值为 ；（2）若 y=27101xxx，（x1），求 y 的最小值；（3）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交
22、于点 O，AOB、COD 的面积分别为 4和 9，求四边形 ABCD 面积的最小值 【答案】（1）2；2（2）y 的最小值为 9；（3）四边形 ABCD 面积的最小值为 25【解析】【分析】（1）当 x0 时，按照公式 a+b2ab（当且仅当 a=b 时取等号）来计算即可；当 x0时，x0，1x0，则也可以按公式 a+b2ab（当且仅当 a=b 时取等号）来计算；（2）将 y27101xxx的分子变形，分别除以分母，展开，将含 x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设 S BOC=x，已知 S AOB=4，S COD=9，由三角形面积公式可知：S BOC：S COD=S AO
23、B：S AOD，用含 x 的式子表示出 S AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可【详解】（1）当 x0 时，x1x21xx2；当 x0 时，x0，1x0 x1x21xx 2，则 x1x（x1x）2，当 x0 时，x1x的最小值为 2当 x0 时，x1x的最大值为2 故答案为：2，2（2）x1，x+10，y27101xxx2(1)5141xxx=（x+1）41x52411xx5=4+5=9，y 的最小值为 9（3）设 S BOC=x，已知 S AOB=4，S COD=9 则由等高三角形可知：S BOC：S COD=S AOB：S AOD，x：9=4：S AOD，
24、S AOD36x，四边形 ABCD 面积=4+9+x36x13+236xx25 当且仅当 x=6 时，取等号，四边形 ABCD 面积的最小值为 25【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用 15阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。
25、例如，一元三次方程3220 xxx，可以通过因式分解把它转化为2(2)0 x xx，解方程0 x 和220 xx，可得方程3220 xxx的解。（1）问题：方程3220 xxx的解是10 x，2x _，3x _。（2）拓展：用“转化”思想求方程43xx的解。（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长6ADm，宽4ABm，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C。求 AP 的长。【答案】（1）2，-1;（2）1，3 ;
26、（3）3m.【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；（3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.【详解】（1）x3-x2-2x=0，x（x2-x-2）=0，x（x-2）（x+1）=0 所以 x=0 或 x-2=0 或 x+1=0 x1=0，x2=2，x3=-1；故答案为：2，-1；（2）43xx 方程的两边平方，得 4x-3=x2 即 x2-4x+3=0（x-3）（x-1）=0 x-3=0 或 x-1=0 x1=3，x2=1，当 x
27、=3 或 1 时,43x有意义，故是方程的解.（3）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 A=D=90，AB=CD=4m,设 AP=xm，则 PD=（6-x）m 因为 BP+CP=10，BP=22216APABx,CP=22216(6)DCPDx,所以216(6)x=10-216x 两边平方，得 16+(6-x)2=100-20216x+x2+16 整理，得 3x+16=5216x,两边平方并整理，得 x2-6x+9=0 即（x-3）2=0 所以 x=3 经检验，x=3 是方程的解 答：AP 的长为 3m【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键