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1、 山东省实验中学 2020 届高三 第一次诊断性考试数学试题 2019 年 10 月 说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷为第 1 页至第 2 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页。试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。第 I 卷(选择题，共 52 分)一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则 S 中元素个数是 A
2、4 B5 C6 D7 2己知函数 1f xx，则 2f 等于 A4 B14 C4 D14 3己知命题 p：,21000nnN，则p为 A,21000nnN B,21000nnN C,21000nnN D,21000nnN 4在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为,a b c，若sinsinsinaA bBcC，则ABC的形状是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D.不确定 5已知 3=sin1,2,2f xxxx，若 f x的最大值为 M，f x的最小值为 N，则 M+N 等于 A0 B2 C4 D38 6在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为,a b c，已知40,20,C6
3、0bc，则此三角形的解的情况是 A有一解 B有两解 C无解 D有解但解的个数不确定 7若一扇形的圆心角为72，半径为 20cm，则扇形的面积为 A240 cm B280 cm C240cm D280cm 8.20 世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，己知碳 14 半衰期为 5730 年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若 1 单位的碳 14 经过 x 年后剩余量为 y 单位，则 y 关于 x 的函数表达式是 A57302xy B57302xy C573012xy D573012xy 9计算22sin 13cos 582s
4、in13 cos58等于 A12 B22 C32 D2 10函数 22 ln3f xxxxax恰有一个零点，则实数a的值为 A4 B3 C6 D3 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。)11给出下列关系，其中正确的选项是 A B C D 12以下说法正确的是 A.1aaa B.已知233mymmx是幂函数，则 m 的值为 4 C22221log 34log 34log23 D钝角是第二象限的角 13己知函数 cos3fxx，则下列结论正确的是 A f x的
5、一个周期是2 B yf x的图像关于直线83x对称 C f x的一个零点为6 D f x在,2单调递减 第 II 卷(非选择题，共 98 分)三、填空题(本大题共 4 小题。每小题 4 分，共 16 分，15 题每空 2 分)14.设 1ln,1,1,xfxaebxfe fabe且则_；15已知曲线122:cos,:sin 23Cyx Cyx，则为了得到曲线1C，首先要把2C上各点的横坐标变为到原来的_倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移_个单位长度；(本题所填数字要求为正数)16若01x，则181xx的最小值是_；17已知1x是函数 22xf xx的零点，2x是函数 2log13g x
6、xx的零点，则12xx的值为_ 四、解答题(本大题共 6 小题，共 82 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)18(本小题 10 分)已知函数 logag xx(a0 且a1)的图像过点(9，2)(I)求函数 g(x)的解析式；(II)解不等式315gxgx 19(本小题 12 分)已知命题:11px“，不等式2xxm 成立”是真命题(I)求实数m的取值范围；(II)若:44qma 是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围 20(本小题 14 分)如图，在ABC 中，边 AB=2，1cos3B，且点 D 在线段 BC 上，(I)若34ADC，求线段 AD 的长；(II)若 BD=2D
7、C，sin4 2sinBADCAD，求ABD 的面积.21(本小题 14 分)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B以及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 内(含边界)，且与 A，B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm (I)设BAO，将y表示成的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值 22(本小题 16 分)设函数 cosF xxx，直线ymxn是曲线 yF x的切线，(I)当02x时，求mn的极大值；(II
8、)曲线 yF x是否存在“上夹线”，若存在，请求出 F x的“上夹线”方程；若不存在，请说明理由【注】设直线:l yg x，曲线:S yF x，若直线l和曲线S同时满足下列条件：直线l和曲线S相切且至少有两个切点；对任意的xR，都有直线 g xF x则称直线l为曲线S的“上夹线”23(本小题 16 分)已知函数：21ln,12xf xxaxa g xex(I)当 1,xe时，求 f x的最小值；(II)对于任意的 10,1x 都存在唯一的 21,xe使得 12g xf x，求实数a的取值范围 山东省实验中学 2020 届高三 第一次诊断性考试数学试题答案 一、单项选择题 1.B 2.D 3.C
9、 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.A 二、多项选择题 11.BCD 12.BD 13.ABC 三、填空题 14.1 15.2，6 16.94 2 17.3 四、解答题 18.（I）因为log 92a，所以3a，即 3logg xx5 分（II）因为 g x单调递增，所以3150,xx 即不等式的解集是3,5210 分 19.（I）由 题 意211mxxx 在恒 成 立，因 为221124xxx，所 以2122xxm，即，所以实数 m 的取值范围是2,8 分（II）由 q 得44ama，因为qp，所以426aa，即，所以实数a的取值范围是6,12 分 20.（I）由12 2
10、cos,sin,33sinsin4ADABBBABD得，因为 所以83AD 6 分（II）由22BADCADSBDDCS，得，所以1sin221sin2AB ADBADAC ADCAD，因为sin4 22sinBADABCAD，所以4 2AC，9 分 在ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCAB BCB，即234840BCBC，可得1463BCBC 或（舍去），12 分 所以112 28 24sin242233ABDBDSAB BDB，.14 分 21.（I）由条件 PQ 垂直平分 AB，若BAO，则10coscosAQOA，故101010tancosOBOP，又，所以1010101
11、0tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10,0cos4y6 分（II）10 2sin2010sin1010coscosy 因为sin2cosu可看作点0,2和点cos,sin的连线的斜率，8 分 由单位圆知，当0234u 时，所以1010 330y，所以当6，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离10 33ABkm边处时，三条排污管管道总长最短为1010 3 km.14 分 22.（I）cos,1 sinF xxx Fxx，所以函数 00,F xx F x在处的切线是 0000cos1 sinyxxxxx，即00001 sincossinyxxxxx，所以000
12、01sincossinmnxxxx 4 分 设 1 sincossin,02u xxxxxx 所以 cossinsincoscos1uxxxxxxxx 6 分 由 30cos0,22uxxx即，所以 02u x在，单调递减，在322，单调递增，在322，单调递减，8 分 由33=222u，得mn的极大值是322.9 分（II）假设曲线 yF x存在“上夹线”:l g xmxn，由（I）知，00001sincossinmxnxxx，因为直线l和曲线 S 相切且至少有两个切点，所以存在0tx，使得1sincossinmtnttt，所以0021sin01txmxn，即，又因为对任意的xR，都有直线
13、g xF x，则 1g xxyF x是的上夹线.16 分 23.解：（I）2xafxx1 分 01.1a 时，1,0 xe fxf x递 增，min112fxfa 022.ae时，1,0,xe fxf x递减，2min22ef xf ea 023.1ae时，1,xa时 0,fxf x，,0,xa efxf x时递增，所以 minln22aaf xfaa 4 分 综上，当 min112af xa时，；当 2min1ln22aaaefxa 时，当 22min22eaef xa时，5 分（II）因为 1,xgxe 0,10,xgxg x时递增，g x的值域为 0,10,2gge7 分（i）当1a 时，f x在 1,e上单调递增，又 211,222efa f ea，所以2102222aeae 即112a10 分（ii）当21ae时，因为1,xa时，f x递减，,xa e时，f x递增，且 10,0ffa，所以只需 2f ee，即2222eae，所以21142eea13 分（iii）当2ae时，因为 1f xe在，上单调递减，且 1102fxfa，所以不合题意.15 分 综合以上，实数a的取值范围是2124,24ee.16 分