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1、实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程2 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面封面长长27,宽宽21,正中央是一正中央是一个与整个封面长宽个与整个封面长宽比例相比例相同同的矩形的矩形,如果要使四周的如果要使四周的边衬所占面积是封面面积边衬所占面积是封面面积的的四分之一四分之一,上、下边衬上、下边衬等等宽宽,左、右边衬左、右边衬等宽等宽,应如何应如何设计四周边衬的宽度设计四周边衬的宽度?2721探究探究3 3第1页/共25页 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使
2、四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的正中央的矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm依题意得依题意得解方程得解方程得(以下同学们自己完成以下同学们自己完成)方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实
3、际意义?为什么为什么?第2页/共25页例例1.(2004年年,镇江镇江)学校为了美化校园环学校为了美化校园环境，在一块长境，在一块长40米、宽米、宽20米的长方形空米的长方形空地上计划新建一块长地上计划新建一块长9米、宽米、宽7米的长方米的长方形花圃形花圃.（1）若请你在这块空地上设计）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多划新建的长方形花圃的面积多1平方米，平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长
4、方形花圃的面积能长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加否增加2平方米？如果能，请求出长方平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由由.第3页/共25页解解:(1)方案方案1：长为：长为 米，宽为米，宽为7米米;方案方案2：长为：长为16米，宽为米，宽为4米米;方案方案3：长：长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加圃面积不能增加2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为16米米.设长方形花圃设长方形
5、花圃的长为的长为x米，则宽为（米，则宽为（16-x）米）米.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0，此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加加2平方米平方米第4页/共25页1 1、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若能够若能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明请说明理由理由.练习：练习：解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,即即x2-10 x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30,此方程无解此方程无解.
6、用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.第5页/共25页例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干米的长方形场地上修筑若干条道路条道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并请全校同学并请全校同学参与设计参与设计,现在有两位学生各设计了一现在有两位学生各设计了一种方案种方案(如图如图),根据两种设计方案各列出根据两种设计方案各列出方程方程,求图中道路的宽分别是多少求图中道路的宽分别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2.(1)(2)第6页/共25页(1)
7、解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则化简得，化简得，其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中中道路的宽为道路的宽为1米米.第7页/共25页则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关分析：此题的相等关系是矩形面积减去道系是矩形面积减去道路面积等于路面积等于540540米米2 2。解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2
8、 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是？图中的道路面积不是图中的道路面积不是米米2 2。(2)第8页/共25页而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：=100(米米2)草坪面积草坪面积=540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。第9页/共25页解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”
9、的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）第10页/共25页(2)(2)横向路面横向路面 ，如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为 。20 x20 x米米2 2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向）。相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即
10、即化简得：化简得：再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。第11页/共25页1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要要修筑同样宽的三条道路修筑同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试把耕地分成六块大小相等的试验地验地,要使试验地的面积为要使试验地的面积为570平方米平方米,问问:道道路宽为多少米路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则化简得，化简得，其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为
11、1米米.第12页/共25页2.如图如图,长方长方ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路四周外围环绕着宽度相等的小路,已知已知小路的面积为小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解:设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则化简得，化简得，答答:小路的宽为小路的宽为3米米.第13页/共25页例例3.(2003年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为为10米），围成中间隔有一道篱笆的长米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，面积
12、米，面积为为S米米2，（，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？第14页/共25页【解析解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米米，这这时时面面积积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得
13、得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽即花圃的宽ABAB为为5 5米米第15页/共25页1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分）的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃，两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃要围成苗圃的面积为的面积为81m2,应该怎么设计应该怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则化简得，化简得，答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.第16页/共25页 例例4某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m，断面为，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m
14、2，上上口宽比渠深多口宽比渠深多2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m3，需要多，需要多少天才能把这条渠道挖完？少天才能把这条渠道挖完？分析：分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为设渠深为xm，则上口宽为，则上口宽为x+2，渠底为渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建，那么，根据梯形的面积公式便可建模模第17页/共25页解：（解：（1）设渠深为）设渠深为xm 则渠底为（则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（，上口宽为（x+2）m依题
15、意，得：依题意，得：整理，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意（不合题意,舍去）舍去）上口宽为上口宽为2.8m，渠底为，渠底为1.2m答：渠道的上口宽与渠底深各是答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和和1.2m；需要需要25天才能挖完渠道天才能挖完渠道第18页/共25页1.如图，宽为如图，宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全个全等的小长方形拼成，则每个小长方形等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为的面积为【】A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm2A第19页/共25页2.在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的
16、矩形风景的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是挂图的面积是5400cm2，设金色纸边，设金色纸边的宽为的宽为xcm，那么，那么x满足的方程是满足的方程是【】Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmB第20页/共25页3.如图，面积为如图，面积为30m2的正方形的四个角的正方形的四个角是面积为是面积为2m2的小正方形，用计算器的小正方形，用计算器求得求得a的长为（保留的长为（保留3个
17、有效数字）个有效数字）【】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60maC第21页/共25页4如图，是长方形鸡场平面示意图，如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为若竹篱笆总长为35m，所围的面积，所围的面积为为150m2，则此长方形鸡场的长、，则此长方形鸡场的长、宽分别为宽分别为_练习：练习：第22页/共25页练习：练习：5 5、围绕长方形公园的栅栏、围绕长方形公园的栅栏长长280m.280m.已知该公园的面积已知该公园的面积为为4800m4800m2 2.求这个公园的长求这个公园的长与宽与宽.第23页/共25页这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答即审、设、列、解、检、答小结小结第24页/共25页